平面四參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的改進(jìn)與應(yīng)用研究

孫小榮 李明峰 劉支亮

1 宿遷學(xué)院建筑工程系，宿遷市黃河南路399號(hào)，223800

2 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)國(guó)土環(huán)境與災(zāi)害監(jiān)測(cè)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，徐州市大學(xué)路1號(hào)，221116

3 南京工業(yè)大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，南京市浦珠南路30號(hào)，211800

對(duì)法方程病態(tài)時(shí)最小二乘解撓動(dòng)較大的問題，我國(guó)學(xué)者進(jìn)行了大量研究［1－4］。在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方面，文獻(xiàn)［5－12］證明布爾沙七參數(shù)模型在小區(qū)域（100km×100km 范圍內(nèi)）應(yīng)用時(shí)，平移參數(shù)與旋轉(zhuǎn)及尺度變化參數(shù)之間是強(qiáng)相關(guān)的，導(dǎo)致解算模型病態(tài)；文獻(xiàn)［13］對(duì)多項(xiàng)式擬合模型病態(tài)性問題進(jìn)行研究。在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，判斷法方程系數(shù)矩陣是否病態(tài)的方法有很多，但具體病態(tài)到什么程度，沒有一個(gè)嚴(yán)格的界限，也沒有一種判別和處理病態(tài)的絕對(duì)有效方法。目前，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中最常用的模型是平面四參數(shù)模型（也稱平面相似變換模型），但對(duì)其病態(tài)問題的研究較少。本文在判定平面四參數(shù)模型法方程系數(shù)矩陣病態(tài)的基礎(chǔ)上，采用中心化與縮小系數(shù)法相結(jié)合，來改善法方程系數(shù)矩陣的病態(tài)性，獲得穩(wěn)定可靠的轉(zhuǎn)換參數(shù)，為區(qū)域工程測(cè)量中平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換提供參考。

1 經(jīng)典平面四參數(shù)模型

平面四參數(shù)模型用于點(diǎn)在不同平面直角坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換。假設(shè)有兩個(gè)分別位于不同基準(zhǔn)的平面直角坐標(biāo)系O1－x1y1和O2－x2y2，將O1－x1y1下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為O2－x2y2下坐標(biāo)的模型如下［14］：

式中，x1、y1和x2、y2為某點(diǎn)分別在O1－x1y1和O2－x2y2下的平面直角坐標(biāo)；α為旋轉(zhuǎn)參數(shù)（x1軸相對(duì)于x2軸的坐標(biāo)方位角）；m為尺度參數(shù)；x0、y0為2個(gè)平移參數(shù)（原點(diǎn)O1在O2－x2y2中的坐標(biāo)）。

公共點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系的坐標(biāo)之差為：

令a1＝mcosα－1，a2＝msinα，上式可寫為：

寫成矩陣形式為：

在實(shí)施坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的局部區(qū)域，均勻選取若干公共點(diǎn)，將這些公共點(diǎn)的坐標(biāo)差Δx、Δy視為“觀測(cè)量”。設(shè)這些觀測(cè)量的改正數(shù)為vΔx、vΔy，根據(jù)最小二乘法原理，由觀測(cè)方程（4）列出誤差方程，進(jìn)而組成法方程，求解轉(zhuǎn)換參數(shù)，最后將轉(zhuǎn)換參數(shù)回代入式（1）即可完成坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

因誤差方程系數(shù)矩陣B中的元素x1、y1的值很大，由公共點(diǎn)計(jì)算得到的法方程系數(shù)矩陣中最大元素與最小元素之比近似為1013量級(jí)，引起法方程系數(shù)矩陣病態(tài)。對(duì)于病態(tài)方程組，即使采用穩(wěn)定的算法，求解時(shí)也必然出現(xiàn)解的不穩(wěn)定現(xiàn)象，得不到令人滿意的結(jié)果［13，15］。

2 改進(jìn)的平面四參數(shù)模型

鑒于經(jīng)典平面四參數(shù)模型存在的問題，本文通過調(diào)整誤差方程系數(shù)矩陣的元素值，改進(jìn)法方程系數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)，減小其病態(tài)性。總的方法是將原經(jīng)典模型繞原點(diǎn)O1旋轉(zhuǎn)改為繞某點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，具體步驟如下。

圖1 平面四參數(shù)轉(zhuǎn)換Fig.1 Planar four parameters transformation

1）將O1－x1y1的原點(diǎn)O1平移到某點(diǎn)P，形成一個(gè)過渡坐標(biāo)系P－xPyP；

2）假設(shè)有垂直于xPyP平面的zP軸，以P點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，將P－xPyP繞zP軸旋轉(zhuǎn)α，使經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后的P－xPyP與O2－x2y2的同名坐標(biāo)軸平行；

3）將P－xPyP中的長(zhǎng)度單位縮放m倍，使其與O2－x2y2的長(zhǎng)度單位一致；

4）將O1分別沿x2、y2軸移動(dòng)－x0、－y0，使其與原點(diǎn)O2重合。上述轉(zhuǎn)換過程可用數(shù)學(xué)公式表達(dá)如下：

改進(jìn)模型的形式同經(jīng)典模型，也包括4個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)，其中平移參數(shù)的含義相同，但旋轉(zhuǎn)和尺度參數(shù)的含義不同，α、m為由P－xPyP轉(zhuǎn)換到O2－x2y2。上式將測(cè)區(qū)坐標(biāo)進(jìn)行了中心化處理，當(dāng)xP、yP都為0時(shí)，即為經(jīng)典模型，相當(dāng)于繞O1點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。

上式中，x1′＝x1－xP，y1′＝y(tǒng)1－yP，是測(cè)區(qū)中心化后的坐標(biāo)；xP、yP為P點(diǎn)在O1－x1y1下的平面直角坐標(biāo)，是公共點(diǎn)源坐標(biāo)的平均值；其他變量含義同經(jīng)典模型。假設(shè)測(cè)區(qū)有n個(gè)公共點(diǎn)，為第i點(diǎn)的坐標(biāo)，則：

為進(jìn)一步改善法方程系數(shù)矩陣的病態(tài)性，還需要對(duì)誤差方程系數(shù)中的元素施加適當(dāng)?shù)目s小因子k，即在前面求出x1′、y1′的基礎(chǔ)上，令

k的取值由測(cè)區(qū)范圍確定，例如測(cè)區(qū)范圍在100km×100km 左右，則中心化后的坐標(biāo)均小于106量級(jí)（以m 為單位），此時(shí)可取k＝106；若k取值過大，也會(huì)造成矩陣主對(duì)角線元素不占優(yōu)，法方程系數(shù)矩陣病態(tài)。通過上面兩個(gè)步驟，有效降低了誤差方程系數(shù)矩陣中最大元素與最小元素的比值，改善了法方程系數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)。

列誤差方程時(shí)，以經(jīng)過中心化與縮小系數(shù)處理后的坐標(biāo)x1″、y1″代替式（4）系數(shù)矩陣B中的原始公共點(diǎn)坐標(biāo)x1、y1，此時(shí)式（4）變?yōu)椋?/p>

3 實(shí)例分析

3.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

某一測(cè)區(qū)東西長(zhǎng)約21km，南北長(zhǎng)約25km，網(wǎng)中共13個(gè)三等GPS點(diǎn)，分布如圖2所示，具有WGS－84和西安80 坐標(biāo)系下的平面直角坐標(biāo)。選擇G01～G09等9 個(gè)點(diǎn)作為公共點(diǎn)求取轉(zhuǎn)換參數(shù)，并以它們的WGS－84 坐標(biāo)均值作為P點(diǎn)坐標(biāo)，其余的G10～G13等4個(gè)公共點(diǎn)作為檢核點(diǎn)，取k＝103。設(shè)計(jì)經(jīng)典模型和改進(jìn)模型兩種試驗(yàn)方案，分析在這兩種方案下模型的病態(tài)性、穩(wěn)定性和精度。

圖2 控制點(diǎn)分布示意圖Fig.2 Distribution of control points

3.2 模型的病態(tài)性

3.2.1 各參數(shù)之間的相關(guān)性

兩種方案各參數(shù)之間的相關(guān)性分別見表1、表2。

表1表明，經(jīng)典模型x0與a1之間強(qiáng)相關(guān)，y0與a2之間強(qiáng)相關(guān)；表2表明，改進(jìn)模型4個(gè)參數(shù)之間完全不相關(guān)。

表1 經(jīng)典模型參數(shù)之間的相關(guān)性Tab.1 Correlation between the classical model parameters

表2 改進(jìn)模型參數(shù)之間的相關(guān)性Tab.2 Correlation between the improved model parameters

3.2.2x0、y0與a1、a2之間的相關(guān)性

本文計(jì)算得兩種模型的法方程系數(shù)矩陣的條件數(shù)分別為4.8×1018、87，經(jīng)典模型嚴(yán)重病態(tài)；而改進(jìn)模型的條件數(shù)小于103，不病態(tài)，法方程性能大大優(yōu)于經(jīng)典模型。原因是本文試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)工程而言，這是一個(gè)較大的控制網(wǎng)，但相對(duì)于高斯投影分帶仍是較小區(qū)域，即坐標(biāo)值差別較小。此時(shí)，式（1）右端的第2項(xiàng)對(duì)每個(gè)點(diǎn)都基本相同，即旋轉(zhuǎn)和尺度參數(shù)對(duì)每個(gè)點(diǎn)的影響基本一樣，而平移參數(shù)對(duì)每個(gè)點(diǎn)的影響是相同的。因此從數(shù)值上可以看出，對(duì)于小區(qū)域，平移參數(shù)與旋轉(zhuǎn)尺度參數(shù)之間存在強(qiáng)相關(guān)。而改進(jìn)模型以P為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，其誤差方程系數(shù)矩陣中的元素值減去了P點(diǎn)坐標(biāo)，即進(jìn)行了中心化處理，同時(shí)也施加了縮小系數(shù)，在很大程度上改善了觀測(cè)結(jié)構(gòu)，使得參數(shù)之間不存在相關(guān)性，估計(jì)的參數(shù)結(jié)果穩(wěn)定可靠。

3.3 模型的穩(wěn)定性

為了驗(yàn)證模型的穩(wěn)定性，本文將G01點(diǎn)的西安80平面直角坐標(biāo)作微小變化，即將該點(diǎn)的x增大0.01m、y減少0.015m，其余點(diǎn)的坐標(biāo)不變，分別用變化前后的坐標(biāo)求解轉(zhuǎn)換參數(shù)，結(jié)果見表3。

由測(cè)區(qū)公共點(diǎn)在兩坐標(biāo)系的坐標(biāo)差可知，測(cè)區(qū)近似的平移參數(shù)為x0≈6m，y0≈－123m，模型求解的2個(gè)平移參數(shù)值應(yīng)近似等于該值。表3中，改進(jìn)模型變化前后的平移參數(shù)均能反映出應(yīng)有的近似值，經(jīng)典模型的平移參數(shù)明顯偏離應(yīng)有值，且4個(gè)參數(shù)之間數(shù)量級(jí)差別很大，a1、a2的系數(shù)幾乎為0，說明僅有平移參數(shù)在轉(zhuǎn)換中發(fā)揮作用，這與實(shí)際情況不符，這是因?yàn)榉ǚ匠滔禂?shù)矩陣的病態(tài)性造成轉(zhuǎn)換參數(shù)之間量級(jí)的巨大差異。

表3 兩種情況的轉(zhuǎn)換參數(shù)及其精度Tab.3 Transformation parameters and precision in both cases

另由表3可知，變化前2個(gè)平移參數(shù)精度相同，a1、a2精度也相同，即精度均勻，變化后也有類似的結(jié)果。坐標(biāo)的微小變化引起經(jīng)典模型平移參數(shù)和精度較大的改變，分別達(dá)到m 級(jí)和dm 級(jí)，而僅引起改進(jìn)模型平移參數(shù)及精度的微小變化，都為mm 級(jí)。可見，經(jīng)典模型平移參數(shù)的精度和穩(wěn)定性均遠(yuǎn)低于改進(jìn)模型，坐標(biāo)變動(dòng)越大，改進(jìn)模型優(yōu)勢(shì)越明顯。

3.4 模型的精度

由變化前后的參數(shù)分別得到13個(gè)點(diǎn)的兩次平面直角坐標(biāo)。經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)，變化前兩種模型轉(zhuǎn)換得到的公共點(diǎn)與檢核點(diǎn)坐標(biāo)相同，變化后兩模型結(jié)果也相同，但對(duì)于同一模型，變化后的精度略低于變化前。這是由于G01點(diǎn)的精度偏低引起的，應(yīng)選擇質(zhì)量高的點(diǎn)作為公共點(diǎn)。精度統(tǒng)計(jì)見表4。

表4 轉(zhuǎn)換精度統(tǒng)計(jì)／mmTab.4 Statistics about transformation accuracy／mm

雖然經(jīng)典模型的平移參數(shù)精度與穩(wěn)定性差，但對(duì)轉(zhuǎn)換結(jié)果卻無影響。原因是經(jīng)典模型參數(shù)之間相關(guān)性大，故參數(shù)有多組解，即當(dāng)公共點(diǎn)坐標(biāo)穩(wěn)定時(shí)，參數(shù)值唯一；當(dāng)公共點(diǎn)坐標(biāo)有微小變化時(shí)，參數(shù)值有較大變化。但不同的參數(shù)值都是經(jīng)典模型的解，都滿足經(jīng)典模型，因此轉(zhuǎn)換結(jié)果一樣。對(duì)于改進(jìn)模型，本文計(jì)算的所有公共點(diǎn)與P點(diǎn)的距離最大為15.6km，最小為3.3km，平均為8.6 km。由表3可知，公共點(diǎn)繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，0.000 105的a1變化量和0.000 344的a2變化量引起的坐標(biāo)變化量最大分別為1.6mm 和5.4mm。盡管a1、a2的變化量較大，但由于距離短，對(duì)坐標(biāo)值的影響很小。

4 結(jié) 語(yǔ)

1）經(jīng)典平面四參數(shù)模型采用原始坐標(biāo)，模型存在嚴(yán)重的病態(tài)性，無法獲得穩(wěn)定可靠的轉(zhuǎn)換參數(shù)；通過測(cè)區(qū)坐標(biāo)中心化及誤差方程縮小系數(shù)處理，可明顯減小法方程系數(shù)矩陣元素的數(shù)量級(jí)差異，使模型達(dá)到良態(tài)，可獲得穩(wěn)定可靠的轉(zhuǎn)換參數(shù)。

2）盡管經(jīng)典模型嚴(yán)重病態(tài)，但轉(zhuǎn)換結(jié)果仍然可用，且與改進(jìn)模型的轉(zhuǎn)換結(jié)果完全相同，公共點(diǎn)坐標(biāo)的質(zhì)量對(duì)轉(zhuǎn)換結(jié)果有一定的影響。

本文的改進(jìn)模型為區(qū)域工程測(cè)量中的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換提供了參考，建議用改進(jìn)模型代替經(jīng)典模型。

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