一種加權(quán)Logistic－Richards組合模型的地表沉降預(yù)測方法

龍四春 彭 強 黃兩宜 張立亞

1 湖南科技大學煤炭資源清潔利用與礦山環(huán)境保護湖南省重點實驗室，湘潭市桃源路1號，411201

2 湖南科技大學測量工程與形變監(jiān)測研究所，湘潭市桃源路1號，411201

3 中國建筑第五工程局有限公司隧道公司，重慶市龍山大道，401147

利用已知模型對施工場地地表沉降進行預(yù)測主要有單一模型和多模型組合方法［1］。其中單一模型預(yù)測方法主要有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法［2］、灰色理論方法［3］、生長曲線模型［4］、Logistic模型［5］和Richards模型［6］，這些模型都能較好地預(yù)測地表沉降。但不同施工場地工程地質(zhì)、水文和地面荷載等因素均不相同，同一施工場地不同時期內(nèi)部應(yīng)力和水文特征也會有所變化，單一模型在施工全過程沉降預(yù)測時很難達到較高的精度，可能存在預(yù)測失誤的情況。多模型組合預(yù)測對多個模型賦予不同權(quán)重，讓它們同時參與地表沉降預(yù)測，能更準確地預(yù)測施工過程的地表沉降［7］。有學者提出等權(quán)多模型組合預(yù)測，即對每個模型加相同的權(quán)重進行地表沉降綜合預(yù)測［8］。等權(quán)模型的權(quán)重是固定的，在不同條件下不能合理地分配權(quán)重，導致監(jiān)測結(jié)果有偏差，而加權(quán)模型組合可以根據(jù)不同的環(huán)境對各參與預(yù)測模型賦予不同的權(quán)重［9－15］，能夠更精確地預(yù)測施工過程地表沉降情況。

本文將加權(quán)組合Logistic模型和Richards模型，用特征值法（利用平移反冪法shifted－inverse power method［16］）求各模型的權(quán)重，并用加權(quán)Logistic－Richards組合模型對施工現(xiàn)場地表沉降進行擬合和預(yù)測，以驗證組合模型的優(yōu)越性。

1 加權(quán)Logistic－Richards組合模型

1.1 Logistic－Richards組合模型

Logistic模型函數(shù)為：

式中，a、b、k是參數(shù)，x是時間序列，y是對應(yīng)時刻的地表沉降預(yù)測值。

Richards模型函數(shù)為：

式中，α、β、r、δ是參數(shù)，x是時間序列，y是對應(yīng)時刻的地表沉降預(yù)測值。

對Logistic模型和Richards模型進行加權(quán)組合，得到加權(quán)的Logistic－Richards組合模型：

式中，a、b、k、α、β、r、δ是參數(shù)，ω1、ω2是權(quán)系數(shù)，x是時間序列，y是對應(yīng)時間的地表沉降預(yù)測值。

加權(quán)組合模型的誤差、方差、標準差和相對誤差可用式（4）表示：

式中，ω1、ω2為權(quán)系數(shù)，e0、e1、e2分別為預(yù)測誤差，D為方差，cov為相關(guān)系數(shù)，σ為標準差，R為相對誤差，y′為預(yù)測值，y為實測值。

1.2 平移反冪法（shifted－inverse power method）的特征值求權(quán)方法

令Logistic模型為g（x），Richards模型為w（x），則組合模型可表示為：

整理后得：

式（5）可表示為f（x）＝Ax，其中A為系數(shù)陣，x為參數(shù)。假設(shè)A是一個n×n的矩陣，有n個互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn。對于其中一個特征值λj，可以選擇一個常數(shù)a，使得是（A－aI）－1的主特征值。序列和｛ck｝可由式（6）、（7）遞歸產(chǎn)生：

綜上，可求得ω1，進而根據(jù)式（3）求得ω2。

2 實驗與分析

以深圳地鐵9號線人民南車站、鹿丹村車站和長沙地鐵3號線東四線車站的地表施工沉降數(shù)據(jù)為例，對比分析Logistic模型、Richards模型和加權(quán)Logistic－Richards組合模型對地鐵車站地面沉降數(shù)據(jù)的擬合與預(yù)測能力。

2.1 人民南地鐵車站實例分析

人民南地鐵車站位于春風路高架橋下，南側(cè)為34層德興大廈，距離車站2.75m；北側(cè)有春風高架橋和19層新都酒店，距離車站2.60 m。車站處于軟土層，高樓環(huán)繞，施工條件差。表1是人民南車站實測值與加權(quán)Logistic－Richards組合模型的預(yù)測值比較。

由表1 可見，加權(quán)Logistic－Richards組合預(yù)測模型預(yù)測值與實測值較一致，證明Logistic－Richards加權(quán)組合模型能夠很好地監(jiān)控和預(yù)測地鐵車站的地表沉降。圖1 是平移反冪法求加權(quán)Logistic－Richards組合模型權(quán)值曲線圖，權(quán)值曲線的斜率代表權(quán)值。圖2是Logistic模型、Richards模型和Logistic－Richards加權(quán)模型預(yù)測值與實測值的比較。

表1 人民南車站實測值與預(yù)測值比較Tab.1 Comparison between measured and predicted values at South－Renmin subway station

圖1 平移反冪法求組合模型權(quán)值曲線Fig.1 Combination weight curve by using shift inverse power law model

圖2 3模型預(yù)測值與實測值的比較Fig.2 The predictive values of three models compared with the real values

圖2中加權(quán)Logistic－Richards組合模型預(yù)測結(jié)果比Logistic模型、Richards模型更接近實測值，說明加權(quán)Logistic－Richards組合模型比單一的Logistic模型和Richards模型更適合于監(jiān)控和預(yù)測地鐵車站地表沉降。表2 是Logistic－Richards組合模型、Logistic模型和Richards模型精度統(tǒng)計。表2中Logistic－Richards組合模型平均誤差、方差和標準差3項指標均優(yōu)于Logistic模型和Richards模型，說明Logistic－Richards模型精度更高、更優(yōu)越。

表2 模型精度統(tǒng)計Tab.2 Statistics for accuracy of 3models

2.2 鹿丹村和東四線車站實例分析

為驗證上述結(jié)論的正確性，分別對深圳地鐵鹿丹村車站和長沙地鐵東四線車站實測數(shù)據(jù)進行實驗。相比于人民南地鐵站，此兩地鐵站周邊沒有高樓環(huán)繞，地面荷載很小。圖3是鹿丹村車站Logistic模型、Richards模型、Logistic－Richards加權(quán)模型預(yù)測值和實測值的比較，圖4是東四線車站Logistic模型、Richards模型、Logistic－Richards加權(quán)模型預(yù)測值和實測值的比較。可以看出圖2～4中，加權(quán)Logistic－Richards組合模型在不同地質(zhì)環(huán)境、不同地面荷載中，對地表沉降的預(yù)測結(jié)果均比Logistic模型和Richards模型要好，說明在人民南地鐵站所得出的結(jié)論在不同水文地質(zhì)環(huán)境、不同地面荷載情況下同樣是正確的。

圖3 鹿丹村地鐵站3模型預(yù)測值與實測值比較Fig.3 The predictive values of three models compared with the real value of Ludan village subway station

圖4 東四線地鐵站3模型預(yù)測值與實測值比較Fig.4 The predictive values of three models compared with the real value of East－Four subway station

表3、表4分別為鹿丹村車站和東四線車站3種模型的精度統(tǒng)計表，表5是加權(quán)Logistic－Richards組合模型對3個車站不同沉降監(jiān)測點進行最終預(yù)測得到的沉降值與實測值比較。

表3 鹿丹村地鐵站3模型精度統(tǒng)計Tab.3 Statistics for precision of three models at Ludan village subway station

表4 東四線地鐵站3模型精度統(tǒng)計表Tab.4 Statistics for precision of three models at East－Four subway station

表5 預(yù)測值與實測沉降值的比較Tab.5 Comparison between predicted and real values

表3～5結(jié)果表明，在不同地質(zhì)條件和不同地面荷載情況下，加權(quán)Logistic－Richards組合模型比Logistic模型和Richards模型預(yù)測精度更高，更適合監(jiān)控和預(yù)測地表沉降情況。

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