GOCE＋EGM08＋RTM 組合模型計算高程異常

徐新強

1 西安測繪信息技術總站，西安市西影路36號，710054

GOCE任務的基本目標是在以前所未有的精度恢復地球中高階重力場、實現空間分辨率100 km 的情況下，大地水準面精度達到1cm。截止2014－07，歐空局已發布5代GOCE 重力場模型，第5代模型采用了4a的GOCE 衛星數據，包括時域法模型GO＿CONS＿GCF＿2＿TIM＿R5（簡稱Tim5）和直接法模型GO＿CONS＿GCF＿2＿DIR＿R5（簡稱Dir5）兩個產品。Tim5只采用了GOCE衛星數據，即重力梯度數據和GPS高低衛衛跟蹤軌道數據；而Dir5除采用GOCE 衛星數據外，還采用了25a的LAGEOS 1／2 激光測衛數據、10a的GRACE低低跟蹤衛星數據和K 波段距離變率數據。

在缺乏重力數據的地區，通常用超高階重力模型（如EGM08）來計算重力高程異常，然后擬合到已知GPS／水準點上。EGM08 模型構建過程中，對重力數據專利區或無數據區，采用如下方法進行填充［1］：用GRACE 衛星跟蹤數據建立GGM02S模型的前60 階，加上EGM96 模型的61～360階球諧系數，再加上剩余地形重力模型361～2 160階系數，計算得到5′×5′的重力異常。而EGM96模型的重力異常又是根據已有30′重力異常和5′GEOSAT 海洋大地水準面，采用Forsberg協方差模型的最小二乘配置法內插得到。盡管中國大陸屬于數據專利區，但其EGM08模型高程異常整體精度與全球精度相當，為20cm［2］。

從EGM08模型的構建過程來看，在缺乏重力數據的地區，至少可以從兩方面提高模型高程異常的計算精度：1）由高程異常的能量譜可知，高程異常主要由重力場模型的中低頻信號決定，因此可以用GOCE梯度信息來提高EGM08模型中低頻段的精度；2）EGM08模型完全階次至2 159，相應的空間分辨率為5′×5′，舍去分辨率高于5′×5′的甚高頻信號，因此可以借助于高分辨率的地形數據來彌補這一損失。關于第一方面，文獻［3］用實測GPS／水準數據證明，GOCE 模型相對于EGM08在中頻更有優勢，尤其是像西藏這樣的地形復雜地區。關于第二方面，文獻［4－5］用SRTM 數字地形模型減去DTM2006.0模型計算的地形高，構造剩余地形模型RTM，并用RTM高程異常彌補EGM08模型的甚高頻信號。文獻［4］在阿爾卑斯山高山區的實驗表明，EGM08＋RTM 高程異常精度比單獨使用EGM08時提高了2cm，相對精度提高了49%，同樣，文獻［5］中組合模型高程異常精度提高了1.3cm，相對精度提高了42%，說明EGM08＋RTM 組合模型能大幅提高山區垂線偏差精度。文獻［6］在阿爾卑斯山的垂線偏差實驗表明，重力場高頻分量對垂線偏差影響很大，RTM 對垂線偏差精度的貢獻非常明顯，子午分量從3.5″提高到0.8″，卯酉分量從3.2″提高到0.7″。因此，本文嘗試采用GOCE＋EMG08＋RTM 的組合模型來計算重力高程異常。

1 基本原理

1.1 模型高程異常

重力場模型高程異常的計算詳見文獻［7］，軟件可采用美國地理空間情報局NGA 提供的hsynth＿WGS84.f。不同組織發布的重力場模型對應的參考橢球長半軸、地球引力常量和GRS80橢球都不一致，因此，首先需要將重力場位系數統一到GRS80橢球上來：

1.2 RTM 高程異常

DTM2006.0是隨EGM08一起發布的5′分辨率的球諧系數模型，在EGM08構建中使用該模型。DTM2006.0是將3″×3″的SRTM 數字地形模型平滑成5′×5′的格網，再調和生成球諧系數，因此DTM2006.0相當于低通濾波器，濾掉了地形球諧模型中高于2 160階的甚高頻信號。由SRTM－DTM2006.0生成的RTM 引力位可表示比EGM08更高的甚高頻信息。采用下式計算模型地形高：

每個六棱柱RTM 在平面近似下對計算點的引力位為［8］：

式中，G為引力常數，ρ0為標準地形質量密度，r為積分流動點（x，y，z）到計算點的距離，x1、x2、y1、y2、z1、z2為六棱柱邊界角點坐標，z2－z1表示剩余高程。對計算點周圍所有的六棱柱引力位求和，可得到整個剩余地形的引力位，然后應用Bruns公式得到由RTM 引起的計算點高程異常：

式中，γQ為計算所對應的近似地形面上的正常重力。RTM 高程異常的計算可采用Forsberg提供的TC.f軟件［9］。

2 數值實驗

2.1 重力場模型的選擇

按文獻［7］給出的重力場模型功率譜分析，繪制4個GOCE模型和EGM08模型的大地水準面累積誤差圖（圖1）。從圖1 可看出，隨著GOCE重力梯度數據的不斷積累，解算的第5代模型精度明顯比第4代高，且在中波段的精度GOCE 重力場模型都高于EGM08模型。在200 階處，即相應空間分辨率為100km 時，Dir5累積誤差為0.8cm，而Tim5累積誤差為2.2cm。

圖1 不同模型的累積大地水準面誤差Fig.1 Cumulative geoid errors for different geopotential models

Dir系列模型精度高于同代Tim 的原因是：1）Dir系列模型除了使用GOCE 數據外，還使用了LAGEOS激光測衛數據和GRACE衛星數據，也就是說Dir系列模型充分利用了3種衛星重力測量技術在不同頻段恢復重力場的優勢。衛星激光測距主要用于確定地球動力學扁率J2項，衛星跟蹤衛星技術主要用于恢復70階以下的重力場，衛星重力梯度技術在恢復70階以上的地球重力場中更有優勢。2）Dir模型構造過程中不依賴任何先驗地球重力場模型，理論框架非常嚴密，因此反演地球重力場精度較高［10］。

目前GOCE 模型精度在200 階之后還不太高，累積大地水準面誤差不太穩定，而EGM08模型在200階之后的累積大地水準面誤差逐漸趨于穩定。考慮到Dir5 模型和EGM08 模型在不同頻段的優勢，本文采用200階Dir5模型加上201～2 160階的EGM08模型來計算重力高程異常。在北緯27°～29°、東經86°～88°的珠峰地區，計算200階次的Dir5 和同階次EGM08 高程異常差（圖2）。從圖2中看出，兩個模型在該地區差異非常明顯，最大達到1.4 m，說明Dir5在確定高程異常的長波項中具有很大潛力。

圖2 Dir5和EGM08模型在珠峰地區的高程異常差Fig.2 Differences of height anomalies between Dir5and EGM08geopotential models in Mount Everest area

2.2 RTM 高程異常

地形效應主要與地形起伏有關，與地形絕對海拔高度無關。在珠峰附近選取一個1°×1°區域的SRTM 模型，該地區地形落差較大，最低高程193m，最高高程8 771m，平均高程2 755m，標準差1 607 m。按式（3）計算的RTM 高程見圖3，RTM 高程最低－1 430m，最高2 706m，平均11m，標準差434m。

計算RTM 引力位非常耗時，在實際計算中離計算點較近的區域通常采用高分辨率的剩余地形數據，離計算點較遠的區域則采用粗網格數據。按文獻［4－5］的建議，本文內區精細網格積分半徑選40km，外區粗網格積分半徑為160km。實際上TC.f軟件就是這么處理的，它需要準備3 個地形文件作為輸入，本文準備的文件是：1）3″的SRTM 精細網格文件；2）15″的粗網格文件，由3″的SRTM 模型直接平滑獲得；3）3″的參考面地形模型，由DTM2006.0模型按式（2）計算得到。

在實驗區域按7.5″的間隔逐點計算480×480個網格點的RTM 高程異常（圖4），最小值－6.5cm，最大值9.7cm，平均值1.2cm，標準差2.3cm，且RTM 高程異常輪廓與圖3基本一致。從圖4看出，高精度大地水準面計算中，RTM 對高程異常的影響不容忽視。

圖3 剩余地形高（SRTM－DTM2006.0）Fig.3 Residual terrain elevations（SRTM－DTM2006.0）

圖4 剩余地形高程異常Fig.4 Height anomalies about residual terrain model

2.3 GPS／水準數據比較

在藏南地區收集228 個C 級GPS／水準數據，數據分布呈東西走向，東西寬800km，南北寬200km，平均海拔約4 500 m，GPS／水準主要沿道路兩側布設，地形起伏不大。用GPS／水準點上的幾何高程異常，減去模型計算的高程異常，統計結果見表1。

表1 GPS／水準與組合模型高程異常之差的統計表Tab.1 Statistics of the height anomalies differences between GPS／leveling and different combined geopotential models

從表1 可看出，EGM08 模型在藏南精度較差，使用GOCE 重力場模型替換EGM08中低頻段的組合模型Dir5＋EGM08的精度提高了0.26 m，相對精度提升43%，而Dir5＋EGM08＋RTM組合模型精度提高了0.27 m，相對精度提升45%，即是說在該地區RTM 只貢獻了1cm 的精度。這是因為高程異常主要受重力場中低頻支配，且該地區雖然整體海拔高，但地形起伏不大，RTM 影響不明顯。

3 結 語

1）圖1表明，截至2014－07，綜合SLR、GRACE和GOCE數據的Dir5模型代表了GOCE 重力場發展的最高水平。

2）圖2和表1表明，在缺少重力數據的地區，尤其是高海拔地區，GOCE 大地水準面展現了明顯的優勢。

3）圖4表明，在地形落差較大的地區，RTM能有效地彌補重力場的甚高頻信號。圖中采用3″×3″分辨率的RTM 網格數據，某種程度上相當于將重力場擴展到了216 000 階，因此RTM 導致的高程異常不容忽視。

4）表1表明，GOCE＋EGM08＋RTM 組合模型從兩端（中低頻和甚高頻）改造EGM08重力場模型，提高了無重力數據地區高程異常計算的精度。

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