考慮細觀裂紋分形擴展的損傷多尺度分析★

李 杰 李兆霞 趙超凡

(東南大學，江蘇 南京 210096)

·結構·抗震·

考慮細觀裂紋分形擴展的損傷多尺度分析★

李 杰 李兆霞 趙超凡

(東南大學，江蘇 南京 210096)

依據焊接區細觀裂紋擴展形態的分形特征，建立了分形損傷變量，推導了應變—損傷耦合本構方程，結合多尺度數值分析模型，研究了焊接構件從細觀裂紋開始到構件斷裂的跨尺度損傷演化過程，結構表明：數值模擬結果與實驗觀測相一致，分形損傷變量具有正確性和合理性。

焊接構件，細觀裂紋，分形維數，損傷變量

在大型鋼結構中，鋼結構部件之間的連接形式中以焊接為主。受焊接工藝的影響，焊接區存在細觀孔洞、細觀裂紋、應力集中、殘余應力等先天缺陷，這使得焊接區成為結構中最薄弱的區域[1]。在結構服役過程中，結構裂化與材料損傷共存，結構的損傷分析往往涉及到從細觀到宏觀的多個尺度量級[2，3]。已有實驗觀測研究發現：焊接區缺陷主要包括細觀裂紋和細觀孔洞，細觀裂紋的跨尺度演化是焊接構件發生宏觀斷裂的主導因素。細觀裂紋在擴展形態上有很好的分形特征，近年來，國內外學者基于分形理論對不同材料的破壞過程研究有了進一步的探索和實踐[4-6]。本文基于細觀裂紋擴展形態的分形特征，建立了分形損傷變量，推導了焊接結構損傷區材料損傷本構關系。模擬并分析了焊接構件從細觀裂紋開始到構件斷裂的跨尺度損傷演化過程。

1 焊接區的細觀裂紋擴展形態的分形度量

細觀裂紋擴展過程中的分形維數使用盒維數法來定義。盒維數計算方法如下：

(1)

其中，δ為正方形盒子邊長尺碼；N(δ)為相應正方形盒子邊長尺碼下盒子數目。已有實驗數據[7]表明：細觀裂紋的擴展形態具有顯著的分形特征，能夠用分形維數來度量，且分形維數與累積塑性應變之間具有很好的線性關系。綜上，可以基于細觀損傷力學的思想，將細觀裂紋的分形維數作為損傷參量，根據力學平均化方法，求得材料變形和損傷過程與細觀損傷參數之間的關聯。

2 焊接區材料損傷本構模型

2.1 分形損傷變量的建立

在焊接金屬結構焊接損傷區，細觀裂紋為損傷的主要形式。如上文所述，分形維數可以很好的反映細觀裂紋的擴展形態，且與材料變形有良好的關聯，因此可以作為損傷參數。現將分形維數作為損傷度量，并將其無量綱化，得到損傷變量的形式如下：

(2)

其中，df為細觀裂紋形成宏觀裂紋導致結構失效時的分形維數。

細觀裂紋擴展形態的分形維數與損傷區累積塑性應變之間有顯著的線性關系：

d=d0+k·p

(3)

其中，d0為損傷初始時刻細觀裂紋的分形維數；p為焊接損傷區累積塑性應變；k為分形維數與累積塑性應變之間的線性系數。因此，規格化后的損傷變量可以寫成如下形式：

(4)

初始狀態時，d=d0，D=D0=0，表示焊接區域內分布的細觀裂紋引起的損傷初始狀態，損傷沒有開始演化；材料失效時，d=df，D=1；在材料受載荷作用變形過程中，伴隨細觀裂紋的擴展、貫通，d0

分形維數是一個跨細觀、宏觀的多尺度變量，因此此處建立的分形損傷變量能夠適用于以細觀裂紋分形擴展為主導的損傷跨尺度演化分析。

2.2 應變—損傷耦合本構方程

損傷的作用通過Lemaitre應變—損傷耦合的方法來表現，即考慮彈性模量隨損傷的演化而逐漸退化：

(5)

當損傷發生時，根據有效應力[8]的概念和應變等效原理[9]，塑性屈服函數可以寫成如下形式：

(6)

其中，σij′為Cauchy應力偏張量分量；Xij′為背應力張量分量；σy+R為考慮各項同性強化時的后繼屈服應力。

耦合損傷后的塑性耗散勢函數如下：

(7)

考慮各項同性強化為線性可向同性強化，Hi為線性各項同性強化系數，則有：

(8)

采用Prager線性隨動強化準則[10]，Hk為隨動強化系數：

(9)

其中，M為混合強化系數，取值在0～0.2之間[11]，M=0，1分別對應隨動強化和各項同性強化。

3 焊接損傷跨尺度演化的數值分析方法

3.1 多尺度數值分析模型的建立

在焊接結構或構件中，針對焊區材料和母材需要采用不同的材料模型。焊接區內部存在細觀裂紋的演化，需要考慮該區域材料的細觀力學行為，采用細觀建模的方式，材料采用上文建立的損傷本構關系；母材受焊接區損傷演化的影響材料應力水平普遍較低，內部即使有損傷也不演化或演化程度較低，因此采用宏觀建模的方式，材料采用一般彈塑性材料本構關系。以單軸拉伸焊接構件為例，由于焊接區體積較大的宏觀孔洞對細觀裂紋出現的位置以及擴展方向有著重要的影響，因此根據實驗CT電鏡對焊接構件試樣的觀測結果，在焊接構件模型中建立初始宏觀孔洞缺陷，如圖1所示。

在焊接構件三維有限元模型中，綜合考慮計算量和計算收斂性，焊接區中間層采用C3D4單元，其他部分采用C3D8I單元。

3.2 焊接區材料本構損傷關系的數值實現方法

以增量的形式改寫了焊接區材料損傷本構關系，并基于ABAQUS/standard求解器，用Fortran語言編寫了材料損傷本構模型UMAT子程序。在調用材料用戶子程序UMAT過程中，定義材料的損傷本構關系以及相關算法。在編寫材料損傷本構模型UMAT子程序時，采用基于完全隱式向后Euler法的徑向返回算法實現應力增量和相關狀態變量的求解和更新，并通過Newton-Raphson方法提高局部狀態變量求解的收斂速度和進度。在UMAT中，可通過調用子程序UHARD來實現后屈服特性R的定義。

4 焊接損傷跨尺度演化致構件斷裂分析

焊接區材料損傷模型中的材料參數通過UMAT中的材料性能定義：隨動強化模量HK=1 100MPa，混合強化參數M=0.2，分形維數與累積塑性應變之間的關系由試驗數據擬合得到，如下式：

d=1.195p+1.176

(10)

對焊接構件單軸拉伸模擬后發現，損傷最大值出現在橢球形孔洞上下邊緣，達到0.97。選取圖1中橢球孔洞所在截面，截面不同位置損傷演化趨勢如圖2所示。結果表明隨著載荷、變形的不斷增加，結構服役過程中應力在分布上呈現不均勻性，細觀裂紋的演化也將出現相對較密集和疏松的區域，而分形維數具有表征裂紋密集程度的物理意義，因此在裂紋演化密集區域表現為分形損傷變量值較大，損傷在此區域更容易進一步演化，導致細觀裂紋擴展形態的分形損傷變量值繼續增大。綜合以上對損傷演化過程的多尺度分析，并將有限元模擬結果與試驗結果對比，表明本文建立的分形損傷變量具有合理性和正確性。

傳統損傷宏觀唯象理論中，通過材料受損后的有效承載面積來定義損傷。由于測定有效承載面積具有一定的困難，通過測量材料受損后的卸載彈性模量來標定損傷：

(11)

通過已有的實驗數據，采集卸載彈性模量計算得到宏觀損傷值，焊接構件跨尺度損傷演化過程中的分形損傷值與宏觀損傷值對比結果如圖3所示。

分形損傷值是一個多尺度損傷表征變量，與宏觀損傷值之間吻合較好。對于金屬材料而言，損傷起始于細觀裂紋，終止于宏觀裂紋擴展致材料斷裂。因此，分形損傷變量能夠更好地描述從細觀至宏觀的跨尺度損傷演化過程。

5 結語

1)本文基于細觀力學思想，以分形維數為基礎建立了分形損傷變量，推導了基于分形損傷變量的材料損傷本構關系。2)針對焊接區損傷跨尺度演化，給出了其數值分析方法。焊材采用上文建立的材料損傷本構關系。母材采用一般的彈塑性材料本構關系。并基于商用有限元軟件ABAQUS給出了焊接區材料損傷本構關系的數值實現方法。3)通過對焊接構件單軸拉伸模擬發現，焊接損傷區從細觀裂紋開始至構件斷裂的跨尺度損傷演化過程與實驗觀測現象基本符合，表明分形損傷變量以及基于該損傷變量的材料損傷本構模型具有合理性和正確性。4)數值模擬得到的分形損傷值與實驗測得宏觀損傷值吻合較好。由于分形維數是一個多尺度變量，因此分形損傷變量能夠更好的描述從細觀裂紋開始到構件宏觀斷裂的跨尺度損傷演化過程。

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The damage multi-scale analysis considering the microcosmic cracks fractal extension★

Li Jie Li Zhaoxia Zhao Chaofan

(SoutheastUniversity，Nanjing210096，China)

According to the fractal characteristics of microcosmic cracks extension form in welding area,this paper established the fractal damage variables,deduced the strain-damage coupled constitutive equation,combining with the multi-scale numerical analysis model,researched the span scale damage evolution process of welding components from microcosmic cracks to component fracture,the results showed that the numerical simulation result was consistent with the experimental observation,the fractal damage variable had correctness and rationality.

welding component,microcosmic crack,fractal dimension,damage variable

2015-10-16 ★：國家自然科學基金資助項目(項目編號：11072060)

李 杰(1992- )，男，在讀碩士；李兆霞，女，博士，博士生導師，教授

1009-6825(2015)36-0024-03

O346.5 < class="emphasis_bold">文獻標識碼：A

A