最優(yōu)未來(lái)空域窗模型

盧發(fā)興， 賈正榮， 吳　玲， 余戌曈

(海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院指揮與控制系， 湖北 武漢 430033)

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最優(yōu)未來(lái)空域窗模型

盧發(fā)興， 賈正榮， 吳玲， 余戌曈

(海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院指揮與控制系， 湖北 武漢 430033)

摘要：未來(lái)空域窗射擊體制是一種近年發(fā)展起來(lái)的高炮射擊體制。以往對(duì)它的數(shù)學(xué)描述只考慮了一組射擊誤差，通過(guò)定量構(gòu)造的方式，給出了一種可行的未來(lái)空域窗模型。在考慮了炮彈間的相關(guān)誤差，以毀傷目標(biāo)的概率為效能指標(biāo)，推導(dǎo)出了最優(yōu)未來(lái)空域窗的模型，并給出了未來(lái)空域窗可實(shí)現(xiàn)的毀傷目標(biāo)概率上界。最后通過(guò)算例，分析了各參數(shù)變化對(duì)未來(lái)空域窗的影響。結(jié)果表明:給出的未來(lái)空域窗模型優(yōu)于已有的模型。

關(guān)鍵詞：火控系統(tǒng); 射擊理論; 未來(lái)空域窗; 毀傷概率

0引言

為了提高對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截概率,近年發(fā)展起來(lái)的一種近程防空反導(dǎo)火炮射擊體制，即未來(lái)空域窗射擊體制。它的實(shí)質(zhì)就是，在目標(biāo)預(yù)測(cè)迎彈面內(nèi)以預(yù)測(cè)目標(biāo)未來(lái)點(diǎn)為中心，朝多個(gè)瞄準(zhǔn)點(diǎn)射擊，形成一個(gè)炮彈散布區(qū)域，這個(gè)區(qū)域稱之為未來(lái)空域窗。國(guó)內(nèi)最早詳細(xì)對(duì)未來(lái)空域窗進(jìn)行數(shù)學(xué)描述的是文獻(xiàn)[1]，后來(lái)所有對(duì)未來(lái)空域窗的相關(guān)研究[2-3]都是以其為基礎(chǔ)進(jìn)行的。這些文獻(xiàn)中的未來(lái)空域窗模型[4-9]，忽略了炮彈間的相關(guān)誤差，通過(guò)定量構(gòu)造的方式，給出了一種未來(lái)空域窗模型，這個(gè)模型并不保證其是最優(yōu)的未來(lái)空域窗。本文從另一個(gè)角度，在考慮炮彈間的相關(guān)誤差的基礎(chǔ)上，以毀傷目標(biāo)的概率為效能指標(biāo)，給出未來(lái)空域窗的最優(yōu)參數(shù)及毀傷目標(biāo)概率的上界，為實(shí)現(xiàn)未來(lái)空域窗射擊體制提供理論基礎(chǔ)。

1最優(yōu)未來(lái)空域窗的區(qū)域特性

不妨設(shè)射擊的不相關(guān)誤差和相關(guān)誤差服從正態(tài)分布，其歸一化處理后的概率密度函數(shù)分別為f1(x1,z1)和f2(x,z)。

(1)

式中，ρ為正態(tài)常數(shù)，取ρ=0.476 936。

通過(guò)選擇n個(gè)炮彈的瞄準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)，使之形成的未來(lái)空域窗毀傷目標(biāo)概率Pn,ω最大，也就是目標(biāo)未被毀傷的概率Pn,0最小，這樣的未來(lái)空域窗是最優(yōu)。由射擊效能[10]可得

(2)

式中，p(x,z)為系統(tǒng)誤差取x,z時(shí)，炮彈命中目標(biāo)的概率。同樣由射擊效能，可得

(3)

(4)

函數(shù)U(x,z)中包含有瞄準(zhǔn)點(diǎn)相對(duì)坐標(biāo)(ξxi,ξzi)，如果能夠求解出使Pn,0最小的最優(yōu)函數(shù)U(x,z)，通過(guò)最優(yōu)函數(shù)U(x,z)可確定最佳的瞄準(zhǔn)點(diǎn)相對(duì)坐標(biāo)。為了求解最優(yōu)函數(shù)U(x,z)，首先要對(duì)函數(shù)U(x,z)進(jìn)行特性分析。顯然由式(4)易知

(5)

如果對(duì)U(x,z)進(jìn)行積分，由(4)可知，可避免直接求解相對(duì)坐標(biāo)(ξxi,ξzi)，由此可得

(6)

令

則有

(7)

把式(1)和式(4)代入式(2)可得

(8)

由指數(shù)函數(shù)特性和積分知識(shí)可知，式(8)中Pn,0最小等價(jià)于其被積分函數(shù)最小，設(shè)被積分函數(shù)為F(x,z)，F(xiàn)(x,z)為彈丸綜合散布密度。

(9)

這樣，求解未來(lái)空域窗的最優(yōu)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求解最優(yōu)的U(x,z)函數(shù)，在滿足式(5)和式(7)約束條件下，使得式(9)中的F(x,z)最小。由拉格朗日求極值法可得

(10)

式中，λ為拉格朗日系數(shù)，為0到1之間的常數(shù)。由約束條件式(7)可得

(11)

(12)

(13)

這樣，最優(yōu)未來(lái)空域窗的區(qū)域是一個(gè)橢圓，其半軸為Rx,Rz，表達(dá)式為

(14)

把式(12)代入Pn,0的被積分函數(shù)式(9)可得

(15)

由式(15)可看出，為了實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的未來(lái)空域窗，窗內(nèi)的彈丸綜合散布密度必須是常數(shù)。

2最優(yōu)瞄準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)模型

由最優(yōu)函數(shù)Uo(x,z)中可近似確定炮彈的最優(yōu)瞄準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)。為此假設(shè)炮彈射擊數(shù)足夠大，并引入射擊密度函數(shù)N(ξx,ξz)，N(ξx,ξz)ΔξxΔξz表示位于區(qū)間Δξx×Δξz內(nèi)的瞄準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)。把式(4)中的ln[1-p(x+ξxi,z+ξzi)/ω]近似用-p(x+ξxi,z+ξzi)/ω替代，可得

(16)

當(dāng)瞄準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)的變化區(qū)間Δξxj、Δξzj足夠小，設(shè)pj(x+ξxi,z+ξzi)為瞄點(diǎn)坐標(biāo)位于區(qū)間Δξxj×Δξzj內(nèi)的所有炮彈命中目標(biāo)的平均概率，于是有

(17)

當(dāng)Δξxj，Δξzj趨向無(wú)窮小時(shí)，式(17)變?yōu)?/p>

(18)

一般而言，未來(lái)空域窗大大超過(guò)炮彈的散布區(qū)域，因此可認(rèn)為N(ξx,ξz)在p(x+ξx,z+ξz)不為零的區(qū)域?yàn)槌?shù)，并等于ξx=x,ξz=z時(shí)的值，因此式(18)可為

(19)

考慮了先前的近似替代，由式(7)可得

(20)

(21)

式(21)可以用于確定未來(lái)空域窗最優(yōu)參數(shù)，使得實(shí)際上的射擊密度最接近最優(yōu)值。近似確定最優(yōu)瞄準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)及分配給這個(gè)瞄點(diǎn)的炮彈數(shù)量可按如下方式完成。

(1) 如果瞄準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)指定

為總的瞄準(zhǔn)點(diǎn)數(shù)，則分配給每個(gè)瞄準(zhǔn)點(diǎn)的炮彈數(shù)量nij為

(22)

(2) 如果指定了分配給每個(gè)瞄準(zhǔn)點(diǎn)的炮彈數(shù)量nij(i=1,…,a;j=1,…,b;a×b≤n)，則由式(22)組成的方程組求解瞄準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)ξxi,ξzj。

3毀傷目標(biāo)概率

把最優(yōu)函數(shù)Uo(x,z)代入式(8)，可得目標(biāo)未被毀傷的最小概率Pn,0

(23)

由式(2)可得在未來(lái)空域窗射擊體制下，可實(shí)現(xiàn)的毀傷目標(biāo)概率的上界是

(24)

顯然，當(dāng)采用集火射擊時(shí)，所有的炮彈的瞄準(zhǔn)點(diǎn)相同，由式(2)可得集火射擊時(shí)的毀傷目標(biāo)概率

(25)

下面分析按文獻(xiàn)[1]未來(lái)空域窗下的毀傷目標(biāo)概率。此時(shí)2組誤差等效為1組誤差，有

歸一化的瞄準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)(ξxi,ξzi)(i=1,…,h)為

(26)

(27)

4算例分析

n=180，360，720; k=0.2，0.4，0.6，0.8，1

把參數(shù)的中間取值定為基準(zhǔn)值，也就是說(shuō)，在每次計(jì)算中，參數(shù)中最多只有一個(gè)取非基準(zhǔn)值，而其他的參數(shù)均取基準(zhǔn)值。根據(jù)文獻(xiàn)[1]，h=6。這樣，在給定初值的條件下計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1　各種參數(shù)對(duì)未來(lái)空域窗的影響

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，可得到如下結(jié)論。

(1)εx或εz增大，意味著炮彈間的相關(guān)誤差增大，而炮彈間的相關(guān)誤差主要是由目標(biāo)定位誤差造成的，目標(biāo)機(jī)動(dòng)越大，該誤差越大，此時(shí)采用未來(lái)空域窗射擊，相對(duì)于集火射擊，其優(yōu)勢(shì)越大，所以未來(lái)空域窗射擊體制主要用于對(duì)高機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截。

(2)k或m增大，意味著目標(biāo)的等效毀傷面積增大，未來(lái)空域窗射擊和集火射擊的效能都提高，但未來(lái)空域窗射擊效率提高更大，這說(shuō)明未來(lái)空域窗射擊比較適合于大目標(biāo)。

(3) 齊射的炮彈數(shù)量增大，未來(lái)空域窗射擊和集火射擊的效能都提高，但由于未來(lái)空域窗區(qū)域增大，其效能提高的程度大于集火射擊情況，這說(shuō)明未來(lái)空域窗射擊要求的炮彈數(shù)量要達(dá)到一定值后才能采用。

(4)ω增大，即毀傷目標(biāo)所需的炮彈數(shù)增大，未來(lái)空域窗區(qū)域減小，未來(lái)空域窗射擊效率降低。

(5) 由文獻(xiàn)[1]提出的未來(lái)空域窗，得到的毀傷目標(biāo)概率明顯低于未來(lái)空域窗射擊毀傷目標(biāo)概率上界，這說(shuō)明這種未來(lái)空域窗優(yōu)勢(shì)并沒(méi)有完全發(fā)揮出，有時(shí)還低于集火射擊的效能，只有提高炮彈數(shù)量才可能高于集火射擊的效能，其實(shí)在同等條件下，采用本文提出的未來(lái)空域窗模型射擊效能高于集火射擊。

5結(jié)論

以往提出的未來(lái)空域窗模型，忽略了炮彈間的相關(guān)誤差，單純從彈頭的散布密度和散布概率來(lái)構(gòu)造未來(lái)空域窗，并不能得到最優(yōu)的未來(lái)空域窗，從算例可以看出，與最優(yōu)解還有一定差距。而本文從毀傷目標(biāo)效能的角度，給出了更優(yōu)的未來(lái)空域窗模型，為未來(lái)空域窗射擊體制的工程化應(yīng)用提供了更堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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盧發(fā)興(1974-)，男，副教授，博士，主要研究方向?yàn)榕炤d指控及火控系統(tǒng)。

E-mail：lfx1974@163.com

賈正榮(1992-)，男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榕炤d火控系統(tǒng)。

E-mail：jzr451763650@sina.cn

吳玲(1976-)，女，副教授，博士，主要研究方向?yàn)榕炤d指控及智能決策技術(shù)。

E-mail：wul.nue@gmail.com

余戌曈(1990-)，男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榕炤d指控系統(tǒng)。

E-mail：yxtmcy0217@163.com

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141119.2233.013.html

Optimal model of future airspace window

LU Fa-xing, JIA Zheng-rong, WU Ling， YU Xu-tong

(ElectronicEngineeringCollege,NavalUniversityofEngineering,Wuhan430033,China)

Abstract:The shooting mode of future airspace window (FAW) is a gun shooting mode recently developed. In the existed studies, a feasible mathematical model of the FAW is provided with only one group error considered. With the correlated errors of projectiles taken into consideration and the killing probability set as an effectiveness index, the optimal model of the FAW is derived. Computation samples are carried out and the influence of the parameter variations on the FAW is analyzed. The results show the advantage of the proposed FAW model over the existed models.

Keywords:fire control system; firing theory; future airspace window (FAW); kill probability

作者簡(jiǎn)介：

中圖分類號(hào)：TP 271

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2015.05.15

收稿日期：2014-09-11；修回日期：2014-11-03；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014-11-19。