極限（1+）x=e 的證明研究

吳曉麗

（江蘇省常州市建東職業技術學院）

極限的定義及兩個重要極限是高等數學極限一章中的重要內容，從表面上看，兩個重要的極限解決了某些類型的極限的求法，但是這兩個重要極限是高度抽象的，它們的意義不容忽視。由于大部分書都將兩個重要極限的應用作為重點來講， 但我們也不能忽視對兩個極限本身的證明。 作為學生思維方法的拓展，這兩個極限本身的證明就意義重大。 對第二個重要極限的證明，前人也有許多的研究，本文就第二個重要的極限的證明，給出了自己的方法。

對第二個重要極限的證明大部分書中采用的方法不外乎兩種，一是列出數值表觀察其變化趨勢法；二是采用牛頓二項式定理展開，用單調有界來證明。 當然也有其他的證明方法，如導數定義法、無窮小量法、洛必達法則法等。大一學生剛剛從高中進入大學，初等數學的印象還在，用初等數學的方法證明，學生會更好地理解這個極限。 下面我們采用初等數學的方法——構造函數的方法來證明此極限。

首先不用證明給出下列幾個定理。

定理1：（單調有界原理）單調有界數列必有極限。

定理2：（夾逼準則）若x∈N（x＾0，δ）（其中δ 為某個正常數）時，有

下面用函數構造法證明：

故有g（x）＞0 即f＇（x）＞0

故數列｛an｝=｛（1+）n｝是單調遞增數列，又a1=2≤an=（1+）n

即數列｛an｝=（1+）n｝單調遞增有界，故（1+）n存在且（1+）n=e，從而極限（1+）x=e。

令y=-x，x→-∞，y→+∞

［1］甄海燕.兩個重要極限的一種證明方法［J］.高師理科學刊，2013（02）.

［2］葛亞平，張海燕，陳文亞.應用數學［M］.1 版.北京：高等教育出版社，2014.