數值求解優化問題在活動輪廓模型上的應用

廖翠萃，李敏，梁久禎，廖祖華

(1.江南大學 理學院， 江蘇 無錫 214122； 2. 江南大學 物聯網工程學院，江蘇 無錫 214122)

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數值求解優化問題在活動輪廓模型上的應用

廖翠萃1，李敏2，梁久禎2，廖祖華1

(1.江南大學 理學院， 江蘇 無錫 214122； 2. 江南大學 物聯網工程學院，江蘇 無錫 214122)

摘要：針對活動輪廓模型圖像分割過程中迭代次數多，分割速度慢的問題，提出一種高階的數值求解方法。分析活動輪廓模型中基于全局信息的CV模型，以及基于局部信息的LBF模型，LIF模型。使用二階、三階Runge-Kutta方法，原始Euler方法對模型進行數值求解實驗對比分析。并對LBF模型中平滑項系數，時間步長的選取進行討論。通過對非同質圖像、同質圖像的實驗結果分析表明，所采用的數值方法能夠有效地提高數值收斂精度、減少迭代次數、計算效率高。對不同系數和時間步長，數值方法也能表現出較好的穩定性。

關鍵詞：CV模型；LBF模型；Runge-Kutta方法；數值求解優化；圖像分割

中文引用格式：廖翠萃，李敏，梁久禎，等. 數值求解優化問題在活動輪廓模型上的應用[J]. 智能系統學報， 2015, 10(6): 886-892.

活動輪廓模型[1]圖像分割方法近年來得到了很好的發展，大體可分為基于圖像邊界信息的分割和基于圖像區域信息的分割模型2種。其中基于圖像區域信息的Chan-Vese(CV)模型[2]，主要是依賴于圖像全局的灰度信息，再使用曲線演化理論和水平集方法。模型的求解過程可以轉化為尋找能量泛函的極小值問題，通常采用顯示歐拉的數值求解方法[3]，通過變分法得到能量泛函的Euler-Lagrange方程，最后用有限差分方法進行迭代求解。

CV模型中水平集函數增加了其計算量，存在著耗時長、效率低以及易于陷入局部極小值等問題。 針對模型的改進，李春明等[4]提出的處理強度不均勻圖像的局部二元擬合模型；此外，潘改等[5]結合了LBF模型和GAC活動輪廓模型這2種方法，能有效地處理弱邊界圖像的分割；張開華等[6]提出的局部圖像擬合模型，基于高斯濾波的變分水平集方法來處理強度不均勻的圖像分割；劉瑞娟等[7]提出的融合局部和全局信息的活動輪廓模型方法；王小峰等[8]提出了一種局部CV活動模型，將局部圖像信息融入到模型中。對于數值求解方面的改進，如牛頓方法、與置信域相結合的一般牛頓方法[9]以及在此基礎上的改進牛頓方法。此外還有二階、三階Runge-Kutta方法[10]在CV模型上的應用。這些算法都能有效地增加了模型的求解速度，并針對不同的問題都有所改進。目前，CV模型被廣泛地應用于醫學圖像分割，并具有很好的發展前景。

本文在優化模型的同時，主要對模型的數值求解過程進行分析改進。首先，分析活動輪廓模型中基于全局信息的CV模型，以及基于局部信息的LBF模型、LIF模型。使用二階、三階Runge-Kutta方法，并與Euler方法進行對比實驗。主要圍繞LBF模型中平滑項系數，時間步長的選取進行討論。最后通過對非同質圖像和同質灰度圖像的實驗結果分析表明，該模型能夠有效地提高數值求解的迭代次數，計算效率高，對不同系數，時間步長的穩定性好。

1活動輪廓模型

1.1基于全局區域信息的CV模型

(1)

(2)

式中：c1、c2為活動輪廓線內部和外部的強度均值：

(3)

(4)

式中：H(·)為Hessian函數。最終的分割輪廓線C的位置及未知常量c1、c2通過最優化能量泛函得到：

(5)

1.2基于局部區域信息的LBF模型及LIF模型

李春明等[4]提出的局部二元擬合模型，有效地解決了C-V模型難以準確分割強度不均勻圖像的問題，該模型使用了圖像的局部信息，引入一個以高斯函數為核函數的局部二值擬合能量泛函代替C-V模型的全局二值擬合能量項．對于任意像素點x，x∈Ω，其擬合項能量泛函：

(6)

式中：輪廓曲線將圖像分為區域內和區域外。f1(x)和f2(x)分別為像素點x在區域內和區域外的灰度擬合值，具體由像素點x鄰域內各個像素點所確定。Kσ(x-y)是標準差為σ的高斯核函數，通常取式(7)表達式：

(7)

當σ的取值過大時，計算量增大；而σ的取值過小時，獲取局部區域灰度變化信息的能力降低，一般σ取5。

關于嵌入函數φ(·)的能量泛函最小值得到f1(x)和f2(x)：

(8)

(9)

局部圖像擬合(LIF)模型是基于LBF提出的改進區域活動輪廓模型，利用分片光滑函數近似待分割圖像。與LBF模型相類似，LIF模型采用了像素點和鄰域像素點差值來擬合能量。最后采用高斯濾波器，使得模型對噪聲具有較好的魯棒性和平滑性。其能量泛函的水平集形式可以表示：

(10)

綜上所述，LBF、LIF模型和C-V模型都是求取全局最小的能量泛函，因此對乘性噪聲都具有良好的抗噪性，能分割弱邊界或者無邊界的圖像目標，并且初始曲線可設置在圖像任意位置。與C-V模型相比，LBF方法和LIF方法的高斯核函數能獲得圖像灰度變化的信息，能更準確分割灰度不均勻的圖像。LBF方法的能量泛函是以全局誤差平方和最小的準則建立起來的，在實際中得到廣泛應用。LIF在LBF的基礎上，對含有噪聲圖像的處理結果更加理想。

但是，上述模型在分割灰度值不均勻的復雜圖像時，真實的目標和背景的誤差平方和往往不是全局最小，而是局部最小。因此，模型的能量泛函不能準確描述復雜圖像的目標和背景的特征，容易產生錯誤分割，或者陷入局部極小值的情況。本文從數值求解優化的角度出發，使用高精度的二階、三階Runge-Kutta方法，對CV模型、LBF模型、RIF模型的數值求解進行討論分析，加快模型的收斂速度，在更少的迭代次數內得到更為精確的數值解。

2數值求解方法

本文使用二階、三階Runge-Kutta方法，對活動輪廓模型中有代表性的CV模型、LBF模型、LIF模型的數值求解問題進行討論分析。

對活動輪廓模型迭代求解時，使用水平集變分法對能量泛函求解，原始CV模型及LBF模型能量泛函均可簡化寫為

(11)

水平集函數初始化定義為

(12)

變分法最小化能量泛函E使用Heaviside函數：

(13)

(14)

對于Euler-Lagrange方程的數值求解，傳統的方法是采用Euler方法，本文將采用二階、三階Runge-Kutta方法,這2類數值方法的構造思想如下。

2.1Euler 方法

(15)

(16)

式中：iter為迭代次數。Euler方法形式簡單、計算速度快、易于求解，但其在數值精度和數值穩定性方面表現較弱。

2.2Runge-Kutta 方法

二階Runge-Kutta可以表示為

(17)

對活動輪廓模型數值求解時，二階RK格式為

(18)

三階RK格式為

(19)

Runge-Kutta方法是求解非線性微分方程的重要數值迭代方法，是Euler方法的一種推廣。它提高了計算收斂精度，縮小截斷誤差，并且具有更好的穩定性。Runge-Kutta方法的導出基于Taylor展開，對所求問題的解具有較好的光滑度，可以使近似公式達到所需要的階數，并且能夠有效提高方法的精度。計算時使用Euler-Lagrange函數在若干點上函數值的線性組合來構造近似公式，因此會在時間復雜度上造成線性的倍數增加[14-15]。本文采用的顯式二階三階Runge-Kutta方法并不會在計算復雜度上造成過多的影響。

對模型中的空間導數項的數值離散采用有限差分方法。本文選擇二階精度的中心差分方法進行數值的近似求解，對φi,jn進行半點中心差分，其偏導數為

(20)

(21)

3實驗與結果分析

本文實驗是在Matlab R2011b平臺上進行的， 所用的計算機系統配置如下：CPU為Intel(R) Core(TM) i5-3470; 主頻為@3.20 GHz; 內存為4 GB; 操作系統為Microsoft Windows7 Professional。實驗選用的素材參考文獻[11]，采用的評價方法參考文獻[12-13]。

3.1LBF模型的參數討論

第1部分的參數討論分析中，LBF模型對活動輪廓模型Euler-Lagrange函數，即式(14)的長度項光滑項系數nu值，以及時間步長△t比CV模型，LIF模型更加敏感。因此，本文在式(14)中使用擬合項FLBF，即式(6)。分別對LBF模型中的不同時間步長△t和不同光滑系數項nu進行3種數值求解方法的實驗討論。

3.1.1對光滑系數項nu值的討論

首先，本文對LBF模型中的時間步長△t和光滑系數項nu進行討論。固定時間步長△t=0.1，對光滑項系數nu=0.001×255×255到nu=0.005×255×255的結果進行討論。圖1~3中iter為模型迭代次數。

圖1　顯式Euler方法的圖像分割結果Fig.1　Segment results by explicit Euler method

圖2　RK-2方法的圖像分割結果Fig.2　Segment results by RK-2 method

圖3　RK-3方法的圖像分割結果Fig.3　Segment results by RK-3 method

觀察圖1~3( 79×75)可知，Euler方法、二階RK方法、三階RK方法在nu≤0.001×255×255時，實驗分割結果不穩定，會造成圖片左側的誤分割現象；而當nu>0.005×255×255時，實驗的分割結果會陷入局部極小值，不能對圖像完全分割；而當值處于0.001×255×255

3.1.2對光滑系數項nu值的討論

固定光滑項系數nu=0.003×255×255，對△t=0.01,0.05,0.1,0.2,0.3的實驗結果進行討論。本文選取比較有代表性的4個時間步長，對不同時間步長下的Euler方法、二階RK方法、三階RK方法進行討論分析。觀察圖4~6(size 127×96)，當△t=0.01時，三階RK方法需要迭代800次才能得到最終的結果，而當△t=0.05,0.1,0.2時，迭代次數依次遞減。而當△t>0.2，取△t=0.3時，3種方法都不能得到圖像的正確分割結果。綜合考慮，本文所使用的RK3方法在穩定區域內，不同的時間步長下，均能在更少的迭代次數內得到正確的分割結果。

圖4　顯式Euler方法的圖像分割結果Fig.4　Segment results by explicit Euler method

圖5　RK-2方法的圖像分割結果Fig.5　Segment results by RK-2 method

圖6　RK-3方法的圖像分割結果Fig.6　Segment results by RK-3 method

3.2不同灰度圖像分割實驗結果分析

在第2部分實驗中，本文分別討論使用LIF模型中的局部信息擬合項FLIF和全局信息擬合項FCV時，對強度不均勻的圖像和一般灰度圖像的3種數值求解方法的進行分析。

3.2.1局部信息擬合項對強度不均勻圖像的分析

實驗中所選圖例均為圖像分割實驗中的經典圖例。在對強度不均勻圖像的處理中，本文選擇LIF模型中的考慮局部信息的擬合項FLIF，其形式與式(6)中的FLBF擬合項格式相同，在最后采用高斯濾波器，使得模型對噪聲具有較好的魯棒性和平滑性。參數設置時，統一設置時間步長△t=0.1，光滑項系數nu設置為4幅圖像的經驗參數中的最優參數：(a)nu=0.003×255×255，(b)nu=0.002×255×255，(c)nu=0.001×255×255，(d)nu=0.001×255×255。

圖7　顯式Euler方法的圖像分割結果Fig.7　Segment results by explicit Euler method

圖8　RK-2方法的圖像分割結果Fig.8　Segment results by RK-2 method

圖9　RK-3方法的圖像分割結果Fig.9　Segment results by RK-3 method

Table 1Running time comparison of inhomogeneous images/s

方法圖3(a)119×78圖3(b)111×110圖3(c)103×131圖3(d)128×128Euler0.1420.4350.5560.122RK-20.1940.7311.1110.203RK-30.3121.1001.6130.310

通過觀察圖7~9可知，在有限的迭代次數下，二階RK方法均能更快地得到最終解，其中RK-2方法的收斂速度也明顯優于Euler方法；而對比表1中數據可知，由于二階、三階RK方法的計算復雜度上比Euler方法更高，二階RK及三階RK方法整體運行時間上略慢于Euler方法。然而其收斂速度，精確度均比Euler方法更好。

3.2.2全局信息擬合項對一般灰度圖像的分析

在對一般灰度圖像實驗分析時，本文使用式(2)的全局信息擬合能量項FCV，對3幅比較有代表性的一般圖像進行實驗對比分析。統一設置時間步長△t=1，光滑項系數nu=0.001×255×255。實驗結果如圖10~12所示。

圖10　顯式Euler方法的圖像分割結果Fig.10　Segment results by explicit Euler method

圖11　RK-2方法的圖像分割結果Fig.11　Segment results by RK-2 method

圖12　RK-3方法的圖像分割結果Fig.12　Segment results by RK-3 method

從圖10(a)、11(a)、11(a)中可以看出，采用Euler方法，本文二階、三階RK方法得到的分割結果類似，均能在2次迭代之后收斂。這里主要是因為圖像的分辨率較小且圖像自身簡單。此時，3種方法均能得到正確結果；再觀察圖10(b)、11(b)、12(b)，二階RK及三階RK均能得到正確的分割結果，而Euler方法分割不完全，且帶有許多不連續點；對含有大量噪聲的圖10(c)、11(c)、12(c)，3種模型的抗噪能力均比較差，在迭代20次時，模型分割都帶有大量噪點。也表明了本文方法沒有在魯棒性上著重改進。觀察表2可知，當使用全局能量擬合項時，本文二階、三階RK模型，與Euler方法運行時間相近，且能得到更準確的分割結果。綜上所述，本文方法具有一定的優勢。

表2一般灰度圖像分割運行時間對比數據

Table 2Running time comparison of general gray images /s

方法圖4(e)84×84圖4(f)128×128圖4(g)256×256Euler0.0300.0480.302RK-20.0340.0390.444RK-30.0380.0410.602

4結束語

本文使用高階數值求解優化方法解決水平集變分圖像分割問題。通過將二階、三階Runge-Kutta方法，與傳統Euler方法在基于全局區域信息的CV模型，及基于局部區域信息的LBF、 LIF模型上實驗對比分析可知：本文模型對光滑項系數及不同時間步長的情況下，均能更快地得到實驗結果，并有效提高了分割的精度。實驗結果表明，RK-2、RK-3方法的使用提高了計算精度、減少迭代次數、減小迭代誤差，且比Euler方法具有更好地穩定性。然而RK-2、RK-3方法在在計算復雜度上比傳統Euler方法較為復雜。因此，從模型和數值求解優化問題相結合的角度出發，如何選擇更優的數值求解方法，以得到更優的實驗結果，將作為今后繼續研究發展的一個方向。

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廖翠萃, 女, 1983年生, 博士, 講師。發表SCI檢索論文4篇、CSCD論文4篇，主持國家自然科學基金項目1項。主要研究方向為保結構數值計算方法。

李敏, 女, 1990年生, 碩士。發表CSCD論文一篇，主持江蘇省研究生科研實踐項目一項。 主要研究方向數字圖像處理。

梁久禎, 男, 1968生， 教授,博士。主要研究方向為機器視覺、圖像處理等。在專業雜志與國內外會議等發表學術論文120余篇，其中被SCI檢索8篇、EI檢索33篇、CSCD檢索 60篇。主持國家自然科學基金項目1項、省部級項目3項。

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.tp.20151110.1354.016.html

英文引用格式：LIAO Cuicui，LI Min，LIANG Jizhen，et al. Application of a numerical solution to the optimization problem in the active contour model[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems, 2015, 10(6): 886-892.

Application of a numerical solution to the optimization problem

in the active contour model

LIAO Cuicui1， LI Min2， LIANG Jiuzhen2， LIAO Zuhua1

(1. Department of Information and Computaion Science, College of Science, Jiangnan University, Wuxi 214122, China; 2. Institute of Intelligent Systems and Network Computing, School of Internet of Things Engineering, Jiangnan University, Wuxi 214122, China)

Abstract：In this paper, we analyze numerical optimization procedures and propose high-order numerical methods to deal with the problems of slow convergence and low efficiency in the active contour model. First, we analyze the global information region-based active contour Chan-Vese (CV) model, the local information region-based local binary fitting (LBF) model, and the local image fitting (LIF) model. Then, we compare and analyze image segment results utilizing second-and third-order explicit Runge-Kutta methods, and the standard explicit Euler method. We also analyze the segment results of different sliding coefficient parameters and time steps of the LBF model. The experimental results for the intensity inhomogeneities and common images show that the proposed numerical methods can reduce the number of iterations, and improve convergence accuracy and computational efficiency. In addition, for different coefficients and time steps, the proposed methods yield greater stability.

Keywords：CV model; LBF model; Runge-Kutta method; numerical optimization procedure; image segment

作者簡介：

通信作者：廖翠萃. E-mail：cliao@jiangnan.edu.cn.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11401259)；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(jusrr11407).

收稿日期：2015-04-30. 網絡出版日期：2015-11-10.

中圖分類號：TP391.41

文獻標志碼：A

文章編號：1673-4785(2015)06-0886-07

DOI:10.11992/tis.201507037