基于集對邏輯的近似推理方法研究

楊亞鋒

(華北理工大學 輕工學院，河北 唐山 063000)

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基于集對邏輯的近似推理方法研究

楊亞鋒

(華北理工大學 輕工學院，河北 唐山 063000)

摘要：借鑒模糊推理的基本方法，以集對邏輯為基礎，給出了集對蘊含式的定義，進一步針對其聯系數形式的真值進行研究，討論了單論域上集對推理的基本模式與方法。然后，提出了集對關系的概念，將單論域推理方法延伸至具有集對關系的聯系域上，證明了一些基本定理。該成果對于集對分析理論的發展與完善有著一定的參考價值與指導意義。

關鍵詞：集對分析；集對邏輯；模糊推理；聯系度；集對關系，集對推理

中文引用格式：楊亞鋒. 基于集對邏輯的近似推理方法研究[J]. 智能系統學報， 2015, 10(6): 921-926.

傳統的二值邏輯中，命題的真值只有2種可能，是與非，而事實上對事物的描述從來沒有如此確定。對于同一命題，不同的人有不同的看法，不同的環境中有不同的特性，沒有絕對的對與錯、是與非。1965年，L.A.Zadeh提出了模糊數學的理論與方法，為解決這個問題提供了一個工具，進而模糊邏輯[1]將模糊命題映射到閉區間[0,1]上，擴充了命題真值的范圍，更客觀地反映了事物特征?；谀：壿嫷哪：评矸椒壳耙言诒姸囝I域取得了顯著的成效[2-4]。1983 年，考慮模糊隸屬函數的對立方面——非隸屬度，K.T.Atanassov 提出了直覺模糊集的概念[5]。直覺模糊集及其推理方法已成為目前研究的熱點之一[6-8]。1996年，史開泉教授提出雙枝模糊集理論[9-10]，將隸屬函數擴展為模糊接吻函數S(x)∈[-1,1]，進一步擴大了模糊集的研究領域。通過分解定理說明了雙枝模糊集與普通集的轉化關系。劉剛等[11-12]在雙枝模糊集基礎上，建立了雙枝模糊邏輯的框架，對單枝模糊邏輯進行了合理的擴充。作者認為，在很多情況下，不易判斷命題是否為真或假，事物本身帶有極大的不確定性。命題的真度、偽度和不確定度三者同時存在，并形成一個相互作用、相互轉化的系統。為了更為客觀、全面、系統地刻畫事物，作者以集對分析理論[13-14]中的聯系數為基本工具，提出了集對邏輯的定義，并證明了其主要運算律[15]。本文以集對邏輯的基本方法為主要工具，提出一種新的近似推理模式與方法。

1集對邏輯

1.1基本概念

對于一個命題A，如果得到其為真、假、不確定的程度分別為a、b、c，則可將A的真值表示為聯系數的形式，記作：μ=a+bi+cj。具有該種形式真值的命題成為集對命題。

則稱映射μ為S上的真值函數，μ(A)稱為集對命題A的真值。當給定集對命題A以具體的真值時，稱為給集對命題A賦值。

定義2對于集對公式A和B，當且僅當對A、B中所含集對命題的一切賦值都有μ(A)≡μ(B)時，稱A、B為等值公式，并記作A=B。

定義3如果集對命題A的真值為μ(A)=1，則稱A為S-真命題。

定義4如果集對命題A的真值為μ(A)=i，則稱A為S-不確定命題。

定義5如果集對命題A的真值為μ(A)=j，則稱A為S-假命題。

定義6對于集對命題A，如果其真度為a(A)，偽度為c(A)j，則其不確定度為b(A)=1-a(A)-c(A)，且命題A的真值為

(1)

式中：0≤a(A),b(A),c(A)≤1，且滿足歸一化條件a(A)+b(A)+c(A)=1。

設A,B∈S，μ(A)=a(A)+b(A)i+c(A)j和μ(B)=a(B)+b(B)i+c(B)j，針對集對真值的真度和偽度分別進行雙枝模糊邏輯的演算規則，則：析取式、合取式和否定式的真值如下：

1.2運算定律

約定：A,B,C∈S

下面給出集對邏輯命題定律：

定律1冪等律

定律2交換律

定律3吸收律

定律4結合律

定律5分配律

定律6在分配格(S,∨,∧)中有最大元1和最小元j，且滿足

定律8摩根律

2集對推理

2.1基本概念

形如“A：x是a”的陳述句稱為判斷句，x稱為語言變元，是論域X中的任一特定對象。若A所表示的概念是集對的，即其真值可用聯系數來表示，則稱判斷句A為集對判斷句，其真值記為

定義7對于判斷句“A：x是a”和“B：x是b”，稱“若A，則B”為推理句，記作A→B。若A、B均為集對判斷句，則稱為集對推理。

定義8集對判斷句的蘊含關系為

集對判斷句分別從肯定、否定、不確定3個方面描述了命題的特征，是一種更為客觀的推理形式，是對模糊推理及雙枝模糊推理的補充與完善。

2.2單論域集對推理

設μ(A)=a(A)+b(A)i+c(A)j，μ(B)=a(B)+b(B)i+c(B)j則對于以上給出的集對蘊含式，有：

定義9如果A→B的真值為μ(A→B)=1，則稱A→B對x集對真，簡記為S-真。

定義10如果A→B的真值為μ(A→B)=i，則稱A→B對x集對不確定，簡記為S-不確定。

定義11如果A→B的真值為μ(A→B)=j，則稱A→B對x集對假，簡記為S-假。

定律9若對于集對命題A,B，其真值分別為

則有以下性質成立：

1)若A對x為S-真命題，則A→B與B等值；

2)若A對x為S-假命題，則A→B對x必為S-真；

3)若B對x為S-真命題，則A→B對x必為S-真；

4)若B對x為S-假命題，則A→B與A互逆。

證明根據定義知，

1)若A對x為S-真命題，即μ(A)=1，則

min{1,c(B)})i+min{1,c(B)}j=

即μ(A→B)=μ(B)，因此A→B與B等值。

2)若A對x為S-假命題，即μ(A)=j，則

min{0,c(B)})i+min{0,c(B)}j=

1+(1-1-0)i+0j=1

即μ(A→B)=1，因此A→B為S-真。

3)若B對x為S-真命題，即μ(B)=1，則

min{a(A),0})i+min{a(A),0}j=

1+(1-1-0)i+0j=1

即μ(A→B)=1，因此A→B為S-真。

4)若B對x為S-假命題，即μ(B)=j，則

min{a(A),1})i+min{a(A),1}j=

定律10若μ(A)=a(A)+b(A)i+c(A)j，μ(B)=a(B)+b(B)i+c(B)j，且A對x為S-不確定命題，則有：

1)若B對x為S-真命題，則A→B為S-真；

2)若B對x為S-假命題，則A→B為S-不確定。

3)若B對x為S-不確定命題，則A→B為S-不確定。

證明：由題意μ(A)=i，根據定義知，

min{0,c(B)})i+min{0,c(B)}j=

當a(B)=1，μ(A→B)=1，A→B為S-真；

當a(B)=0，μ(A→B)=i，A→B為S-不確定。得證。

定律11復合蘊含規則。設A,B,C∈S，且

若A→B對x為S-真，B→C對x為S-真，則A→C對x為S-真。

對于集對蘊含式推理的一般情況，見表1。

表1　集對推理與態勢

注：序號1~12是在a≠0,c≠0條件下形成的集對勢；當c=0,b≠0,a≠0時為集對的不確定勢。集對推理與集對勢形成了一一對應關系。

基于集對命題邏輯的推理將傳統推理的結果細分為更多可能的結果，更加客觀地反映了事物的不確定性。

2.3雙論域集對推理

上節給出的推理規則是在同一個論域中展開的，而在現實生活中往往會見到形如“x是a，則y是b”的集對推理句，涉及2個變元x和y，它們分別屬于X與Y這2個不同論域。若描述為“Ax：x是a，By：y是b”，則可記作Ax→By。此時，以上推理規則便不再適用。為了解決這個問題，這里給出集對關系和聯系域的概念。

定義12給定2個不同的論域X與Y，對于任意x∈X，y∈Y，在X∪Y的某個問題背景下得到它們的聯系度為μ(x,y)=a+bi+cj，若a+b≥0.5，則稱x和y具有集對關系；如果對于?x∈X，?y∈Y都具有集對關系，則稱X與Y具有集對關系。

集對關系具有自反性和對稱性。

則雙論域集對蘊含句Ax→By的真值定義為

min{a(Ax),max{c(Ax),c(By)}}j

定義15如果集對蘊含式Ax→By的真值為μ(Ax→By)=1，則稱Ax→By為集對真，簡記為S-真。

定義16如果集對蘊含式Ax→By的真值為μ(Ax→By)=i，則稱Ax→By為集對不確定，簡記為S-不確定。

定義17如果集對蘊含式Ax→By的真值為μ(Ax→By)=j，則稱Ax→By為集對假，簡記為S-假。

定律12若μ(Ax)=a(Ax)+b(Ax)i+c(Ax)j和μ(Ay)=a(By)+b(By)i+c(By)j，則以下性質成立：

1)若Ax對x為S-真命題，則集對蘊含式Ax→By與By等值；

2)若Ax對x為S-假命題，則集對蘊含式Ax→By必為S-真；

3)若Ax對x為S-不確定命題，則集對蘊含式Ax→By必為S-不確定；

4)若By對x為S-真命題，則集對蘊含式Ax→By與Ax等值或互逆；

5)若By對x為S-假命題，則集對蘊含式Ax→By與Ax互逆。

證明根據定義

1)若Ax對x為S-真命題，即μ(Ax)=1，則

min{a(Ax),max{c(Ax),c(By)}}j=

max{0,min{1,a(By)}}+

(1-max{0,min{1,a(By)}}-

min{1,max{0,c(By)}})i+

min{1,max{0,c(By)}}j=

即μ(Ax→By)=μ(By)，因此集對蘊含式Ax→By與By等值。

2)若Ax對x為S-假命題，即μ(Ax)=j，則

min{a(Ax),max{c(Ax),c(By)}}j=

max{1,min{0,a(By)}}+

(1-max{1,min{0,a(By)}}-

min{0,max{1,c(By)}})i+

min{0,max{1,c(By)}}j=

1+0i+0j=1

即μ(Ax→By)=1，因此集對蘊含式Ax→By為S-真。

3)若Ax對x為S-不確定命題，μ(Ax)=i，則

min{a(Ax),max{c(Ax),c(By)}}j=

max{0,min{0,a(By)}}+

(1-max{0,min{0,a(By)}}-

min{0,max{0,c(By)}})i+

min{0,max{0,c(By)}}j=

0+1i+0j=i

即μ(Ax→By)=i，因此集對蘊含式Ax→By必為S-不確定。

4)若By對x為S-真命題，即μ(By)=1，則

min{a(Ax),max{c(Ax),c(By)}}j=

max{c(Ax),min{a(Ax),1}}+

min{a(Ax),max{c(Ax),0}})i+

min{a(Ax),max{c(Ax),0}}j=

min{a(Ax),c(Ax)})i+min{a(Ax),c(Ax)}j

當a(Ax)≥c(Ax)，有

當a(Ax)≤c(Ax)，有

因此，集對蘊含式Ax→By與Ax等值或互逆。

5)若By對x為S-假命題，即μ(By)=j，則

min{a(Ax),max{c(Ax),c(By)}}j=

max{c(Ax),min{a(Ax),0}}+

min{a(Ax),max{c(Ax),1}})i+

min{a(Ax),max{c(Ax),1}}=

3結束語

本文基于集對邏輯的基本方法，給出了集對蘊含式的定義，以此建立了的單論域的集對推理形式；然后定義了一種集對關系，以及集對關系形成的論域——聯系域，給出了聯系域上的雙論域集對推理形式。集對推理模式的建立對于集對分析理論的逐步完善及其在各領域中的應用提供了一個新的思路與工具，是對經典邏輯和模糊邏輯的一種補充和完善。集對邏輯及其推理方法針對不確定性問題展開研究，從肯定、猶豫和否定3個方面描述人們對事物的復雜認知。用三維聯系數刻畫命題的真值，更具一般性。集對邏輯及其推理方法的研究仍處于初步階段，仍需要進一步研究。

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網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.tp.20151111.1633.002.html

英文引用格式：YANG Yafeng. Research on approximate inference method based on set pair logic[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems, 2015, 10(6): 921-926.

Research on approximate inference method based on set pair logic

YANG Yafeng

(Qinggong College, North China University of Science and Technology, Tangshan 063000, China)

Abstract：Based on set pair logic, in this study, we define the set pair implication type according to the basic fuzzy inference method. We then discuss the basic mode and method for the single domain by analyzing the value of a connection number. Furthermore, we propose the concept of set pair relation and expand the inference method to include the connection domain. In addition, we prove some basic theorems. The results provide certain reference values and guidance for the development and improvement of the set pair analysis theory.

Keywords：set pair analysis; set pair logic; fuzzy inference; connection degree; set pair relation; set pair inference

作者簡介：

通信作者：楊亞鋒. E-mail: www1673@163.com.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(61370168)；河北省自然科學基金資助項目(F2014209238)；唐山市科技局指令基金資助項目(14130249B). 楊亞鋒，男，1985年生，講師，主要研究方向為粗糙集與集對分析。參與國家自然科學1項、省自然科學基金項目2項、市廳級項目3項，發表學術論文30余篇，其中被EI檢索12篇。

收稿日期：2015-07-23. 網絡出版日期：2015-11-11.

中圖分類號：TP18;O159

文獻標志碼：A

文章編號：1673-4785(2015)06-0921-06

DOI:10.11992/tis.201507044