基于Kress變換的開弧問題數值解

楊樹偉，王連堂，鞏星田

(1.西北大學 數學學院，陜西 西安 710127；2.湘潭大學 數學系，湖南 湘潭 411105)

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·數理科學·

基于Kress變換的開弧問題數值解

楊樹偉1，王連堂1，鞏星田2

(1.西北大學 數學學院，陜西 西安 710127；2.湘潭大學 數學系，湖南 湘潭 411105)

關于Helmholtz方程開弧問題，首先通過位勢理論將其轉化為邊界積分方程問題，然后采用Kress變換將其化為近似閉區域上的問題。最后給出遠場模式的數值解以檢驗數值方法的有效性和可行性。

Helmholtz方程；Kress變換；Dirichlet邊界

關于Helmholtz方程開弧問題，因為涉及到開弧邊界的特殊性，因而其具有一些與一般封閉曲線所不同的性質，自從文獻[1]的作者做出Helmholtz方程開弧問題的論文之后，隨后有文獻[2-3]，而文獻[1-3]都是運用一個余弦變換將開弧問題轉化為閉區域上的問題來解決，本文作者嘗試用另外一種辦法來求解Helmholtz方程開弧問題，即文獻[4]中用于求解Laplace方程有角閉區域的辦法，因為它實質上是通過一個變量替換，在最后數值求積的時候采用分級網格辦法來代替一般的等距網格辦法，從而提高數值收斂率，但此辦法不能簡單的從Laplace方程推廣到Helmholtz方程，因為涉及到Helmholtz方程基礎解的復雜性，我們再按照文獻[5]中對單層位勢的特殊分解方法，將得到的第一類算子方程的核進行對數奇性分離，以便最后數值求積的時候利用權積分可以得到數值解，為此下面先簡要介紹一下Kress變換。

1 Kress變換

(1)

對上式運用梯形公式得

(2)

權函數和網格點由下式給出

取函數w(s)為[4]

(3)

0≤s≤2π。

這里p≥2，注意到三次多項式的選取使得v(0)=0,v(2π)=1，以及w′(π)=2。

2 邊界積分方程

考慮均勻介質中傳播的聲波，此聲波碰到一個無限長柱體，柱體截面D?R2，母線平行于z軸，入射波為平面波，此聲波碰到柱體后發生散射，在數學上此類問題可歸結為Helmholtz方程外邊值問題來解決。

Δu+k2u=0,inR2Γ，k>0

(4)

滿足Dirichlet邊界條件

u=0, onΓ

(5)

而全場u∈C2(R2Γ)∩C(R2)可以分解為u=ui+us入射場ui=eikx·d,|d|=1和未知散射場us，散射場必須滿足如下的Sommerfeld輻射條件

(6)

在所有方向上一致成立。

在對未知函數重新命名之后，上面的正散射問題可約化為下列開弧邊界的外Dirichle問題：給定函數f∈C(Γ)，找出Helmholtz方程的一個解u∈C2(R2Γ)∩C(R2)

Δu+k2u=0，inR2Γ，k>0

(7)

其滿足邊界條件

u=f,onΓ

(8)

以及Sommerfeld輻射條件。

定理1[1]開弧邊界上的外Dirichlet問題至多有一解。

通過尋求如下單層位勢形式的解來建立問題(6)～(8)解的存在性，因為任何一個Helmholtz方程的解均可表示為單，雙層位勢形式的組合。

(9)

這里Φ(x,y)為二維情形下Helmholtz方程基礎解

(10)

x∈Γ{z1}∪{z-1}。

(11)

(12)

假定邊界曲線是C3類弧線，即

Γ={x(t):t∈[0,2π]}。

這里x:[0,2π]→R2為一單值三次連續可微函數。

對式(12)參數化得

(13)

其中

(14)

Ψ(t):=φ(x(t))|x′(t)|，

g(t):=-2f(x(t))，

r(t,τ):=|x(t)-x(τ)|，

令t=w(s)，式(13)變為

0≤s≤2π，

(15)

其中φ(σ)=Ψ(w(σ))w′(σ)。

3 核的對數奇性分離

(16)

(17)

從Hankel函數的定義以及零階Neumann函數的級數表達式(17)，可將核K(w(s),w(σ))裂解為如下形式[5]。

(18)

其中

(19)

K2(s,σ)=K(w(s),w(σ))-

(20)

均是解析的，K2(s,σ)為剩余無奇性的全體。再次利用級數表達式(16)和式(17)，可以得到其對角項。

K1(s,s)=-k2[w′(s)x′(w(s))]2，

(21)

K2(s,s)=

(22)

4 數值積分辦法

(23)

(24)

事實上上面這兩個數值求積公式是將f(τ)用它的三角插值多項式來代替，然后積分得到，插值時基函數取為Lagrange三角插值基，詳細可參看文獻[6]。其中

(25)

(26)

對方程式(15)以及相應的核分解式(18)，運用數值積分公式(2)，(23)，(24)得

(27)

我們注意到這里下標改從j=1開始，這是因為φ(0)=0的緣故。為了得到方程的近似解，將其投影到有限維的子空間上，利用配置法得

i=1,…,2n-1。

(28)

圖1 開弧邊界Fig.1 The boundary of open arc

對于數值算例，為了和文獻[1]中的例子做一比較，取入射平面波為ui(x)=eikx·d，指數p=8，開弧邊界為

用上面所敘述的散值積分公式求解出式(15)的密度函數以后，再用式(2)求解式(28)，表1給出了遠場模式的一些逼近值，這里取入射波的方向為d=(1,0)。注意到表1中的數據按指數級收斂，同時收斂速度明顯高于文獻[1]中的數據。對于以上方法的收斂性分析可參看相關文獻[6-8]。

表1 遠場模式數值解Tab.1 Numerical results for the far-field pattern

[1] KRESS R.Inverse scattering from an open arc[J].Math Methods Appl Sci,1995,18:267-293.

[2] MONCH L.On the numerical solution of the direct scattering problem for a sound-hard openarc[J].Comput Appl Math,1996,71:343-356.

[3] KRESS R.Lee Kuo-ming.Integral equation methods for scattering from an impedance crack[J].Comput Appl Math,2003,161:161-177.

[4] KRESS R.A nystrom method for boundary integral equation in domains with corners[J].Numer Math,1990,58:145-161

[5] KRESS R.SLOAN L H. On the numerical solution of a logarithmic integral equation of the first kind for the Helmholtz equation[J].Numer Math,1993,66:199-214.

[6] KRESS R.Linear Integral Equations[M].Berlin:Spring-Verlag,1989.

[7] COLTON D,KRESS R.Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory [M].Berlin:Spring-Verlag,1992.

[8] COLTON D,KRESS R.Integral Equation Methods in Scattering Theory[M].New York:Wiley-Interscience Publication,1983.

(編 輯亢小玉)

On the numerical solution of open arc problem based on the Kress transformation

YANG Shu-wei1, WANG Lian-tang1,GONG Xing-tian2

(1.School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127，China; 2.School of Mathematics, Xiangtan University, Xiangtan 411105, China)

The paper is on the open arc boundary problem of Helmholtz equation.Reduce it into boundary integral equation problem by potential theory, then using Kress transformation, the problem which is closely related to the integral equation for the case of a closed boundary is obtained.And numerical results of far-field pattern are presented to test the applicability and the effectiveness of the method.

Helmholtz equation; Kress transformation; Dirichlet boundary

2014-09-15

國家自然科學基金資助項目(11401144)

楊樹偉，男，甘肅定西人，從事數學物理方程反問題研究。

O241.8

：ADOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2015-03-005