基于APOS理論的負數概念教學設計

揚州大學教育科學學院（225002） 姚 進

一、研究背景

數學是研究數量關系和空間形式的科學，它利用符號語言研究數量、結構、變化以及空間模型等概念。概念是對事物本質的認識，只有正確理解概念，才能領會數學的基本知識。在概念教學的過程中，教師應向學生展示數學知識緣起、發展、演變的過程，以此幫助學生把握數學知識的本質，在這個過程中，學生積極建構知識，獲得概念。

在數的發展過程中，負數是數系的一個重要組成部分，之前負數的學習安排在初中一年級。由于“正數”思考方式的影響，學生在初次接觸與正數相反的負數學習時是有難度的，負數概念是教學中的一個難點。所以，在數學課程標準（2011年版）中對這部分內容作了調整，在義務教育第二學段“數的認識”提出“在熟悉的生活情境中，了解負數的意義，會用負數表示日常生活中的一些量”，提前了負數概念的出現，為有理數的學習埋下伏筆。因此對負數概念教學的研究有重要的現實意義。

二、理論基礎

根據皮亞杰研究的建構主義背景下，美國的杜賓斯基等人提出了數學概念學習的APOS理論模型。學生在數學概念的學習過程中進行心理建構，建構過程要通過四個階段：階段一：操作或活動（Action）；階段二：過程（Process）；階段三：對象（Object）；階段四：概型（Scheme）。“操作A”是學生建構數學概念的起點，是理解概念的一個必要條件。通過活動，學生親身感受概念的直觀背景和概念與概念之間的聯系，轉換感知對象，為過程階段提供感性的素材。“過程P”是學生通過觀察、聯想、內化、描述并反思活動，抽象出概念所特有的內涵。“對象O”是通過前面的抽象，認識概念本質，賦予其形式化的定義及符號，成為一個具體的對象。在后繼的學習中，以此為對象進行新的活動。“圖式S”是在頭腦中形成綜合的心理圖式。在概念形成的整個過程中，相應的活動為圖式的形成提供了必要的基礎。單個圖式只是離散的操作、過程和對象，把相似的知識點分隔開了，而多個圖式則注重各個圖式之間的銜接，把相似的知識點聯合成一個整體。這樣有利于知識點之間的遷移，學生也能理解相關知識點之間的聯系，并建構出知識點之間的內部結構，形成較大的圖式。

APOS理論下的概念教學設計遵循概念形成的一般規律，將概念形成的過程融入課堂教學設計的各個階段，可以讓課堂教學成為學生構建概念的思維發展平臺，促進學生的概念生成。

三、教學設計：以負數概念教學為例

1.教材解析

日常生活中的實物計量產生了數的概念，能通過日常生活接觸到的數只有自然數，要經過理性的思考才能獲得其他的數。現行的中小學數學教材中，數系擴充是從某種測量的實際需要出發來說明擴充的必要性。本文以蘇教版小學數學教材為例，“負數的初步認識”安排在五年級上冊第一單元，共編排4個例題，例1是溫度計上的數，例2與海拔有關，例3是盈利與虧損問題，例4與數軸相聯系。負數是在學生認識了自然數并初步認識了分數和小數的基礎上進行教學的。負數知識的學習，有利于學生對實際生活中負數應用的理解，生活數學化，數學生活化，提高學生運用數學認識世界和解決實際問題的能力。

2.具體設計方案

（1）操作階段：創設情境，引入概念。

任何教學設計都要結合學生的心理特征和認知規律，教師引入概念時要考慮知識的直觀性和可接受性，更要思考所引概念的必要性。小學生認知中已經建立起上下、前后、左右等代表相對意義的概念，“負數”概念安排在五年級上冊第一單元，教材中選取“溫度”這一學生熟知的素材展開教學。播放天氣預報片段，讓學生觀察溫度的表示和讀法，介紹溫度計的基本知識。隨后直接呈現例1三個城市的溫度，提問兩個“20”表示的溫度一樣嗎？讓學生自己去發現、交流、體驗。

在操作階段，學生通過“活動”親身體驗，轉換感知到的對象，以實際經驗來獲取信息，通過觀察、發現、經歷數學概念形成的過程。在這個過程中，教師精心設計并展開操作活動，提供足夠的時間和空間，學生在操作中感悟，體會生活生產中引入負數概念的必要性。

（2）過程階段：抽象概括，歸納概念。

出示例2直觀圖，說明虛線表示的是海平面，觀察直觀圖，交流得到的相關信息。之后，教師明確用“正數”表示珠穆朗瑪峰的海拔高度，用“負數”表示吐魯番盆地的海拔高度，這是學生初步了解正數和負數是一對相反意義的概念的形象的直觀模型。自學課本，在彼此的交流中掌握讀和寫的方法。明白像＋20、＋8844.4這樣的數都是正數（正數前面的“＋”可以省略不寫），像－20、－155這樣的數都是負數。如此歸納出負數的概念。

概括概念實際上就是給概念下定義，運用已知的概念去解釋新概念的內涵。教學中應充分調動學生的主觀能動性，激發學生通過積極思考、自主探索、合作交流等多種方式學習數學。

（3）對象階段：深入理解，剖析概念。

通過前兩個階段的活動與抽象，學生已經初步認識負數概念，并給出了形式化的定義及符號，成為一個具體的對象，學生將會運用這個具體對象進行之后新的活動。在對象階段，參照例4進行如下的教學：請三位學生到教室前，其中一位學生在某一位置固定，另外兩位學生分別向左、右相反方向走兩步，思考如何確定他們變化后的狀態。學生解決這個問題時，要把負數作為具體對象在問題情境中進行活動，建立數軸的概念。同時明確：0右邊的數都是正數，左邊的數都是負數。即正數都大于0，負數都小于0。

在對象階段，旨在引導學生將數軸上的點與抽象的正數、0、負數一一對應，感受數形結合的思想，同時感受正數、負數在數軸上的排列規律。進入對象階段時，負數概念是一種靜態的、獨立的對象。通過比較，提取與負數概念相對應的條件，闡明概念的內涵與拓展，揭示其中暗含的數學思想，在整體上理解概念。

（4）圖式階段：實際應用，形成圖式。

經過三個階段后，負數概念已經形成了一個包含具體對象、抽象過程、完整定義以及和其他概念（如零和負數等）既有差別又相互聯系的綜合的心理圖式。圖式階段要加強概念在生產生活中的實際應用，以幫助學生形成穩固的心理圖式。如“練一練”中收入和支出的記錄，要求說出各項收入和支出的情況。這是一個生活中常見的問題，教學中通過實踐應用加深學生對概念的理解，有意識地加強學生分析問題與解決實際問題的能力。

學生對操作、過程、對象以及自己認知中原有的圖式進行適當的整合，同化或順應產生平衡狀態，即新的圖式。這個階段，概念從具體中抽象出來，而在抽象的過程中又完善了對概念的定義，這是對以上三個階段的綜合。個體的思維和認知狀況，在連續地建構中已經上升到更高的新的水平。

綜上，數學概念的學習是一種對數學活動、對象、圖式的建構過程，教學設計中應該注意操作、過程、對象、圖式四個階段的整體性，在教學中應把“操作”（或活動）作為指引，在“過程”中反思，在“對象”中深入，在“圖式”中整合，讓學生經歷概念形成的各個階段，分層次逐漸展開各個教學環節。