直接地理參考中軌跡插值算法對精度影響的評估

宗文鵬，李廣云，2，王 力，2，周陽林，2

直接地理參考中軌跡插值算法對精度影響的評估

宗文鵬1，李廣云1，2，王 力1，2，周陽林1，2

( 1．信息工程大學導航與空天目標工程學院，河南鄭州450052; 2．現(xiàn)代城市測繪國家測繪地理信息局重點實驗室，北京100000)

一、引言

誕生于20世紀90年代初的移動測量系統(tǒng)( mobile mapping system，MMS)是當今世界最尖端的測繪科技之一［1］，具有精度高、速度快、可實時獲取海量實景三維數(shù)據(jù)的特點，已在我國100多個數(shù)字城市信息化項目中得到成功應用。它代表著測繪與地理信息技術未來發(fā)展的一個重要方向［2］，將在地理空間數(shù)據(jù)采集與更新中發(fā)揮越來越大的作用［3］。MMS集成了定位定姿系統(tǒng)( position and orientation system，POS)、激光掃描儀及CCD相機等測量傳感器，搭載在各種移動平臺(汽車、火車、艦船等)上，可動態(tài)、實時獲取航跡周圍一定范圍內(nèi)目標的地理信息數(shù)據(jù)［4］。其中，POS主要由全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)( GNSS)、慣性測量單元( IMU)組成，分別提供載體在空間的位置和姿態(tài)信息，用于將測量傳感器得到的結(jié)果直接轉(zhuǎn)換到大地坐標系或指定的測圖坐標系下，從而實現(xiàn)直接地理參考( direct geo-referencing，DG)。

攝影測量、遙感及掃描地圖等得到的影像數(shù)據(jù)或激光掃描儀掃描得到的點云數(shù)據(jù)在用于成圖或地理信息系統(tǒng)時，需要將其和真實的地理坐標進行匹配，即地理參考( Geo-referencing)。早期的地理參考通過地面控制點實現(xiàn)，稱為間接地理參考( indirect geo-referencing)。隨著衛(wèi)星導航定位的發(fā)展，GPS輔助空中三角測量成為航空攝影中新的地理參考手段［5］。慣性導航與GNSS組合導航的出現(xiàn)使得測量能夠在移動中直接實現(xiàn)數(shù)據(jù)的地理參考，稱為直接地理參考［6］。車載移動測量系統(tǒng)的DG是指將三維激光掃描儀得到的目標點的角度和距離信息(或點坐標)通過一系列的坐標轉(zhuǎn)換得到其地理坐標的過程。

POS系統(tǒng)中，GNSS接收機的頻率較低，一般為1 Hz，IMU的頻率相對較高，能達到上百赫茲，如Applanix公司的POS LV220為200 Hz，而隨著硬件技術的發(fā)展，激光掃描儀的采樣頻率迅速提高，目前可達幾百千赫茲，如Riegl的VQ-450二維激光掃描儀的采樣頻率達到550 kHz。在完成激光掃描儀時間同步后，可以得到激光掃描儀在每次采樣時對應的測量系統(tǒng)的時間，但無法直接獲得采樣瞬間對應的測量系統(tǒng)的位置和姿態(tài)信息，因此存在內(nèi)插問題。因為位置姿態(tài)信息存在于POS系統(tǒng)輸出的軌跡數(shù)據(jù)中，故稱之為軌跡插值。

文獻［7—9］在分析移動測量系統(tǒng)誤差模型時，都提到了位置姿態(tài)內(nèi)插誤差，但沒有具體給出不同插值方法間的比較及其軌跡內(nèi)插結(jié)果對激光腳點定位精度影響的大小。本文利用車載移動測量系統(tǒng)獲取的實測數(shù)據(jù)，研究典型插值算法應用于軌跡數(shù)據(jù)插值的精度和效率，并根據(jù)車載移動測量系統(tǒng)整體誤差模型給出插值結(jié)果對系統(tǒng)定位精度的影響大小。

二、典型插值算法

常用的代數(shù)插值算法有很多，如線性插值、拋物插值、拉格朗日插值、牛頓插值、自然樣條插值等。

1．拉格朗日插值

n次插值問題，即求經(jīng)過數(shù)據(jù)點( x0，y0)，( x1，y1)，…，( xn，yn)而次數(shù)不高于n的多項式，即

用構(gòu)造n次插值基函數(shù)的方法，可得拉格朗日插值多項式為

式中，n=1、n=2時分別對應線性插值、拋物插值。

2．牛頓插值

增加一個節(jié)點時，拉格朗日插值多項式除了要增加一項外，原來的每一項都要改變;而牛頓插值通過差商來構(gòu)造插值多項式，當增加一個節(jié)點時，只需在原來的插值多項式中增加一項即可，其n次插值多項式為

式中，f［x0，x1，…，xn］為f( x)關于節(jié)點x0，x1，…，xn的n階差商。由插值多項式唯一性可知，Nn( x)≡Pn( x)。故牛頓插值多項式與拉格朗日插值多項式的插值余項相同，因此插值結(jié)果是相同的，但插值效率不同。

3．自然樣條插值

在區(qū)間［a，b］上，已知函數(shù)y=f( x)在n+1個互異節(jié)點a=x0＜x1＜…＜xn= b處值為yi( i = 0，1，…，n)，若分段表示的函數(shù)φ( x)滿足:

1)φ( x)在［xi，xi+1］的表達式φ( xi)都是不高于3次的多項式。

2)φ( xi) = yi。

3)φ( x)在整個區(qū)間［a，b］上有連續(xù)的二階導數(shù)。

則稱φ( x)為三次樣條插值函數(shù)。但上述條件不足以確定其插值表達式，還需要加在區(qū)間兩個端點處的邊界條件，其中由自然邊界條件

而得數(shù)稱為自然樣條插值函數(shù)。

三、測試數(shù)據(jù)及方法

軌跡數(shù)據(jù)為POS得到的結(jié)果，由一系列若干連續(xù)等時間間隔的點組成，每個點的數(shù)據(jù)主要包括UTC時間、里程、慣導坐標系原點的位置信息，以及三軸相對瞬時當?shù)厮阶鴺讼档男D(zhuǎn)角。其中位置信息由X、Y、Z 3個坐標分量組成，姿態(tài)信息由3個姿態(tài)角組成，分別是側(cè)滾角( roll)、俯仰角( pitch)和航向角( heading)［9］，數(shù)據(jù)還可包括原點的投影坐標、位置精度、角度精度等信息。其中，位置和姿態(tài)信息數(shù)據(jù)的精度在整個系統(tǒng)中起主導作用，因此本文在討論插值算法的精度時只考慮這兩方面的插值數(shù)據(jù)誤差，本文采用的車載移動測量系統(tǒng)測得的每個點的數(shù)據(jù)中還包含經(jīng)度( longitude)和緯度( latitude)兩個值。

選擇在鄭州某測區(qū)的一次實測軌跡數(shù)據(jù)進行測試。試驗進行了4次數(shù)據(jù)采集，其平均速度分別為5．5 m/s( 19．8 km/h)、12．2 m/s( 43．9 km/h)、17．7 m/s ( 63．7 km/h)和25．6 m/s( 92．2 km/h)。分別選取4種速度下的100個連續(xù)采集數(shù)據(jù)點，編號1—100。其中，奇數(shù)序號的點作為插值已知節(jié)點;偶數(shù)序號的點作為控制點(真值)以便評價插值精度。采用移動插值，即對每個待插值點，首先尋找其n個最近點，并求出插值函數(shù)，然后將該點的時間代入插值函數(shù)，得到相應量的插值結(jié)果。根據(jù)已知節(jié)點分別用不同插值算法得到對應控制點處的結(jié)果，與真值比較從而評價插值結(jié)果的精度。

測試包括拉格朗日插值取不同階次的精度比較、不同插值方法間精度比較，以及各插值方法的效率比較。為評價插值的整體精度，定義兩個精度指標:點位的插值誤差mp、姿態(tài)的插值誤差mθ，單位分別為米和度，即

四、各插值算法比較

1．不同階次拉格朗日插值的比較

一般認為插值次數(shù)越高，所用節(jié)點越多，則結(jié)果越準確。但當次數(shù)較高時，多項式插值會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象，使得插值結(jié)果不穩(wěn)定。文獻［10］指出，在進行高次插值時，越靠近端點逼近的效果越差。如圖1所示，用高次插值得到的結(jié)果與真值在兩端誤差較大，在中間誤差較小。

圖1 高次插值龍格現(xiàn)象

通過加“窗”處理可以解決此問題，使插值點始終位于插值區(qū)間的中間，這樣就可以保證插值的精度，且“窗口”尺寸越小效果越好［11］。取一段速度為25．6 m/s的包含100個數(shù)據(jù)點的連續(xù)軌跡，將奇數(shù)點作為已知節(jié)點，偶數(shù)點作為控制點(即待插值點)，比較不同階次的拉格朗日插值結(jié)果。

為獲得更好的插值精度，本文在測試時使“窗口”尺寸達到最小(即為零)即采用移動插值，且在插值區(qū)間兩端增加了幾個已知點。測試結(jié)果見表1。

表1 不同階次n的拉格朗日插值精度比較

2．不同插值算法精度的比較

相同速度、不同速度下各插值算法計算結(jié)果分別見表2、表3。

表2 同一速度( 25．6 m/s)下不同插值方法精度比較

表3 不同速度下不同插值算法精度比較

3．不同插值算法效率的比較

待插值點151 353個，分別采用不同方法進行插值，VC++6．0中統(tǒng)計運行時間見表4。

表4 各插值算法運行時間 s

4．測試結(jié)果

由表1、表2可得，當拉格朗日插值階次n≥8時，點位誤差趨于穩(wěn)定不再減小，而姿態(tài)誤差在一定范圍內(nèi)隨著插值階次的增大而減小;相同軌跡數(shù)據(jù)采用自然樣條插值到的點位誤差和姿態(tài)誤差分別為0．000 6 m和0．011 0°，可見適當提高階次，拉格朗日插值可以得到與自然樣條插值精度相當?shù)慕Y(jié)果。牛頓插值與拉格朗日插值效果等價，但插值效率相對較高;且在軌跡插值中一般都是等間距插值，采用差分代替差商，牛頓插值效率可進一步提高。

由表3可得，當車速提高時，插值結(jié)果的誤差相應增大，但其中點位誤差變化不明顯，姿態(tài)誤差變化較大。因此兼顧效率與精度，在低速時可對位置進行低階次插值，對姿態(tài)進行較高階次插值。由表4可知，隨著插值階次的提高，插值效率越來越低，而在相同精度要求下自然樣條插值效率稍高。

五、結(jié)束語

由文獻［7］可知，POS定位誤差對激光腳點定位誤差的影響是平移過去的，即直接傳遞的。如采用移動自然樣條插值時，內(nèi)插位置最大誤差對激光腳點坐標造成的誤差矢量為( 0．000 8，0．000 8，0．000 8) ;根據(jù)車載移動測量系統(tǒng)整體誤差模型，在100 m范圍內(nèi)由內(nèi)插姿態(tài)對激光腳點坐標造成的誤差矢量為( 0．026，0．018，0．014)，則采用該插值方法對激光腳點坐標造成的點位誤差為0．034 m，小于車載移動測量系統(tǒng)的整體誤差，但與系統(tǒng)精度一樣都是在厘米級上。

因此，兼顧精度與效率，可對位置與姿態(tài)數(shù)據(jù)分別采用不同插值方法，位置數(shù)據(jù)用移動線性插值得到即可滿足精度要求，姿態(tài)數(shù)據(jù)用移動自然樣條插值得到相比其他典型插值算法精度更高;姿態(tài)插值誤差對系統(tǒng)精度影響較大，可嘗試采用其他更好的插值算法進一步減小姿態(tài)插值誤差。

［1］ 李德仁．移動測量技術及其應用［J］．地理空間信息，2006，4( 4) : 1-5．

［2］ 徐工，程效軍．移動測量系統(tǒng)點云精度評定及應用分析［J］．工程勘察，2013，41( 9) : 42-46．

［3］ 王萬峰，杜明義．MMS技術在城市戶外廣告景觀數(shù)據(jù)采集中的應用［J］．測繪科學，2010，35( 5) : 199-201．

［4］ 張健源，李志剛．淺談移動測量技術及其應用［C］∥中國測繪學會第九次全國會員代表大會暨學會成立50周年紀念大會論文集．北京:［s．n．］，2009．

［5］ 袁修孝，李德仁．GPS輔助空中三角測量的若干探討［J］．測繪學報，1997，26( 1) : 14-19．

［6］ 鄧忠軍，楊娜，關艷玲，等．國產(chǎn)POS直接地理定位精度分析［J］．測繪科學，2012，37( 3) : 11-13．

［7］ 王麗英．面向航帶平差的機載LiDAR系統(tǒng)誤差處理方法研究［D］．阜陽:遼寧工程技術大學，2011．

［8］ 張小紅．機載激光雷達測量技術理論與方法［M］．武漢:武漢大學出版社，2007．

［9］ 李鑫，李廣云，王力，等．移動測量系統(tǒng)誤差整體模型推導與精度分析［J］．測繪工程，2012，21( 2) : 21-24．

［10］朱琪．高次插值的龍格現(xiàn)象的測試［J］．湖南科技學院學報，2005，26( 11) : 206-208．

［11］仝海波，沙海，張國柱，等．一種GNSS衛(wèi)星軌道高精度實時插值方法［J］．國防科技大學學報，2012，34( 2) : 59-63．

［12］ 馮有前．數(shù)值分析［M］．北京:清華大學出版社，2005．

Accuracy Evaluation of Trajectory Interpolation Algorithm in Direct Geo-referencing

ZONG Wenpeng，LI Guangyun，WANG Li，ZHOU Yanglin

移動測量中定位定姿系統(tǒng)的精度決定了整個系統(tǒng)的精度，為了獲得激光掃描儀采樣時對應測量系統(tǒng)時間點處的軌跡數(shù)據(jù)，需要進行插值。本文介紹了移動測量系統(tǒng)和直接地理參考，給出了典型的插值算法，以筆者所在學校車載移動測量系統(tǒng)的實測數(shù)據(jù)進行軌跡插值測試，對各種插值算法在不同移動速度下的軌跡插值結(jié)果的精度和效率進行了比較，并分析了對激光腳點定位精度的影響。結(jié)果表明，對位置進行移動線性插值，對姿態(tài)進行移動自然樣條插值可以取得較好的精度和效率。

定位定姿系統(tǒng);移動測量;軌跡插值;龍格現(xiàn)象;移動插值;自然樣條

宗文鵬( 1990—)，男，碩士生，主要從事激光掃描儀應用的相關研究。E-mail: 524824358@ qq．com

P237

B

0494-0911( 2015) 11-0035-04

宗文鵬，李廣云，王力，等．直接地理參考中軌跡插值算法對精度影響的評估［J］．測繪通報，2015( 11) : 35-38．

10．13474/j．cnki．11-2246．2015．0341

2014-11-16

國家自然科學基金( 41274014) ;現(xiàn)代城市測繪國家測繪地理信息局重點實驗室開放基金( 20131204WY)