球面漸開(kāi)線斜齒錐齒輪參數(shù)化建模方法研究

顧　鵬，劉　夏，王　瑛，劉勁松，王佰超

(長(zhǎng)春設(shè)備工藝研究所，吉林 長(zhǎng)春 130021)

球面漸開(kāi)線斜齒錐齒輪參數(shù)化建模方法研究

顧鵬，劉夏，王瑛，劉勁松，王佰超

(長(zhǎng)春設(shè)備工藝研究所，吉林 長(zhǎng)春 130021)

摘要：對(duì)球面漸開(kāi)線斜齒錐齒輪齒面的形成理論進(jìn)行了分析，通過(guò)坐標(biāo)變換原理，提出了以齒面發(fā)生線的極徑及球面漸開(kāi)線生成過(guò)程的基圓錐轉(zhuǎn)角為參數(shù)的斜齒錐齒輪齒面建模新方法，并分別建立了斜齒錐齒輪左齒面及右齒面的矢量方程；通過(guò)齒面數(shù)學(xué)模型并利用MATLAB仿真技術(shù)獲得了齒面離散數(shù)據(jù)點(diǎn)；對(duì)齒面離散數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行重構(gòu)，構(gòu)建了斜齒錐齒輪的精確實(shí)體模型；最后對(duì)利用該建模方法得到的齒輪齒面進(jìn)行了檢測(cè)，其結(jié)果驗(yàn)證了該方法的正確性。該方法為斜齒錐齒輪的切齒加工方法設(shè)計(jì)、嚙合分析及仿真等提供了基礎(chǔ)條件。

關(guān)鍵詞：錐齒輪；齒面建模；球面漸開(kāi)線；發(fā)生線

錐齒輪是傳遞相交軸運(yùn)動(dòng)與動(dòng)力的重要傳動(dòng)元件，它具有輪齒強(qiáng)度高、輪齒重合系數(shù)大、運(yùn)行平穩(wěn)和承載能力強(qiáng)等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于車(chē)輛、航空航天、船舶和兵器等領(lǐng)域內(nèi)的動(dòng)力機(jī)械。斜齒錐齒輪作為錐齒輪的一種具有錐齒輪的全部?jī)?yōu)點(diǎn)。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，對(duì)錐齒輪的建模與仿真研究越來(lái)越多，而建立準(zhǔn)確的錐齒輪的齒面模型是對(duì)其進(jìn)行產(chǎn)品設(shè)計(jì)、嚙合分析和動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)與前提[1-2]。國(guó)內(nèi)外一些大專院校和研究所對(duì)錐齒輪模型的建立進(jìn)行了大量的研究， 但多數(shù)是基于格里森齒輪加工方法的齒面建模研究。王裕清等確定了錐齒輪齒面的邊界、齒面信息點(diǎn)以及根錐和面錐上的合理算法，并根據(jù)齒面4條邊界信息點(diǎn)構(gòu)造齒面模型。紀(jì)振海等通過(guò)對(duì)漸開(kāi)線錐齒輪的研究，以齒廓嚙合定律為出發(fā)點(diǎn)，提出了一種與加工方法無(wú)關(guān)的螺旋錐齒輪的齒面模型。這些研究均存在著所建模型誤差大和方法復(fù)雜等問(wèn)題[3-6]。本文通過(guò)對(duì)球面漸開(kāi)線斜齒錐齒輪的形成原理進(jìn)行分析，通過(guò)坐標(biāo)變換原理，建立關(guān)于漸開(kāi)線及發(fā)生線的齒面參數(shù)模型。利用該模型，在MATLAB軟件中編程生成錐齒輪齒面離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)，同時(shí)利用離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)在三維軟件中進(jìn)行重構(gòu)，得到斜齒錐齒輪的精確實(shí)體模型。

1齒面生成過(guò)程

圖1　球面漸開(kāi)線齒　面的形成圖

球面內(nèi)有1個(gè)頂點(diǎn)經(jīng)過(guò)球心，底圓在球面上的齒輪基圓錐，以及1個(gè)與基圓錐相交于錐頂點(diǎn)并保持相切的假想大圓平面Q(見(jiàn)圖1)，當(dāng)Q圓平面與基圓錐做相對(duì)滾動(dòng)時(shí)，Q圓平面圓周上的點(diǎn)M在球面上形成1條軌跡線，則該軌跡線就是球面漸開(kāi)線。Q圓平面定義為齒輪基圓錐的基圓平面，或稱為基平面。

圖2　圓錐漸開(kāi)面生成過(guò)程

圓錐漸開(kāi)面生成過(guò)程如圖2所示，Q平面與基圓錐做上述相對(duì)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，MB即為Q圓平面上的M點(diǎn)在錐齒輪大端展成運(yùn)動(dòng)所得到的球面漸開(kāi)線，同理M′B′即為Q圓平面上的M′點(diǎn)在錐齒輪小端產(chǎn)生的球面漸開(kāi)線，曲線MM′上無(wú)窮多點(diǎn)形成的漸開(kāi)線族便形成空間的漸開(kāi)曲面，則所得的空間漸開(kāi)曲面即為圓錐漸開(kāi)線齒面，MM′則稱為齒面發(fā)生線。

2齒面數(shù)學(xué)建模

齒面坐標(biāo)變換如圖3所示，齒輪的基錐角為δb，基錐母線長(zhǎng)為Rb，小圓(基錐圓)展成角為φ，Q圓平面展成角為γ。齒坯坐標(biāo)系S(O-X,Y,Z)與齒坯固連，齒面坐標(biāo)系Sq(O-Xq,Yq,Zq)與Q圓平面固連，Zq沿著基錐母線方向，且Q圓在Xq-Zq平面內(nèi)。基圓平面Q的圓心與基錐頂點(diǎn)重合并與基錐保持相切，當(dāng)Q圓平面相對(duì)基錐展成時(shí)，Q圓平面上的斜直線ML掃掠軌跡，便形成了斜齒錐齒輪齒面。

圖3　齒面坐標(biāo)變換

齒面發(fā)生線ML在坐標(biāo)系Sq中的參數(shù)方程為：

(1)

2.1左側(cè)齒面

基圓錐繞Z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，Q圓平面繞著yq軸按一定速比順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)生成的曲面為右旋左側(cè)齒面，那么從齒面坐標(biāo)系Sq(O-Xq,Yq,Zq)轉(zhuǎn)到齒坯坐標(biāo)系S(O-X,Y,Z)的矩陣Mrl為：

(2)

利用坐標(biāo)變換矩陣可得到關(guān)于齒面發(fā)生線極徑ρ和球面漸開(kāi)線生成過(guò)程中基錐旋轉(zhuǎn)角φ的右旋左齒面矢量方程：

rrl(ρ,φ)=xrl(ρ,φ)i+yrl(ρ,φ)j+zrl(ρ,φ)k

(3)

式中，xrl(ρ,φ)=(-ρcosθ+R0/sinθ)(cosγcosφ+sinγsinφsinδb)+ρsinθ(-sinγcosφ+cosγsinφsinδb);

yrl(ρ,φ)=(-ρcosθ+R0/sinθ)(-cosγsinφ+sinγcosφsinδb)+ρsinθ(sinγsinφ+cosγcosφsinδb);

zrl(ρ,φ)=(-ρcosθ+R0/sinθ)sinγcosδb+ρsinθcosγcosδb。

2.2右側(cè)齒面

圓錐繞Z軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，Q圓平面繞著yq軸按一定速比逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)生成的曲面為右旋右側(cè)齒面，矩陣Mrr為2個(gè)坐標(biāo)系的變換矩陣：

(4)

利用坐標(biāo)變換矩陣可得到關(guān)于齒面發(fā)生線極徑ρ和球面漸開(kāi)線生成過(guò)程基錐旋轉(zhuǎn)角φ的左旋右齒面矢量方程：

rrr(ρ,φ)=xll(ρ,φ)i+yll(ρ,φ)j+zll(ρ,φ)k

(5)

式中，xrr(ρ,φ)=(-ρcosθ+R0/sinθ)(cosγcosφ-sinγsinφsinδb)+ρsinθ(sinγcosφ+cosγsinφsinδb)；

yrr(ρ,φ)=(-ρcosθ+R0/sinθ)(cosγsinφ+sinγcosφsinδb)+ρsinθ(sinγsinφ-cosγcosφsinδb)；

zrr(ρ,φ)=(ρcosθ-R0/sinθ)sinγcosδb+ρsinθcosγcosδb。

在上述齒面建模方程中，基圓錐旋轉(zhuǎn)角φ與大圓Q展成角γ成正比關(guān)系，且其比例系數(shù)可以通過(guò)設(shè)計(jì)確定，發(fā)生線的極角也可以由角與齒面發(fā)生線相切圓半徑的關(guān)系式確定，而基錐角δb可以通過(guò)設(shè)定節(jié)錐角等參數(shù)確定其值；因此，齒面方程是關(guān)于(ρ,φ)的雙參數(shù)的數(shù)學(xué)模型。

3實(shí)體建模

基于上述斜齒錐齒輪齒面的數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB軟件強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理與可視化及仿真等特點(diǎn)，建立了球面漸開(kāi)線斜齒錐齒輪齒輪建模系統(tǒng)。錐齒輪可視化建模過(guò)程具體的步驟如下：首先，選擇齒輪的類型；然后，通過(guò)設(shè)計(jì)確定齒輪的基本參數(shù)和齒形的幾何參數(shù)，通過(guò)輸入齒輪的基本參數(shù)和齒形參數(shù)，便可得到在MATLAB環(huán)境下的齒面可視化模型及點(diǎn)云數(shù)據(jù)，其流程圖如圖4所示[7-8]。

利用坐標(biāo)變化原理，將截取后的發(fā)生線方程的任意一點(diǎn)在大圓坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成固定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值。在MATLAB軟件中定義了[x1,y1,z1,t]=rotateX(x,y,z,xan)函數(shù)，其意義是空間任意一點(diǎn)在原來(lái)坐標(biāo)系下的值為(x,y,z)，在其繞x軸旋轉(zhuǎn)xan角后得到新的坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值為(x1,y1,z1)，同理定義了y、z方向旋轉(zhuǎn)的2個(gè)函數(shù)[x1,y1,z1,t]=rotateY(x,y,z,yan)，[x1,y1,z1,t]=rotateZ(x,y,z,zan)；定義了[x1,y1,z1,t]=shiftX(x,y,z,xln)，其意義是空間任意一點(diǎn)在原來(lái)坐標(biāo)系下的值為(x,y,z)，沿著x軸正方向移動(dòng)xln值后得到新的坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值為(x1,y1,z1)，同理也定義了y、z方向旋轉(zhuǎn)的2個(gè)函數(shù)[x1,y1,z1,t]=shiftY(x,y,z,yln)，[x1,y1,z1,t]=shiftZ(x,y,z,zln)，在MATLAB的GUIDE下得到齒面圖如圖5所示。

圖4　齒面建模軟件流程圖

圖5　右旋齒面

利用CATIA軟件實(shí)現(xiàn)斜齒錐齒輪的實(shí)體造型，具體步驟如下。

1)根據(jù)實(shí)物模型的存儲(chǔ)格式，將MATLAB生成的數(shù)據(jù)表通過(guò)一定的處理方式讀入到CATIA軟件中，齒面點(diǎn)云圖如圖6所示。

圖6　齒面點(diǎn)云圖

2)利用CATIA軟件的曲面功能對(duì)斜齒錐齒輪進(jìn)行齒面重構(gòu)，根據(jù)導(dǎo)入的齒面數(shù)據(jù)點(diǎn)分別建立2個(gè)方向的B樣條曲線。其中，第1個(gè)方向的曲線為半徑不同的球面漸開(kāi)線組成的曲線；第2個(gè)方向的曲線為對(duì)應(yīng)發(fā)生線形成的斜直線。利用這2個(gè)方向的曲線形成的齒面如圖7所示。

圖7　點(diǎn)云數(shù)據(jù)生成齒面

圖8　實(shí)體模型圖

3)利用齒輪的兩側(cè)齒面與根錐、面錐、大端背錐與小端背錐相連接及修剪，連接的倒角曲面可以進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，通過(guò)接合功能把構(gòu)成輪齒的6個(gè)曲面組合成1個(gè)封閉整體。利用封閉曲面功能將輪齒的曲面模型填充成為實(shí)體模型，根據(jù)齒數(shù)對(duì)實(shí)體模型進(jìn)行陣列完成實(shí)體的建模，如圖8所示。

4齒面檢測(cè)

利用3906T型齒輪測(cè)量中心，先對(duì)球面漸開(kāi)線斜齒錐齒輪的齒廓及齒線參數(shù)進(jìn)行設(shè)定，然后分別對(duì)利用該模型得到的錐齒輪實(shí)際齒面的左、右側(cè)面進(jìn)行測(cè)量。

測(cè)量機(jī)按照?qǐng)D9所示的45個(gè)齒面測(cè)量網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)，分別對(duì)錐齒輪實(shí)際齒面的左、右側(cè)面進(jìn)行測(cè)量。對(duì)所有齒進(jìn)行依次測(cè)量(見(jiàn)圖10)，最終的數(shù)據(jù)取這些齒的平均值。

圖9　檢測(cè)點(diǎn)圖　　　　　　圖10　齒面測(cè)量

由上述檢測(cè)結(jié)果可知，齒面法向偏差(見(jiàn)圖11)為-7.7~11.7μm，其誤差為齒輪在制造工程中所導(dǎo)致，齒輪精度到達(dá)了預(yù)期要求，這一結(jié)果驗(yàn)證了該建模方法的正確性。

圖11　待測(cè)斜齒錐齒輪的齒面法向偏差圖

5結(jié)語(yǔ)

利用齒面生成過(guò)程中基圓平面相對(duì)基圓錐作相對(duì)純滾動(dòng)，基圓平面上的發(fā)生線在相對(duì)滾動(dòng)中形成的漸開(kāi)面這一基本運(yùn)動(dòng)關(guān)系，通過(guò)坐標(biāo)變換理論，建立了關(guān)于球面漸開(kāi)線及齒面發(fā)生線的齒面參數(shù)模型，為齒面模型程序化提供了理論基礎(chǔ)，得到了斜齒錐齒輪的精確實(shí)體模型，為斜齒錐齒輪的切齒加工方法設(shè)計(jì)、嚙合分析及仿真等提供了基礎(chǔ)條件。當(dāng)錐齒輪為弧齒時(shí)，齒面發(fā)生線為圓弧線；當(dāng)錐齒輪為阿基米德齒時(shí)，齒面發(fā)生線為阿基米德線。它們?cè)谥苯亲鴺?biāo)系中的參數(shù)方程與斜齒同理，且可以容易得到，因此，利用上述參數(shù)化建模方法很容易建立相應(yīng)齒線的錐齒輪齒面模型。

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責(zé)任編輯鄭練

Research on Parametric Modeling of Skew Bevel Gear with Sherical Involute

GU Peng, LIU Xia, WANG Ying, LIU Jinsong, WANG Baichao

(Changchun Institute of Equipment and Engineering, Changchun 130021, China)

Abstract：The principle of generating line of skew bevel gear is analysed about spherical involute and the theory of coordinate transform is discussed. New method of mathematic model about gear surface is put forward based on two parameter which are polar radius and base cone corner. And vector equation of left and right gears surface is set up. Based on the pattern, the data of tooth-surface is collected and calculated in the simulation system according to the machining gear parameters which are established. In MATLAB environment an accurate solid model of spiral bevel gear is established by obtained data points. And the datum of mesh nodes on the actual tooth surface are measured by gear measuring machine. Finally, this method is proved to be effective and feasible by the result of inspection test. And this method can provide basic condition for processing of cutting, tooth meshing analysis and simulation.

Key words:spiral bevel gears, mathematical model of tooth surface, spherical involute, generation line

收稿日期：2015-01-13

作者簡(jiǎn)介：顧鵬(1984-)，男，工程師，主要從事復(fù)雜曲面成形理論、技術(shù)與裝備等方面的研究。

中圖分類號(hào)：TH 132.41

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A