應(yīng)用小波變換和隨機子空間的勵磁參數(shù)辨識

李國華，宗克輝，于 婷，孫 宇，宋 亮

（1.東北電力大學電氣工程學院，吉林132012；2.國網(wǎng)河南省電力公司洛陽市供電公司，洛陽471000；3.國網(wǎng)遼寧省電力有限公司鞍山供電公司，鞍山114000）

勵磁控制系統(tǒng)是現(xiàn)代電力系統(tǒng)的重要調(diào)節(jié)部分，準確得到勵磁模型的參數(shù)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制起著重要的作用。所以勵磁系統(tǒng)參數(shù)辨識的研究一直以來都受到人們的重視。相關(guān)辨識法、遺傳算法、改進粒子群算法等非線性方法都在電力系統(tǒng)勵磁系統(tǒng)參數(shù)辨識中得到了應(yīng)用[1-5]。

隨機子空間與傳統(tǒng)的Prony 算法不同，其本身具備一定的消除噪聲的能力。正因為如此，一些學者研究了與電力系統(tǒng)相關(guān)的參數(shù)辨識問題，并取得了一定的成果[6-8]。文獻[9]結(jié)合隨機子空間和小波變換用于同步電機的參數(shù)辨識，結(jié)論表明兩者結(jié)合可取得較高的辨識精度。文獻[10]改進了隨機子空間，并將其用于次同步震蕩的參數(shù)辨識，取得較好的辨識效果。上述結(jié)論從一定程度上表明，隨機子空間不僅具有優(yōu)良的參數(shù)辨識效果，而且可以與其他的算法結(jié)合，具有較好的理論融合度。

本文首先以IEEE/ST1A 模型為原型，在原型的基礎(chǔ)上做了適當簡化，得到對應(yīng)的簡化模型。然后對勵磁模型的傳遞函數(shù)進行拉普拉斯變換，得到系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。接著介紹了隨機子空間的基本原理，辨識得到了勵磁模型的模態(tài)信息，再根據(jù)系統(tǒng)自身的特點，得到了勵磁系統(tǒng)的參數(shù)。由于實際中采集的信號難免會含有噪聲，所以本文引入了小波變換，用于消除信號中的噪聲。最后的仿真測試表明，帶小波分解的隨機子空間在較強的噪聲背景下，具有一定的抗噪能力。

1 勵磁系統(tǒng)的數(shù)學模型

實際中有多種勵磁系統(tǒng)模型，本文在IEEE/ST1A 型的基礎(chǔ)上做了適當?shù)暮喕疚乃璞孀R的勵磁模型的框圖如圖1 所示。

圖1 勵磁系統(tǒng)的框圖Fig.1 Model of exciation system for identification

將圖1 寫為傳遞函數(shù)的形式：

將式（1）中的多項式展開，可得到如下形式傳遞函數(shù)：

對式（3）進行拉普拉斯變換可得勵磁系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為

得到勵磁系統(tǒng)傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間方程之后，便可應(yīng)用隨機子空間的方法進行勵磁系統(tǒng)參數(shù)辨識。下面將簡要介紹隨機子空間方法。

2 隨機子空間的原理

當系統(tǒng)的輸入和輸出已知時，如何辨識得到對應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)。隨機子空間方法是一種可供借鑒的方法。

對于狀態(tài)模型：

式中：A 為系統(tǒng)矩陣；C 為輸出矩陣；xi為狀態(tài)變量；yi為輸出變量；wi、vi為零均值過程噪聲和測量噪聲，且互不相關(guān)。根據(jù)輸出變量可構(gòu)造對應(yīng)的Hankel 矩陣。

隨機子空間方法主要分為以下4 個步驟[11]。

（1）對系統(tǒng)的輸出y（i）（i=1，2，…，n），構(gòu)造輸出函數(shù)的Hankel 矩陣：

其中，下標p 代表‘過去’，多是由i 時刻以前的數(shù)據(jù)組成的矩陣，下標f 代表‘未來’，即i 時刻以后的數(shù)據(jù)組成的矩陣。下標“+”代表增廣矩陣，比原來的矩陣Yp多了一行。“-”代表刪減矩陣，比原來的矩陣少了一行。

（2）構(gòu)造協(xié)方差矩陣組成的Toeplize 矩陣T1/i：

（3）奇異值分解。對Toeplize 矩陣進行奇異值分解，秩反映在不為零的奇異值數(shù)量上，也為系統(tǒng)的階次。

T1/i還可分解為

根據(jù)式（10）和式（11）可得系統(tǒng)矩陣A 和C。

對系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A 進行特征值分解：

式中：Λ=diag[λ1，λ2，…，λN]，λi為系統(tǒng)的特征值；Φ為系統(tǒng)的特征向量矩陣，Φ=[φ1，φ2，…，φN]。

3 小波消噪的基本原理

小波閾值去噪過程主要包括以下3 個步驟：

（1）小波分解：選定一種合適的小波基及適當?shù)姆纸鈱訑?shù)，本文采用的是Meyer 小波。對采集信號做適當層數(shù)的小波分解，其過程如圖2 所示。

其中k 為采樣點數(shù)，cj（k）為第j 層小波分解尺度系數(shù)；dj（k）為第j 層小波分解細節(jié)系數(shù)，H0、H1為一對低、高通濾波器組。

圖2 小波分解示意Fig.2 Sketch map of signal wavelet decomposition

（2）選擇閾值：對分解得到的各層細節(jié)系數(shù)dj（k）選擇適當?shù)拈撝怠Ｒ环N軟閾值的表達式為

本文采用默認閾值方式，濾波的閾值由系統(tǒng)給定。

（3）小波重構(gòu)：利用消噪后的小波系數(shù)dj（k）重構(gòu)原始信號，過程如圖3 所示。

圖3 信號小波重構(gòu)過程Fig.3 Process of signal wavelet reconstruction

4 參數(shù)的求解

應(yīng)用隨機子空間方法得到系統(tǒng)矩陣A 和C 之后，即得到參數(shù)αi和βi（i=0，1，2，3），剩下的問題就是如何將這些參數(shù)轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)的參數(shù)。

首先根據(jù)式（2）可以得到參數(shù)bi（i=0，1，2，3），觀察傳遞函數(shù)的分子，恰好對應(yīng)的因式分解的形式，求解分子組成的方程，其形式為

式（16）分解因式后做適當變換可得

不難得出對應(yīng)的特征根λi（i=1，2，3），如果事先知道TC1、TC2、TF之間的代數(shù)關(guān)系，就可以得出它們與特征根之間的一一對映關(guān)系。

得到TC1、TC2、TF之后，將其代入b0的表達式中，得到

將式（18）代入a0的表達式中，得到KA的表達式為

將式（1）的分母展開之后可以得到方程

通過觀察式（1）的分母不難看出，系數(shù)由兩部分構(gòu)成，現(xiàn)在主要關(guān)心的是后半部分，即含有TB1、TB2、TE、TF的部分。因為前半部分是已知的，所以可將兩者分離開來，只含有后半部分的方程為

其中：

求解式（21）對應(yīng)的方程之后，得到對應(yīng)的根，當TB1、TB2、TE、TF的代數(shù)關(guān)系已知時，不難得出根與參數(shù)TB1、TB2、TE、TF之間的關(guān)系。

5 提取勵磁參數(shù)的步驟

（1）首先整理勵磁系統(tǒng)模型，通過拉普拉斯變換將其轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)；

（2）其次利用隨機子空間辨識出系統(tǒng)的特征根和幅值等參數(shù)值；

（3）得到特征根等信息后，通過勵磁系統(tǒng)傳遞函數(shù)的性質(zhì)求出對應(yīng)的勵磁函數(shù)的參數(shù)值。

6 仿真分析

圖1 所述系統(tǒng)的主要參數(shù)為：TC1= 1.0，TC2=0.1，TF= 0.01，TB1= 8.0，TB2= 0.033，TE= 0.03，KA=200。仿真采用的信號為數(shù)字信號，采用的頻率為1000 Hz。

為了研究本文方法的效果，特地引入噪聲，然后做了對應(yīng)的仿真分析，使得分析的結(jié)果能夠更加有說服力。采用的對照方法為總體最小二乘旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)（TLS-ESPRIT total least square-estimating signal parameters of rotational invariance technique）。

表1 和表2 分別是在噪聲比較小的情況下的仿真結(jié)果，其中第5 列的本文算法是未加入小波濾波時的參數(shù)誤差。由表2 不難發(fā)現(xiàn)，在噪聲達到30 dB 時，系統(tǒng)的參數(shù)誤差達到32%，這是實際中難以接受的。所以需對系統(tǒng)的響應(yīng)做必要的濾波處理，本文采用小波默認閾值消除噪聲，表3 為經(jīng)過消噪處理的仿真結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)的誤差有明顯的下降，而且是在較強噪聲背景下，兩者方法均取得了較好的效果，而且本文的算法略好于對照算法。

表1 未加入小波濾波SNR=45 時的參數(shù)誤差Tab.1 Parameter error with SNR=45 and without wavelet filter

表2 未加入小波濾波SNR=30 時的參數(shù)誤差Tab.2 Parameter error with SNR=30 and without wavelet filter

在噪聲逐漸增加過程中，參數(shù)辨識的誤差會不斷變大。但在信噪比等于30 dB 的時候，對照方法出現(xiàn)較大的誤差，說明對照方法穩(wěn)定性相對不足，或者說需要輔助的信號處理手段才可能達到較高的辨識精度。本文在進行了濾波處理后，取得的效果相對理想。

表3 加入小波濾波后SNR=15 時的參數(shù)誤差Tab.3 Parameter error with SNR=15 and with wavelet filter

7 結(jié)論

本文將隨機子空間應(yīng)用于勵磁系統(tǒng)的參數(shù)辨識問題，該方法的優(yōu)點是可無需多次迭代，不存在收斂問題，而且在計算量能夠接受的情況下得到較高的辨識精度。需要進一步探討的問題有：

（1）討論的主要是高斯白噪聲情況下的辨識問題，對于其他的噪聲是否存在同樣的規(guī)律有待于進一步的實驗證實；

（2）系統(tǒng)響應(yīng)在含有一定的噪聲時，系統(tǒng)參數(shù)出現(xiàn)了較大的誤差，說明單獨使用本文的方法并不可行，需要一定的信號預(yù)處理措施，使得估計的效果能夠更好。

[1]王興貴，王言徐，智 勇（Wang Xinggui，Wang Yanxu，Zhi Yong）.遺傳算法在發(fā)電機勵磁系統(tǒng)參數(shù)辨識中的應(yīng)用（Application of genetic algorithm in generator excita-tion system parameters identif ication）[J].電力系統(tǒng)及其自動化學報（Proceedings of the CSU-EPSA）2010，22（1）：76-79.

[2]李天云，姜志國，袁金騰，等（Li Tianyun，Jiang Zhiguo，Yuan Jinteng，et al）. 基于APSO 算法的發(fā)電機勵磁系統(tǒng)參數(shù)辨識（Parameter identification for generator excitation system based on APSO algorithm）[J]. 中 國 電 力（Electric Power），2010，43（2）：26-30.

[3]郭睿，王修龐，郭珊珊，等（Guo Rui，Wang Xiupang，GUO Shanshan，et al）. 基于相關(guān)辨識法的發(fā)電機勵磁系統(tǒng)參數(shù)辨識（The estimation of generator excitation system parameters based on correlation identification method）[J].繼電器（Relay），2008，36（5）：19-22.

[4]沈峰，賀仁睦，王君亮，等（Shen Feng，He Renmu，Wang Junliang，et al）.基于非線性直接優(yōu)化方法的發(fā)電機勵磁系統(tǒng)參數(shù)辨識（Parameter identification of generator excitation system based on nonlinear direct optimization algorithm）[J].電網(wǎng)技術(shù)（Power System Technology），2007，31（8）：73-77.

[5]Rasouli M，Karrari M.Nonlinear identification of a brushless excitation system via field tests [J]. IEEE Trans on Energy Conversion，2004，19（4）：733-740.

[6]倪敬敏，沈沉，劉鋒（Ni Jingmin，Shen Chen，Liu Feng）.基于改進隨機子空間法和穩(wěn)定圖技術(shù)的電力系統(tǒng)低頻機電振蕩特征識別（Ann inversion excitation control method for multi-machine power systems）[J].中國科學：技術(shù)科學（Scientia Sinica（Technologica）），2012，42（6）：686-696.

[7]蔡國偉，楊德友，張俊豐，等（CAI Guowei，YANG Deyou，ZHANG Junfeng，et al）.基于實測信號的電力系統(tǒng)低頻振蕩模態(tài)辨識（Mode identification of power system low-frequency oscillation based on measured signal）[J].電網(wǎng)技術(shù)（Power System Technology），2011，35（11）：59-65.

[8]李天云，侯恩巧，陳鋒，等（Li Tianyun，Hou Enqiao，Chen Feng，et al）.基于SSI-LS 的電壓閃變參數(shù)提取新方法（New method for volt age flicker parameter extract ion based on SSI-LS）[J].吉林電力（Jilin Electric Power），2012 40（2）：20-24.

[9]李天云，袁明哲，許廣婷，等（Li Tianyun，Yuan Mingzhe，XU Guangting，et al）.基于隨機子空間結(jié)合穩(wěn)定圖的間諧波高精度檢測方法（An inter harmonics high accuracy detection method based on stochastic subspace and stabilization diagram）[J].電力系統(tǒng)自動化（Automation of Electric Power Systems），2010 34（20）：50-54.

[10]李玲，李天云，黃紹平（Li Ling，Li Tianyun，Huang Shaoping）.基于隨機子空間的同步電機參數(shù)高精度辨識新方法（A high-precision approach to identify syn-chronous generator parameters based on stochastic subspace identification）[J].電網(wǎng)技術(shù)（Power System Technology），2011 35（7）：156-160.

[11]劉東霞（Liu Dongxia）.基于隨機子空間法的梁橋模態(tài)參數(shù)識別（Modal parameter identification of girder bridge based on stochastic subspace algorithm）[D].成都：西南交通大學土木工程學院（Chengdou：Southwest Jiaotong University），2008.