一種機械系統非線性類別辨識方法

權雙璐,劉杰,韓羅峰,何安琦,李兵

(西安交通大學機械工程學院, 710049, 西安)

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一種機械系統非線性類別辨識方法

權雙璐,劉杰,韓羅峰,何安琦,李兵

(西安交通大學機械工程學院, 710049, 西安)

針對含剛度非線性連續體系統非線性類別辨識問題,提出了一種基于瞬時頻率峰值檢測的機械系統非線性類別辨識方法。該方法首先根據被測系統結構特點,分別建立含間隙、立方剛度等5種機械系統常見的剛度非線性系統簡化模型;通過研究各模型自由衰減振動瞬時頻率分布特點,建立不同非線性模型瞬時頻率曲線庫;結合圖形匹配算法,匹配被測系統實測瞬時頻率與曲線庫曲線,以匹配結果作為辨識指標,實現非線性類別辨識。將基于瞬時頻率檢測的非線性類別辨識方法應用于含間隙非線性懸臂梁系統,仿真分析與實驗計算表明:被測系統瞬時頻率曲線與間隙非線性曲線庫匹配較好,匹配值明顯小于與其他非線性曲線庫匹配結果,驗證了該非線性類別辨識方法的有效性。

機械系統;非線性類別;瞬時頻率;圖形匹配算法

在對非線性機械系統進行動力學分析時,系統特性描述是最重要也是最困難的工作,主要包括非線性作用位置定位和非線性類別描述兩大問題[1]。精確的系統特性描述對系統模型的建立及非線性參數的辨識至關重要,一旦系統特性描述不準確將直接導致參數辨識失敗[2]。然而,在機械系統非線性類別辨識方面,由于導致非線性振動產生的因素眾多,如幾何因素,慣性作用、阻尼、邊界條件等,使得非線性類別辨識充滿挑戰[3]。文獻[4]通過波特圖及奈奎斯特圖區分了阻尼非線性與剛度非線性;文獻[5]利用伏爾加特級數實現了多項式非線性類別辨識;文獻[6]用恢復力曲線圖(RFS)直觀地區分了機械系統中常見的幾種單自由度非線性;文獻[2]利用頻譜分析辨識了含立方剛度與平方剛度非線性懸臂板系統;文獻[7]建立了非線性頻域恢復力曲線庫,實現了單自由度和多自由度系統非線性類別辨識。雖然上述研究均取得了令人矚目的成果,但對于機械系統故障分析中常見的含剛度非線性連續體系統,由于不同剛度非線性振動響應間無明顯差別,加之連續體系統各單元間運動相互影響,使得其剛度非線性類別辨識更加困難,很少有人在這方面進行研究[4],目前還沒有一種方法能有效地解決上述問題[8]。

本文針對含剛度非線性連續體系統,利用被測系統瞬時頻率分布特點,提出了一種基于瞬時頻率峰值檢測的系統非線性類別辨識方法。該方法首先根據被測系統結構特點建立含不同剛度非線性的系統簡化模型,仿真求解各模型自由衰減振動響應及其瞬時頻率分布曲線;通過研究不同非線性模型瞬時頻率分布特點,建立各模型瞬時頻率曲線庫;結合圖形匹配算法,匹配被測系統瞬時頻率與曲線庫曲線,以匹配結果作為辨識指標,最終實現系統剛度非線性類別辨識。與傳統的非線性類別辨識方法相比,本文方法可有效應用于連續體系統非線性類別辨識,并經仿真與實驗驗證了方法的有效性。

1 剛度非線性系統

在機械系統故障診斷中,由于剛度非線性引起的機械故障頻發,常常受到人們關注[9]。本文以剛度非線性系統為主要研究對象,表1列出了幾種常見的剛度非線性系統及其恢復力曲線。

根據牛頓第二定律,上述剛度非線性系統自由衰減振動動力學方程為

(1)

式中:u(t)為系統響應;M、C分別為系統質量矩陣、阻尼矩陣;F(u)為系統非線性恢復力。

當F(u)=Ku(t)時,系統為線性系統(K為系統剛度),系統固有頻率與振動幅值無關

(2)

當F(u)≠Ku(t)時,系統呈非線性振動。系統振動頻率不再固定不變,而是由系統基頻和一系列高階諧波疊加而成,隨振動幅值變化不斷變化。

表1 剛度非線性系統及其恢復力曲線

2 剛度非線性類別辨識

2.1 瞬時頻率檢測法

根據式(1)及正則化攝動法[10],表1所列的剛度非線性系統自由衰減振動的瞬時頻率可估計為系統振動幅值及其非線性剛度參數的函數,即

(3)

式中:a(t)為系統振動幅值;k1,k2,…,kn為系統非線性剛度。

根據式(3)可知,由于剛度非線性函數不同,不同剛度非線性系統自由衰減振動的瞬時頻率將呈不同的分布規律,因此可根據瞬時頻率分布實現剛度非線性類別辨識。

對非線性時變系統,常用時頻分布來估計系統瞬時頻率[11]。本文采用時頻聚集性能較好且抗干擾強的SPWVD(smoothed pseudo-Winger distri-butions)分布[12],其分布規律為

(4)

式中:h(t)和g(t)為平滑函數且滿足h(0)=g(0)=1;u為系統時域響應;ξ為系統頻域響應;f(u)為系統響應函數;f*(u)為f(u)的復共軛函數。

其時頻

寬度與u(t)相同。記fa(t)=a(t)ejφ(t),則系統瞬時頻率為

(5)

式中:a(t)為幅值響應;φ(t)為系統角速度。

本文運用峰值檢測法進行系統振動瞬時頻率估計,即以每個時間點SPWVD最大值對應的頻率作為信號瞬時頻率的估計結果。以圖1單自由度非線性系統為例,圖2給出了表1所列剛度非線性系統瞬時頻率分布曲線,系統仿真參數見表2。

圖1 單自由度剛度非線性系統

系統k/N·m-1a0/mk1/N·m-1k2/N·m-1初速度/m·s-1A00.16320.3B00.16320.3C00.16321580.3D00.11586320.3E15830000.3

(a)系統A (b)系統B (c)系統C

(d)系統D (e)系統E(硬彈簧) (f)系統E(軟彈簧)圖2 含剛度弱非線性單自由度系統瞬時頻率

從圖2中可得,立方剛度系統E瞬時頻率分布曲線與攝動法估計的瞬時頻率變化趨勢相同,即

(6)

為二次曲線,可直接從其他幾類非線性系統中區分出來。系統A、D,系統B、C瞬時頻率分布曲線相似,這是由于系統A為系統D的一種特殊情況即k1=0,系統B為系統C的一種特殊情況即k2=0。

2.2 非線性類別辨識

為有效地辨識A、B、C、D 4類分段剛度非線性系統,本文結合被測系統瞬時頻率分布特征和圖形匹配算法實現非線性類別辨識,其技術路線如圖3所示。

圖3 系統非線性分類方法技術路線圖

該類別辨識方法基本分為以下3個步驟。

(1)根據被測系統結構特點及剛度非線性系統恢復力曲線,建立含不同剛度非線性的被測系統簡化模型,求解相同初始位移下各模型自由衰減振動。

(2)采用SPWVD峰值檢測法獲得不同模型的瞬時頻率變化曲線,建立各非線性模型瞬時頻率曲線庫。

(3)結合圖形匹配算法,匹配被測系統實測自由衰減振動瞬時頻率曲線與曲線庫曲線,匹配程度最好的系統即為該被測系統主要非線性類別。

以圖1所示的單自由度非線性系統為被測系統,根據系統結構特點,建立含表1所列A～D4種剛度非線性系統簡化模型,并求解系統自由衰減振動響應,仿真參數見表3,非線性項參數與表2相同。

表3 簡化模型參數

(a)系統A (b)系統B

(c)系統C (d)系統D圖4 單自由度剛度非線性系統瞬時頻率數據庫

根據峰值檢測法估計各模型自由衰減振動及其瞬時頻率分布曲線。為使建立的曲線庫具有一定的可比性,瞬時頻率分布曲線需進行歸一化處理,圖4給出了歸一化瞬時頻率曲線庫,縱坐標以系統基頻為基準,橫坐標以仿真總時長為基準,即

(7)

式中:ω(t)為系統瞬時頻率;ω0為系統基頻;t為仿真時間;T為仿真總時長。

(a)與曲線庫A對比 (b)與曲線庫B對比

圖5給出了被測系統為間隙非線性系統A時,系統實測瞬時頻率分布與曲線庫曲線對比圖。從圖中可明顯看出,被測系統瞬時頻率曲線與曲線庫中A類間隙非線性系統瞬時頻率曲線接近。考慮結合圖形匹配算法,通過匹配被測系統實測瞬時頻率與曲線庫曲線,實現非線性類別辨識。本文以兩曲線間距離作為匹配參數,即

(c)與曲線庫C對比 (d)與曲線庫D對比圖5 被測系統與曲線庫瞬時頻率對比結果

(8)

式中:YE為被測系統瞬時頻率分布曲線縱坐標;YB為曲線數據庫內各模型瞬時頻率分布曲線縱坐標;N為采樣點數。

系統瞬時頻率分布曲線與曲線庫瞬時頻率曲線的匹配結果見表4。從表中可以看出,當被測系統與曲線庫對應類別一致時,對應的DS值最小,即兩曲線匹配程度最好,從而實現了非線性類別的定量辨識。

表4 單自由度非線性系統類別辨識DS值

隨機選取50組不同間隙與間隙剛度的非線性單自由度系統作為被測系統。圖6給出了這50組樣本自由衰減振動瞬時頻率分布曲線與曲線庫匹配結果。從圖6中可以明顯看出,被測系統瞬時頻率分布與曲線庫內間隙非線性匹配程度最好,從而確定被測系統為間隙非線性系統。

圖6 含間隙單自由度非線性系統類別的辨識結果

3 連續體系統非線性類別辨識

3.1 傳統方法非線性類別辨識

由于連續體系統各單元間振動的相互耦合,使得傳統的非線性類別辨識方法很難實現連續體系統非線性類別的辨識。以圖7所示的剛度非線性懸臂梁為例,懸臂梁任意點的位移響應用絕對位移u(x,t)表示,該懸臂梁系統的參數如下:長度l、橫截面積A、截面慣性矩I、密度ρ、彈性模量E、非線性位置距離固定端的距離lc、表1所列的剛度非線性項f(u)。

圖7 非線性懸臂梁系統

圖8給出了立方剛度與間隙非線性系統波特圖。從圖中可以看出:同一種非線性系統在一定輸入輸出下,系統幅頻響應往往呈現不同的分布。此外,分段非線性系統波特圖受非線性影響嚴重,因此頻響函數的形狀不能作為確定系統剛度非線性類別的依據[2]。

(a)立方剛度非線性系統 (b)含間隙非線性系統圖8 剛度非線性系統波特圖

圖9對比了含間隙單自由度系統及含間隙懸臂梁系統RFS[2]曲線圖。從圖中可以看出,傳統的RFS恢復力曲線法可有效解決單自由度系統非線性類別辨識問題。但是,在連續體系統中,由于系統各單元間會發生進一步相對位移,曲線呈嚴重的混疊現象,從原始的恢復力-位移曲線分布圖中無法準確辨識出非線性類別。

(a) 含間隙非線性單自由度 (b) 含間隙非線性懸臂梁系統RFS圖 系統RFS圖圖9 含間隙非線性系統RFS曲線

3.2 懸臂梁系統非線性類別辨識

根據哈密爾頓原理,圖7所示的非線性懸臂梁系統自由衰減振動微分方程為

(9)

式中:utt是u(x,t)關于時間t的二階導數;uxxxx是u(x,t)關于位置x的四階導數;fs(x,t)為非線性力。

根據系統邊界條件及振形疊加原理,系統固有頻率可寫為

(10)

其中基頻為

(11)

利用本文方法,首先根據系統結構特點及其動力學方程,建立含剛度非線性系統簡化模型,并求解模型自由衰減振動響應,仿真參數見表5。

采用峰值檢測法獲得上述不同剛度非線性系統瞬時頻率分布曲線。以基頻為基準對各系統瞬時頻率分布進行歸一化處理,并建立被測系統瞬時頻率曲線庫,如圖10所示。

從圖10中可以看出,上述剛度非線性系統瞬時頻率均呈不同的分布規律,尤其是立方剛度非線性系統E,其瞬時頻率呈光滑二次曲線,可直接從其他幾種非線性類別中區分出來。

表5 懸臂梁非線性系統數據庫仿真參數

(a)系統A (b)系統B (c)系統C

(d)系統D (e)系統E(硬彈簧) (f)系統E(軟彈簧)圖10 剛度非線性懸臂梁系統瞬時頻率分布圖

圖11 含間隙懸臂梁系統類別辨識結果

以系統A為被測系統,隨機選取50組不同的間隙與間隙剛度進行仿真,圖11給出了被測系統實測瞬時頻率與曲線庫圖形匹配結果。從圖中可以看出,這50組不同間隙非線性系統均與曲線庫A的匹配程度最高,從而驗證了該類別辨識方法的有效性。

3.3 懸臂梁系統非線性類別辨識實驗

本文在假設系統剛度非線性未知的情況下,以系統A為實際被測系統,通過改變系統間隙和間隙剛度驗證該類別辨識方法的有效性。實驗臺如圖12所示,間隙位于小懸臂梁與懸臂梁之間,通過小懸臂梁厚度調整間隙剛度,通過間隙頭與間隙梁之間的墊片厚度調整間隙大小。本實驗用敲擊法獲得初始位移,并通過電渦流傳感器及數據采集儀進行數據采集,具體實驗參數見表6。

(a)局部放大圖

(b)主視圖圖12 非線性類別辨識實驗臺

實驗采樣點數小懸臂梁厚度/mm間隙/mm1204880.12204880.23204880.34204840.15204860.162048100.1

圖13給出了間隙為0.1 mm、小懸臂梁厚度為8 mm的衰減響應曲線及其瞬時頻率分布曲線,從圖中可以看出該被測系統更接近系統A。

分別將上述實驗分析結果與懸臂梁非線性曲線庫進行瞬時頻率圖形匹配,匹配結果見表7。從表7中可以看出,被測系統瞬時頻率與曲線庫A匹配的DS值最小,確定被測系統為間隙非線性系統,從而驗證了該方法的有效性。

(a)非線性位置自由衰減振動 (b)瞬時頻率分布曲線 圖13 實驗1結果

實驗DS系統A系統B系統C系統D110.488115.199115.32747.879230.826130.025130.34257.321316.916123.627123.89651.500430.787122.134122.64050.322521.246117.226117.66345.337624.074120.125120.54647.758

4 結 論

本文基于瞬時頻率峰值檢測,利用被測系統瞬時頻率分布特點,提出了一種可用于連續體系統的剛度非線性類別辨識方法。該方法根據被測系統結構特點,建立了含不同剛度非線性系統簡化模型及其瞬時頻率曲線庫,并結合圖形匹配算法實現了剛度非線性系統類別辨識。本文通過剛度非線性懸臂梁系統仿真分析與實驗計算,驗證了該方法的有效性。同時,本文方法對其他非線性具有普適性,可推廣應用于機械系統常見非線性的類別辨識中。

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(編輯 杜秀杰)

Type Identification for Mechanical Nonlinearity

QUAN Shuanglu,LIU Jie,HAN Luofeng,HE Anqi,LI Bing

(School of Mechanical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

For type identification of nonlinear continuum systems with stiffness nonlinearity, a classification strategy with peak detection algorithm is put forward. According to the structure of under test system, simplified models with 5 kinds of stiffness nonlinearity are constructed. The nonlinearity types are particularly interested in structural diagnostic, such as clearance nonlinearity and cubic nonlinearity. An instantaneous frequency library is then set up by studying the free oscillations and instantaneous frequencies of different models. The shape-matching algorithm is used to compare the real instantaneous frequency with the curves in the library. And the results are taken up to the index to identify the nonlinearity types. For a cantilever beam system with clearance, the matching value between the real instantaneous frequency and the curve of clearance nonlinearity measured in this strategy gets obviously smaller than the others, verifying the effectiveness.

mechanical system; type of nonlinear system; instantaneous frequency; shape-matching algorithm

2015-04-17。

權雙璐(1991—),女,碩士生;李兵(通信作者),男,教授,博士生導師。

國家自然科學基金資助項目(51475356)。

時間:2015-09-13

10.7652/xjtuxb201512017

TH17

A

0253-987X(2015)12-0104-08

網絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150913.1824.006.html