改進的變步長LMS自適應濾波算法

劉小東，黃洪瓊

(上海海事大學信息工程學院，上海201306)

0 引言

最小均方誤差 (LMS)算法由Widrow和Hoff提出，隨著理論的推廣及深入，自適濾波技術廣泛應用于自動控制、雷達通信、系統辨識等智能信息處理領域 (見圖1)。

圖1 自適應濾波系統Fig.1 Adaptive filtering system

LMS算法的優點是計算量不大，易實現，只需知道自適應線性組合器每次迭代運算組合的輸入激勵及參考響應，那么選用自適應LMS算法將很適合。LMS算法的主要缺陷是收斂速度、時變系統跟蹤速度與穩態誤差方面的矛盾得不到很好的解決。針對這一缺點，人們提出很多改進的LMS算法，而變步長 LMS算法［1－9］是目前應用最廣泛的一類算法，這些算法的區別在于變步長的改變機制不同。

基于變步長的調整機制［1］，有的提出一種時間平均估值梯度的自適應濾波算法［2］，有的提出一種變步長歸一化的自適應濾波算法［3］，又有基于估值誤差大小來調整步長因子的自適應濾波算法［4］。文獻［5］提出迭代次數與步長成反比的自適應濾波算法，該算法能得到較小的穩態失調，但不具備時變跟蹤能力。文獻 ［1］提出了變步長調整規則的自適應濾波算法 (SVSLMS)，即系統初始階段或未知系統時變階段步長較大，使算法有較快的收斂速度，隨著收斂速率的不斷深入，逐漸更新步長使其減小以達到較小的穩態偏差。然而，SVSLMS算法在誤差接近零處變化時，不具有緩慢變化的特征，使得SVSLMS算法在穩態時仍有較大的步長變化。為此，文獻［6］提出了改進的SVSLMS算法，使其在穩態時步長因子μ較小，但仍然未較好的改善SVSLMS算法的收斂速度和穩態偏差等性能指標［10－11］。收斂速度，時變跟蹤速度及穩態誤差是評判LMS自適應濾波算法優劣的重要技術指標。如何有效的設計步長因子μ(n)與e(n)的映射函數關系，是解決算法收斂速率、時變系統跟蹤能力與穩態誤差矛盾之間的關鍵技術。

1 新的變步長LMS濾波算法

根據文獻［1］提出的變步長指導調整規則，本文給出一種變步長調整自適應濾波算法的通式，并通過實驗仿真求解最佳指數因子。

式中:W(n)=［w(n)，w(n－1)，w(n－2)，…，w(n－L+1)］T為自適應濾波器在時刻 n的權重矢量;X(n)為輸入激勵矢量;d(n)為期望響應值;v(n)為干擾噪聲;e(n)為誤差噪聲;L為濾波器的階數;μ(n)為步長因子，它控制著算法的穩定性和收斂速度;α為控制關于e(n)是u(n)的函數形狀的常數;β為控制步長因子取值范圍的參數(0＜β＜1/λmax)。最佳的α和β由實驗仿真獲得，當然α和β的選取在滿足LMS算法收斂的前提下，收斂的條件是步長因子μ(n)不超過輸入激勵矢量自相關矩陣特征值的最大值λmax。

圖2 為β=0.2，α=50，m=1，2，3，4，6時，式(2)步長因子u(n)關于誤差e(n)的函數曲線簇。當m=1時，即為文獻［1］提出的 u(n)是 e(n)的Sigmoid函數，當誤差e(n)在零附近處變化時，此時算法已達到穩態，u(n)波動較大，不具有緩慢變化的特性;當m=2時，即為文獻［6］提出改進的SVSLMS算法，當算法達到穩態時，仍未較好改善文獻［1］中u(n)緩慢變化的特性;當m=3時，在算法的初始收斂階段和跟蹤階段，u(n)隨e(n)的增大而自動增大，在e(n)接近0時或將達到穩態時，u(n)仍然具有緩慢變化的特性;當m=2時，曲線的底部形態比m=3的曲線底部形態凸起，說明誤差e(n)在接近零處變化時，此時算法已達到或將要達到穩態時，u(n)仍然變化較大，此時意味著m=2并不是最優的指數緩慢變化因子;當m=4和m=6時，雖說曲線底部的變化更加平緩，但在誤差e(n)還未到達穩態或還未接近零處變化時，步長因子u(n)早已歸0，這將促使更大的穩態偏差。

圖2 m=1，2，3，4，6時，誤差與步長的關系曲線Fig.2 m=1，2，3，4，6，the error curve with step size

2 確定指數因子

另外，在未確定最優的指數緩慢變化因子前，在多次試驗基礎上選取2～3之間具有代表性數據m=2.5，2.75，3來分析所對應算法的穩態性能(系統收斂的前提下，0＜μ＜λmax，λmax是輸入激勵矢量自相關矩陣的最大特征值)。理論分析和計算機試驗仿真結果表明，m=2.85～3.15之間取值時，算法技術指標的性能比較好。如圖3所示，在α和β取值一定的情況下，3種曲線底部特性的平緩度是不同的，m=2比m=2.75凸起，m=2.75比m=3凸起，這就說明在e(n)接近0處時，m=3曲線的底部比m=2.75和m=2的曲線的底部更具備遲緩變化的特征。在本文中取m=3時，具有最優指數緩慢變化因子特征。

圖3 m=2，2.75，3曲線形態比較Fig.3 m=2，2.75，3 curve shape comparison

在相同實驗條件下，3種算法的收斂速度相當，如圖4所示。但就算法穩態失調相比，m=3所對應的穩態誤調噪聲最小。這是因為在m=3對應的算法中，很小的e(n)對應很小的u(n)，在m=2和m=2.75對應的算法中很小的e(n)則對應很大的u(n)，所以m=3對應的穩態誤差噪聲要比m=2.75和m=2所對應的穩態誤差噪聲小，這一點在圖4的仿真實驗中得到驗證。

分析至此，本文最優的指數緩慢變化因子取m=3，得出最佳變步長公式為:

圖4 m=2，2.75，3曲線的穩態誤差比較Fig.4 m=2，2.75，3 comparison of steady-state error curve

3 實驗結果及分析

采用與文獻［1］相同的實驗條件:

1)采用2階的自適應濾波器;

2)已知W*=［0.8，0.5］T為未知系統FIR的系數，在第500個采樣點時刻，時變系統發生突變，FIR權矢量系數變成W*=［0.4，0.2］T;

3)x(n)是方差為1，均值為0的高斯白噪聲;

4)v(n)是方差為0.04，均值為0的高斯白噪聲，且與x(n)不相關;

為得出每條實驗仿真曲線，獨立進行200次實驗，每次實驗采樣點數均為1 000。然后求取統計平均，得出平均學習曲線。

圖5是α=500固定，β變化時算法的收斂曲線，β值分別取0.01，0.03，0.06，0.2，隨著β的增大(當然在滿足算法收斂的前提下0＜β＜1/λmax)，算法的收斂速度逐漸提高，當β增到一定限度時，收斂速率不再提升，實驗結果顯示，最佳β取值0.2。

圖5 α=500，β變化的曲線Fig.5 α =500，βcurve changes

圖6是β=0.2固定，α值變化的算法收斂曲線，α值分別取1，10，100，10 000，算法的收斂曲線，同理α增大到一定程度，算法收斂速度不再增加，本實驗條件下最優的α值為10 000。

圖6 β=0.2，α變化的曲線Fig.6 β=0.2，αcurve changes

通過獲取最佳的指數因子m及最優的控制參數α和β之后，采用文獻［1］相同的實驗條件，實驗仿真結果如圖7所示，本文算法與SVSLMS算法及文獻［6］中改進的SVSLMS算法的對照，本文算法最佳α =10 000，β=0.2，文獻［1］中SVSLMS算法的最佳參數α和β分別值取為1.0和1.5。文獻［6］中改進的SVSLMS算法的最佳參數α和β分別取20和0.2。由圖7對比可看出，本文算法的收斂速度明顯快于SVSLMS算法和文獻［6］改進的SVSLMS算法，且在第500個采樣點未知系統發生突變時刻，本文算法的時變跟蹤能力和穩態失調比SVSLMS算法和文獻［6］的算法更優越，這說明本文算法具備更好的收斂速度，系統時變跟蹤能力，穩態失調技術指標。

圖7 實驗仿真結果對照Fig.7 Simulation results comparison

4 結語

通過改進步長因子u(n)與誤差信號e(n)之間的非線性函數關系，給出了誤差信號e(n)的指數因子變化的通式，經試驗仿真最佳指數緩慢變化因子的分析過程，提出了一種新的變步長算法。該算法具備初始階段和未知體系時變階段步長很大，而算法到達穩態階段步長較小的轉變，且克服了SVSLMS算法在穩態階段步長起伏波動較大的缺點，提高了算法的魯棒性，同時比文獻［6］改善的SVSLMS算法具備更快的收斂速率和時變跟蹤速率。

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