超聲波電動機P 與PI 型迭代學習轉速控制

劉 玉，史敬灼，黃景濤，徐美玉，張聚偉，張 雷

(河南科技大學，洛陽471023)

0 引 言

超聲波電動機特殊的運行機理，使其運行特性表現出明顯的非線性及時變特征，不易得到理想的運動控制性能［1］。為克服超聲波電動機自身的這些缺點，努力得到符合應用期望的控制性能和運行穩定性，其控制策略的研究逐漸趨于復雜化。許多復雜的控制器，如神經網絡控制器、自適應控制器、模糊神經網絡控制器等，先后被提出并用于超聲波電動機。這些控制策略，算法復雜，不僅增加了系統復雜度，而且在線計算量大，其實現需要更高檔的DSP 等芯片，從而增加了系統成本，不利于超聲波電動機的大規模產業化應用。

我們當然希望控制策略越簡單越好，但前提是電機系統控制性能滿足工業應用要求。而之所以超聲波電動機控制策略研究日漸復雜化，原因在于慣常使用的定常參數PID 等簡單控制策略無法滿足需要。于是，有必要探求其它的較為簡單的控制形式和控制策略，并針對超聲波電動機的特點進行合理改變、設計與整定，才有可能實現我們的期望。

Arimoto 等人在上世紀80 年代提出的迭代學習控制思想［2］，是一種通過模仿人類學習行為來獲得學習能力的漸進控制過程［3］。該控制器在重復的運行過程中，基于經驗知識學習來確定逐漸趨近期望控制過程的控制量最優變化軌跡，從而得到更好的控制性能［4］。迭代學習控制算法較為簡單，不依賴于被控對象的精確模型，適用于超聲波電動機這類具有高度非線性、模型難以準確確定且可重復運行的被控對象。

本文針對超聲波電動機的時變非線性，分別設計了形式簡單的P 型和PI 型迭代學習控制策略，對超聲波電動機進行轉速控制。實驗表明，控制算法簡單，易于實現，電機轉速響應曲線表現出漸進的學習過程，控制效果較好。

1 迭代學習控制的基本算法

迭代學習控制策略針對具有可重復性的被控對象，利用先前的控制經驗，根據該系統的輸入變量和輸出期望信號之間的相互關系，來在線尋求一個理想的輸入變量變化過程，從而使被控對象達到控制要求并輸出期望的輸出信號。這里所謂的可重復性，有兩層含義。一是系統的運動是重復的;對于電機轉速控制來說，即指其轉速給定信號是重復施加的，電機每次運行均具有相同的期望輸出轉速。二是在上述每一次的重復運行過程中，被控對象的向量函數及其相互之間的函數關系是不變的。

作為普通和精密運動控制執行部件的超聲波電動機，經常工作于具有重復性的運動控制場合。據此，采用迭代學習控制方法，有可能通過相對簡單的控制器形式、較小的在線計算量，利用電機運動的重復性，實現電機控制性能的漸進調整，并在有限次數的重復運動之后，達到較好的控制性能。這就為降低超聲波電動機系統的控制復雜度提供了一種新的可能思路。

迭代學習控制的基本控制規律:

式中:t 為時間;uk+1(t)為系統第k +1 次重復運行過程中，在t 時刻的控制器輸出控制量，本文取為超聲波電動機的驅動頻率值;uk(t)為系統第k 次運行過程中t 時刻的控制量;ek(t)為系統第k 次運行過程中t時刻的轉速誤差;Nref(t)為電機轉速給定值;n(t)為電機的實際轉速值;比例環節KP為學習增益。因學習律為比例環節，式(1)的控制規律又稱為P 型迭代學習控制。

迭代學習控制的目的是在系統結構和參數都未知的前提下，經過多次重復運行，控制器的輸出u(t)趨近于事先未知的ud(t)，從而使得電機轉速n(t)趨近于期望的Nref(t)。當達到控制要求的精度之后，停止迭代學習并保存最近一次運行的控制器輸入輸出數據，就完成了迭代學習過程。

圖1 超聲波電動機迭代學習控制系統基本框圖

圖1 給出了超聲波電動機迭代學習轉速控制系統的基本結構框圖。圖中“控制量記憶”、“誤差記憶”與“延時”環節用來存儲以前運動過程中的控制量和誤差，KP環節表示學習控制律。這些環節構成了迭代學習控制器，對應于式(1)。顯然，采用不同的學習控制律，可以得到不同的學習過程和控制過程。系統中，控制器的輸出為超聲波電動機頻率的給定值，通過驅動電路給出具有相應頻率的驅動電壓作用于超聲波電動機。與電機同軸剛性連接的旋轉編碼器檢測電機轉速得到反饋信號，其與轉速給定值之差作為控制器的輸入，進而通過重復的迭代學習控制，得到更好的控制過程。

考察式(1)與圖1，系統當前控制過程的控制量uk+1(t)是由前次的控制量uk(t)和誤差ek(t)計算得到的，即控制量與當前的系統輸出轉速誤差ek+1(t)無關。從這一點來看，圖1 系統實質上是一個開環控制系統。如前述，迭代學習控制是針對具有可重復性的系統提出的，其可重復性包含被控對象及其系統的時不變性質。對于時不變系統，采用式(1)計算控制量，能夠保持控制的有效性，因為在每一次重復的控制過程中，控制對象的特性始終保持不變，變化的只是隨機的擾動信號。由于隨機擾動的量值通常微小，采用式(1)有可能保證并加快系統學習過程的收斂。但是超聲波電動機具有明顯的時變特性，采用式(1)與圖1 形式進行控制，不能保證系統控制過程的有效性。實驗表明，在階躍轉速給定值情況下，會導致電機轉速跟蹤過程中的抖動和穩態的轉速偏差。因而，本文將式(1)改為:

式中:ek+1(t)為系統第k+1 次運行過程t 時刻的轉速誤差。對應于式(3)的控制系統框圖如圖2 所示，控制形式進一步簡化。

圖2 超聲波電動機改進迭代學習控制系統基本框圖

式(3)控制量與當前轉速誤差相關。從單次控制過程來看，具有閉環控制的性質，為克服超聲波電動機的時變特性提供了可能。從多次重復控制過程來看，每次的控制量都是在記憶前次控制量的基礎上，根據時變對象當前的誤差信息進行修正，同樣具有迭代學習的特征，能夠通過迭代使控制過程漸好。考察式(3)、圖2 控制過程的在線計算量，與傳統的固定參數PID 控制器相比，僅增加了控制量的一次存儲與讀取操作，計算量相當。

2 P 型迭代學習轉速控制

2.1 學習增益KP 的確定

采用式(3)對超聲波電動機進行轉速控制，學習增益KP是唯一需要確定的控制參數。該值不僅與單次控制過程的動態性能相關，而且直接決定了迭代學習過程是否能夠收斂。為得到學習過程的收斂條件，進而確定合適的KP值，首先取超聲波電動機的模型為狀態方程形式，并設為具有普遍意義的全局Lipschitz 連續動力系統狀態方程［4］:

式中:x(t)為超聲波電動機系統的狀態變量。根據式(4)，可以推導出迭代學習的收斂條件［4］:

式中:γ 為小于1 的常數。限于篇幅，具體推導過程請參考文獻［4］。式(5)給出了能夠保證學習收斂的KP取值范圍。

式(4)中，函數關系G 表征了超聲波電動機轉速n(t)與其控制量u(t)(本文為電機驅動頻率)之間的函數關系。與之對應，式(5)中的偏導數代表了n(t)相對于u(t)的變化率。對于線性被控對象，這個偏導數通常為固定值。而對于超聲波電動機這類非線性對象而言值隨電機運行狀態參數的不同而變化。

本文實驗用電機為Shinsei USR60 型兩相行波超聲電機。文獻［5］對該型電機做了詳細測試，給出了電機轉速與驅動頻率之間的穩態關系曲線數據如圖3 所示。據此，在實驗電機運行頻率范圍內，可得到轉速相對于驅動頻率的變化率，即穩態的數值。顯然，不同頻率情況下，數值有差別。若采用工作頻率范圍內的最大值代入式(5)進行計算，得到的KP值能夠保證在超聲波電動機工作范圍內的學習收斂性。由圖3，經數據擬合計算得到的最大值為121.0 r/(min·kHz)。由式(5)收斂條件可得KP的取值范圍為0 ＜KP＜0.017。仿真校核表明，這一取值范圍可同時保證系統控制的穩定性。考慮實驗程序中采用頻率控制字來調節頻率，考慮其數量變換關系，程序中KP的實際取值范圍為0 ＜KP＜10.58。

圖3 轉速和驅動頻率關系(空載，實測)

2.2 實驗分析

設定轉速階躍給定值為30 r/min，進行P 型迭代學習實驗，希望得到超調為0 且響應速度較快的階躍響應。實驗用驅動電路為H 橋結構，采用相移PWM 控制方式。

迭代學習控制過程是通過記憶前次控制過程，逐步學習不斷改進的過程。在這個過程中，首次控制過程因為沒有前次記憶，無法進行學習，僅為其后控制過程提供第一次記憶作為學習基礎。所以，可采用任意控制器進行首次控制。為便于說明學習效果，實驗中采用KP=3.5、KI=2 的PI 控制器進行首次控制。該控制器可以保證超聲波電動機系統的穩定運行，但控制效果不夠理想，響應時間較長。首次運行過程中，記憶控制器輸出的控制量。從第二次控制過程開始，采用改進的P 型迭代學習控制律式(3)作為控制器。

實驗表明，學習增益KP在(0，10.58］范圍內取不同值，學習過程都能夠逐漸趨于收斂。KP值越大，學習收斂越快，轉速階躍響應的超調越大。例如取KP=3.5，連續進行9 次迭代學習控制的階躍響應實驗，得到9 次轉速響應如圖4 所示。

圖4 轉速階躍響應曲線(KP =3.5)

圖4 中，第8、9 次階躍響應的超調明顯增大。考慮到期望無超調，且學習導致的曲線其它部分變化已不明顯，故而停止迭代學習。由圖4 可以看出，隨著迭代學習次數的增加，控制強度逐漸加強，階躍響應上升時間逐漸減小，最終都會穩定在給定值，P型迭代學習策略是有效的。

圖4 階躍響應的一個突出問題是，隨著迭代學習過程的持續進行，出現了明顯的超調，這不是我們期望的。從現象上看，因為階躍給定值在起始時刻跳變為非零的固定值(30 r/min)，而電機轉速在起始時刻為0，于是得到較大的轉速誤差。考察式(1)或式(3)給出的控制策略，較大的起始轉速誤差必然導致起始控制量隨著迭代的持續而快速增大，從而導致超調。

從原理上講，迭代學習控制策略在本質上是一個在線的控制響應優化過程，P 型迭代學習采用了最簡單的比例漸近優化策略。這一優化過程試圖“漸近”的目標，是減小控制誤差，即，使響應曲線不斷趨近于給定值曲線。這也就是說，給定值曲線表達了我們的控制期望。實驗中，給定值為固定值階躍信號，如圖5 中虛線所示。顯然，考慮到包括超聲波電動機在內的任何被控對象都會有慣性，轉速響應曲線絕對不會和圖5 虛線重合，于是P 型學習得到了轉速數據點分布在圖5 虛線上、下的響應曲線，即出現了超調。既然圖5 虛線是不可能達到的，這樣的曲線也就沒有真實反映合理的控制期望，這是出現超調的重要原因之一。應該采用恰當的方式，表達合理的控制期望。據此，對轉速階躍給定值做柔化處理:

圖5 柔滑的階躍轉速給定曲線

取KP=3.5、β=0.7，進行P 型迭代學習控制實驗，連續9 次階躍實驗結果如圖6 所示，控制性能指標變化如表1 所示，轉速響應曲線逐漸趨于表征控制期望的柔化給定曲線，無超調。從表1 可以看出，從第六次實驗開始，轉速穩態波動誤差增大。增加KP值進行實驗。實驗結果表明，KP值越大，迭代學習收斂速度越快，但穩態波動誤差也增大。

表1 P 型迭代學習控制性能指標(KP =3.5，β=0.7)

上述P 型迭代學習控制實驗中，電機能夠無超調運行，通過迭代學習，電機控制性能逐漸趨好。控制參數取為KP=3.5，β =0.7 時，電機的轉速控制性能較好，但轉速響應曲線的上升時間還是比較長。當增加KP即增加控制強度之后，上升時間有所減小，但會導致較大的穩態波動誤差。同時，迭代學習控制過程雖能夠單調收斂，但趨近期望響應曲線時，收斂速度放慢，學習過程對控制性能的改進量變小。

考察控制策略式(3)，其中僅有一個控制參數KP，其值的確定需要同時兼顧動態、穩態控制性能及學習收斂性能。對簡單的被控對象，也許可以設定一個KP值，使得這幾種不同的性能要求得到較好的折衷。但對于復雜對象，例如超聲波電動機，雖然能夠通過記憶、學習，實現控制性能漸進，但顯然無法兼顧上述幾種性能要求。基于此，考慮在式(3)中增加誤差的積分項，構成PI 型迭代學習控制，以期獲得更好的控制性能。

3 PI 型迭代學習轉速控制

3.1 PI 型迭代學習控制策略

在式(3)中增加誤差的積分項，得PI 型迭代學習控制策略:

式中:KI為積分學習增益。增加轉速誤差的積分項，有可能在增大控制強度的同時抑制超調，減小穩態轉速波動，使系統運行更加平穩。

3.2 實驗分析

PI 型迭代學習控制的實驗步驟與P 型迭代學習控制相同。選取不同的KP、KI、β 值進行階躍響應實驗，考察控制參數對控制和學習性能的影響。實驗表明，選取KP=2、KI=6、β =0.8 時，性能相對較好，對應的階躍響應迭代學習過程如圖7 所示，控制性能指標如表2。由表2 中數據可以看出，學習過程的漸進性明顯，穩態轉速波動也相對較小。

表2 PI 型迭代學習控制性能指標(KP =2，KI =6，β=0.8)

4 結 語

本質上，迭代學習控制策略是一種算法相對簡單的在線優化控制策略。為尋求適用于超聲波電動機的簡單控制策略，本文嘗試將其用于超聲波電動機轉速控制，并根據超聲波電動機的時變特點給出了改進的控制算法。實驗表明，所設計的超聲波電動機轉速迭代學習控制器，能夠實現在線的控制性能改進;適當表述的期望控制響應對控制性能及學習過程都有顯著影響，需要根據控制性能要求確定;控制參數個數應適當，在考慮控制算法簡單的同時，保證控制的有效性。

［1］ 史敬灼.超聲波電機運動控制理論與技術［M］. 北京:科學出版社，2011:1 -19.

［2］ 方忠，韓正之，陳彭年. 迭代學習控制新進展［J］.控制理論與應用，2002，18(2):161 -166.

［3］ 于少娟，齊向東，吳聚華. 迭代學習控制理論及應用［M］. 北京:機械工業出版社，2005:6 -10，32 -103.

［4］ 許建新，侯忠生. 學習控制的現狀與展望［J］. 自動化學報，2005，31(6):131 -143.

［5］ CHEN T C，YU C H，TSAI M C.A novel driver with adjustable frequency and phase for traveling -wave type ultrasonic motor［J］.Journal of the Chinese Institute of Engineers，2008，31(4):709 -713.