改進Simpson積分法在捕食模型參數辨識中的應用

范青 王昆明

摘 要：生產和科研中經常需要高精度地確定模型的參數，為此推導出了改進的變步長Simpson數值積分公式，并結合灰色系統理論，提出了一種模型參數灰色辨識的數學模型。采用此方法對捕食模型中的參數進行了辨識仿真，結果表明，基于變步長Simpson數值積分公式的灰色辨識方法在處理非等時間間隔以及數據波動性較大的參數辨識問題時穩定性較好，可滿足高精度辨識模型參數的要求。

關鍵詞：Simpson積分法 捕食模型 灰色理論 參數估計

中圖分類號：Q332 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）08（c）-0235-03

捕食模型的參數辨識和仿真是一個經典的問題。文獻記載了許多單種群Logistic模型參數辨識的曲線擬合方法[1-3]，但這些方法實際操作中存在一定局限性，向研究多種群模型的參數辨識推廣比較困難，尋找確定2種群或多種群捕食模型參數的簡便方法具有重要意義。文獻[4]給出了2種群捕食模型參數的灰色估計方法，但此法基于等差或等間隔觀察數據列，不適合任意遞增的時間序列，觀測數據波動性較大時，時間穩定性較差。該文基于拉格朗日插值公式，推導得到了變步長Simpson數值積分公式，并與灰色系統理論相結合，較好地處理了高精度辨識模型參數問題。

1 捕食模型及初值問題分析

自然環境中，生物種群之間通常存在相互競爭或相互依存或弱肉強食三種基本關系。著名的“弱肉強食”模型-捕食（Volterra）模型[5]為：

（1）

初始條件為：，為待定參數。

將（1）中兩式相除，整理可得：

（2）

兩邊積分，得：

（3）

令 ，則有：

（4）

由（3）可見，初始條件，一定時，值是固定的。如果把，看作兩個變量，那么它們之間的關系與捕食者、被捕食者之間數量的關系是相同的。因而在2個物種的數量達到某種穩定的循環時，作為初值條件的，可以是任何時刻的物種數量。一對，可以唯一決定一個循環狀態。

2 變步長Simpson積分公式

文獻[4]中利用了步長為單位時間間隔的梯形求積公式來估計參數，該文對其方法進行了改進，推導了具有較高精度的變步長Simpson積分公式。

常用數值積分公式是利用拉格朗日插值公式推出來的，拉格朗日插值多項式的一般表達式為：

其中稱為拉格朗日插值基函數。

由兩邊積分，得插值型求積公式，其中為求值系數。

對于（1）中捕食者數量，考慮其在區間

上積分，且有，。記的積分為：

聯立（5）、（6）可得：

，

當時，積分整理得：

代入公式（6）并化簡可得：

上式即為基于拉格朗日插值公式的變步長Simpson數值積分公式。當時，（7）式可變為節點等距時的拋物線求值公式，。

3 捕食模型參數的灰色估計法

灰色理論[5]基于關聯空間、光滑離散函數等概念，定義了灰導數和灰微分方程，是以定性為前提，定量為后盾，它采用離散數據列建立微分方程的動態模型，描述研究對象的動態行為，而且可直接對模型中的參數進行估計。

令，，，，則模型方程（1）可以改寫為如下形式：

按導數定義有：

對于非負原始數據序列，采樣間隔時間相對于種群數量的變化時間來說足夠小時，近似地有：

寫成離散形式為：

由（7）式，取時刻的背景值為：

t 時刻的背景值取法同上?；疑到y理論認為，微分方程是背景值與各階灰導數的某種組合，那么（8）的第一個方程可被離散化為：。

將時的數據代入上式，可得矩陣方程：，

其中：，

在最小二乘準則下，可得方程組中第一個方程的參數估計值為：

同樣道理，可以得到最小二乘準則下第二個方程的參數估計值：

其中：，

由前面分析可知，若觀測值準確無誤，那么任意時刻的觀測值均可作為初值。

確定參數ak（1≤k≤4）后，若能夠找到一組數，記，使得最小，便可確定最小二乘意義下的初值參數。

4 仿真與對比分析

該文提出的基于Simpson積分公式的灰色辨識法，通用性較強，計算量小，可克服實際觀測數據的不準確性帶來的困難，易推廣到多種群模型及其它類似模型參數的辨識問題。有某生態系統，含有兩種生物：A生物和B生物，其中A生物是被捕食者，B生物是捕食者，圖1給出了A、B物種數量的觀測值，采用此數據進行模型參數的仿真對比分析。

從圖1可以看出，由于觀測點較密，數據的平順性較差。為了達到更好的參數辨識效果，利用FFT濾波器對數據進行平滑處理。

基于處理后的數據序列，采用變步長Simpson積分公式的灰色辨識方法對模型參數進行辨識，通過MATLAB編程可以得到參數的估計值為：

近似采用原方法進行參數辨識，得到參數的估計值為：

將參數代入（8）中，利用四階R-K法解微分方程組，將仿真結果與觀測數據進行對比分析，其殘差見圖2所示。

從對比中可以發現，該文所給出的方法能夠更好的符合觀測數據，時間穩定性較好，不僅在初始階段，而且經過幾個周期之后，仍能保持與觀測數據的同步變化；而原Simpson方法只能在初始觀測時間段的附近區間較好的預測物種數量的大小和趨勢。

5 結論

該文提出了一種基于變步長Simpson積分公式的灰色辨識方法，該方法簡單，通用性強，穩定性高，只需要對給定的觀測數據進行適當的代數運算，直接代入矩陣就可求得參數的估計值。分析計算結果表明，在參數估計問題中，該文的方法可以以較高的精度獲得模型的參數估計值。

參考文獻

[1] 殷祚云.Logistic曲線擬合方法研究[J].數理統計與管理，2002，21（1）：41-47.

[2] 王紅春，陳平留.三次設計結合模失法擬合Logistic曲線的研究[J].生物數學學報，1999，14（4）：453-458.

[3] 孫全敏，王占禮，邵明安.生物種群Logistic擴展模型灰色增量生成參數辨識及應用[J].系統工程理論與實踐，2000，15（8）：105-113.

[4] 李興莉，申虎蘭，馮玉廣.Logistic和Volterra模型參數的灰色估計方法[J].大學數學，2004，20（6）：82-87.

[5] 王兵團.數學建?；A[M].北京：清華大學出版社，2004.