三平移并聯(lián)機器人正解解析法的研究

蒙運紅 金 逸 黃 進

(1.華中科技大學機械學院 武漢 430074)(2.長江科學院儀器所 武漢 430010)

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三平移并聯(lián)機器人正解解析法的研究

蒙運紅1金 逸2黃 進1

(1.華中科技大學機械學院 武漢 430074)(2.長江科學院儀器所 武漢 430010)

論文對3-PUU三平移并聯(lián)機器人進行了運動學建模,并通過置換消元法推導出該機構(gòu)位置正解的解析式,實驗驗證了正解算法的正確性,并利用正解解析式得出了該機構(gòu)一些運動特性,為該類型并聯(lián)機器人的實時反饋控制提供了理論依據(jù)。

三平移; 機構(gòu); 并聯(lián); 機器人; 運動學; 正解

Class Number TP29

1 引言

并聯(lián)機構(gòu)運動學正解是研究進行運動學分析的基礎(chǔ)[1～3],其解法主要有數(shù)值法和解析法。數(shù)值法的速度慢、并且不一定能求出所有可能的解,解析法求解需要建立復雜的數(shù)學模型,其公式推導及計算過程相當繁雜,不同的機構(gòu)復雜度也有很大差異。在對稱結(jié)構(gòu)的三自由度并聯(lián)機構(gòu)正解求解方法中,很多學者[4～7]分別求出了平面機構(gòu)3-RRR、3-RPR和空間機構(gòu)3-RPR和3-RPS位姿正解的解析式。魯開講等[8]和高征[9]采用不同方法求出球面三自由度并聯(lián)機構(gòu)位姿方程的全部解。針對非對稱結(jié)構(gòu),劉治志等[10]求出了2-UPS&PRR位姿正解的解析解,郭玉等[11]對過約束的2-RTR&RSR機構(gòu)進行了位姿正解建模,并求出其數(shù)值解。黃俊杰[12]等結(jié)合遺傳算法求出3-PRS并聯(lián)機構(gòu)數(shù)值解。本論文對圖1所示的具有對稱結(jié)構(gòu)的3-PUU三平移并聯(lián)機器人的運動學正解進行了推導,得出了其終端執(zhí)行器位置計算的解析表達式,為該種類型機器人運動的適時控制提供了理論基礎(chǔ)。

2 三平移并聯(lián)機器人運動學位置正解

如圖1所示,電機帶動三滑塊上下運動,通過12個虎克鉸鏈和三個平行四邊形機構(gòu),帶動終端執(zhí)行器沿水平(X)、垂直(Y)和鉛垂(Z)方向移動,終端執(zhí)行器上加有旋轉(zhuǎn)主軸,刀具與主軸相連。其機構(gòu)運動簡圖如圖2所示。A1,A2,A3分別為三滑塊上萬向節(jié)鉸鏈中心,C1,C2,C3為絲杠中心線與工件臺表面交點,B1,B2,B3為動平臺上萬向節(jié)鉸鏈中心。D1,D2,D3為滑塊上萬向節(jié)鉸鏈中心在工作臺表面的投影。△A1A2A3,△B1B2B3,△D1D2D3均為等邊三角形。設(shè)△D1D2D3的內(nèi)心為固定坐標系原點O,與D1D2平行的方向為X軸方向,向右為正。垂直向里為Y軸正,豎直向上為Z軸正,A1D1=s1,A2D2=s2,A3D3=s3。設(shè)△B1B2B3的內(nèi)心為動坐標系原點o,與B1B2平行的方向為x軸方向,向右為正。垂直向里為y軸正,豎直向上為Z軸正。x,y,z與X,Y,Z三軸分別相互平行。

圖1 三平移并聯(lián)機構(gòu)

圖2 機構(gòu)運動簡圖及坐標系定義

并聯(lián)機器人正解就是根據(jù)三滑塊的位移s1,s2,s3,求出動坐標系上刀尖點在固定坐標系下的的坐標(x,y,z),即求(x,y,z)=F(s1,s2,s3)。

機構(gòu)運動學尺寸為:固定平臺三角形邊長l1=lD1D2=lD2D3=lD3D1,動平臺三角形邊長l2=lB1B2=lB2B3=lB3B1,連桿長度,即萬向節(jié)鉸鏈中心的距離l3=lA1B1=lA2B2=lA3B3,刀具加工點到萬向節(jié)鉸鏈中心所在平面的距離l4。

三滑塊萬向節(jié)鉸鏈中心Ai(xAi,yAi,zAi),i=1,3,在固定坐標系下的坐標可表示如下:

根據(jù)定長條件可得:

(1)

其中Bi(xBi,yBi,zBi),i=1,3為動平臺三個鉸鏈中心在固定坐標系O-XYZ下的坐標。

因為動平臺運動中始終水平,故zB1=zB2=zB3

又有△B1B2B3為等邊三角形,故

(xB1-xB2)2+(yB1-yB2)2=(xB2-xB3)2+(yB2-yB3)2

=(xB3-xB1)2+(yB3-yB1)2

刀尖點的坐標可以分別表示為

將Ai(xAi,yAi,zAi)和Bi(xBi,yBi,zBi)代入方程(1),可得(x,y,z)關(guān)于(s1,s2,s3)的方程如下:

設(shè)L=l1-l2,zB=zB1=zB2=zB3=z+l4,則上式可簡化為

(5)

式(2)+式(3)-2×式(4)化簡得:

(6)

展開化簡后得:

±分別對應(yīng)B點處于A點之上或之下的位置。如圖所示機構(gòu),B點處于A點之下,故取

(7)

將式(7)代入式(5)和式(6)即可求出x、y的值,從而求得三平移并聯(lián)機器人位置正解的解析式。

3 實驗驗證

實驗室中機器機構(gòu)運動學尺寸如下:

l1=371mm,l2=175mm,l3=406mm,l4=113mm

實驗開始,調(diào)整三軸在同一水平面內(nèi),即三滑塊初始位置s1=s2=s3=533mm;使Ⅰ軸滑塊往上運動20mm,Ⅱ軸滑塊往下運動20mm,Ⅲ軸不動。則初始和結(jié)束兩個狀態(tài)的計算結(jié)果如表1所示,實際測量結(jié)果如表2所示。

表1 正解計算結(jié)果

表2 實測結(jié)果

由表1、表2可以看出計算結(jié)果和實測結(jié)果基本符合,由于所用測量工具為卷尺,故存在一定誤差,但說明本論文的正解算法是正確的。

根據(jù)三平移并聯(lián)機器人位置正解的解析式,可以得到該并聯(lián)機器人的一些運動特性。

1) 當s1=s2=s3=s時,x=y=0,

說明若希望刀尖沿Z軸運動,只需使三滑塊同速同向運動,此時刀尖與三滑塊同速同向運動。

2) 當s1=s2時,由式(5)x=0。

說明當相鄰兩軸同高運動時,或該兩軸不動第三個軸單獨運動時,刀尖在固定坐標系下的投影沿Y軸方向運動,或者說在OYZ平面內(nèi)運動。

4 結(jié)語

論文首先用輸出點即刀尖點的坐標表示動平臺上三個鉸鏈點的坐標,再根據(jù)定長條件得到刀尖點坐標與輸入位移關(guān)系的三個方程,通過置換消元法,求得三平移并聯(lián)銑床刀尖點的位置坐標解析式,實驗結(jié)果驗證了解析解的正確性,并利用解析解得出了該機構(gòu)運動的一些運動特性。為該類型并聯(lián)機器人的實時反饋控制提供了理論依據(jù)。

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Analytic Positive Solution Algorithm of 3-d.o.f Translational Parallel Robot

MENG Yunhong1JIN Yi2HUANG Jin1

(1. School of Mechanics, Huazhong University of Science & Technology, Wuhan 430074) (2. Instrument Institute, Yangtze River Scientific Research Institute, Wuhan 430010)

The analytic expression of the positive solutions of mechanism position of the 3-PUU 3-d.o.f translational parallel robot is derived by kinematics modeling and the displacement elimination in this paper. The analytic positive solution algorithm is verified by the experiments, and used to obtained some movement characteristics of the mechanism, and provides theory basis for real-time feedback control of this type of parallel robot.

3-d.o.f translational, mechanism, parallel, robot, kinematics, positive solutions

2015年4月10日,

2015年5月29日

國家自然科學基金項目(編號:51275363)資助。

蒙運紅,女,博士,高級工程師,研究方向:機械設(shè)計及理論。金逸,男,高級工程師,研究方向:機械制造及工藝設(shè)備自動化。黃進,女,高級工程師,研究方向:機械制造及工藝設(shè)備自動化。

TP29

10.3969/j.issn.1672-9730.2015.10.017