全輪廓擬合懸滴法表面張力實驗系統

艾芳洋，畢勝山，吳江濤

(西安交通大學 熱流科學與工程教育部重點實驗室，陜西 西安 710049)

全輪廓擬合懸滴法表面張力實驗系統

艾芳洋，畢勝山，吳江濤

(西安交通大學 熱流科學與工程教育部重點實驗室，陜西 西安 710049)

摘要：研制了懸滴法表面張力實驗系統，溫度測量范圍為283.15~323.15 K，溫度測量誤差不超過±0.5 K. 采用輪廓擬合法對表面張力進行計算，在VC++環境下分別用坐標輪換法和Nelder-Mead單純形法進行了編程實現. 利用正庚烷和乙醇對實驗系統進行校驗,結果表明：2種物質的表面張力實驗值與文獻值偏差在±0.2 mN·m-1以內，坐標輪換法和Nelder-Mead單純形法的計算結果一致.

關鍵詞：懸滴法；輪廓擬合；表面張力

1引言

表面張力是流體的重要熱物理性質之一，也是描述表面現象的最主要的物理量. 由于表面現象在石油化工、能源動力及生命科學等領域的廣泛存在，準確的表面張力數據已經成為在這些領域開展研究工作必不可少的基礎數據. 在表面張力的諸多實驗測量方法中，懸滴法具有測量精度高、浸潤性要求低、樣品用量少、適用溫度及壓力范圍大等諸多優點.

懸滴法測量表面張力的理論基礎是Young-Laplace方程[1-2]，它描述了被界面分開的2種均質流體所處的靜力平衡關系. 1883年，Bashforth和Adams推導出了處于表面張力和重力平衡時的懸滴輪廓外形的理論方程[3]. 基于此方程，Andreas于1938年提出了選擇平面法[4]，這一方法通過選擇懸滴的特征平面來定義形狀因子，并通過查表的方法得到相關參量，最終計算出表面張力. 選擇平面法只需要2個特征平面的尺寸，操作簡單，但精度較差. 隨著數字計算技術的發展，全輪廓擬合懸滴法得到快速發展. 1969年，Maze和Burnet[5]開發了用于計算座滴的表面張力和接觸角的數值算法，并通過定義目標函數進行參量的尋優，這一處理思路被廣泛借鑒. 1983年，Rotenberg等[6]提出了軸對稱液滴形狀分析法(ADSA)，對圖像處理方法及優化算法都進行了改進，使用C語言編寫的計算程序具有良好的操作性和可移植性，使得該方法的應用成果十分豐富. 此外，懸滴法的處理方法還有基于有限元分析的γ-PD-FEM算法[7]以及Song和Springer[8]、Thiessen[9]等人提出的算法. 國內有關懸滴法表面張力測量的研究與國際水平有著一定的差距，且主要集中在對商業懸滴法表面張力設備的應用上. 高樹棠等[10]利用微懸滴法測定了某些體系的低界面張力，吳愛民等[11]利用懸滴法對高分子熔體界面張力進行了測量，宋瑛等[12]利用懸滴法對8個二元液液系統的表面張力進行了研究，討論了界面張力與溫度之間的關系.

本文在對懸滴法表面張力實驗原理進行研究的基礎上，在C++語言平臺，開發了全輪廓擬合法表面張力算法程序，研制了懸滴法表面張力實驗系統，對實驗系統進行了檢驗和誤差分析.

2實驗原理

經典的Young-Laplace方程給出了被一界面分開的2種均質流體所處的靜力平衡關系，即

(1)

在表面張力和重力作用下，液滴成拉伸狀態，如圖1所示. 對懸滴輪廓線上任意一點，由曲率半徑幾何和靜力平衡關系，推導得到Bashforth-Adams方程：

(2)

其中，x和z分別為橫縱坐標，s為弧長，Δρ為懸滴界面密度差，θ為懸滴表面某點切線與X軸的夾角，R0為懸滴端點處的曲率半徑，g為重力加速度.

圖1　懸滴外形幾何示意圖

用R0對x，z和θ進行無量綱化，即

(3)

代入式(2)，可得：

(4)

其中β為定義的懸滴形狀因子，表示為

(5)

由圖1又可以得到幾何關系：

(6)

式(4)和式(6)組成了關于輪廓點無量綱坐標的方程組，對于給定的R0和β，求解方程組，可以得出懸滴的理論曲線. 對式(5)變形可以得到表面張力γ的計算式：

總之，在網絡技術的驅動下，實現倒逼新聞傳播教育的轉型與創新，無論從培養目標的設定，還是從教學體系的構成和具體教學內容的設計上，抑或是在實踐教學條件的建設和教學方法的更新上，都需要摒棄老觀念老方法，要有“壯士斷腕”的氣概，才能讓我們的教育不負時代，不負使命。

(7)

式中，Δρ和g視為已知參量，R0和β通過全輪廓擬合獲得，從而獲得表面張力.

3全輪廓擬合法

對于式(4)和式(6)組成的方程組，目前并沒有方法可以求得其解析解，本文采用四階Runge-Kutta法進行數值求解，所得數值解即為懸滴的理論輪廓曲線[13]. 另一方面，將實驗所得的懸滴圖像進行圖像處理，提取邊緣之后便得到懸滴的實際輪廓曲線. 懸滴理論輪廓曲線與實際輪廓曲線不是完全重合的，將二者的差值定義為目標函數，對此目標函數進行優化求出最優的R0和β參量值，代入式(7)中便可求得表面張力值. 目標函數的定義是選用懸滴全輪廓上的數據點，區別于選擇平面法選取某幾個特殊點的處理方法，因而本文的處理方法稱為全輪廓擬合法，其處理流程如圖2所示，下面將分步驟介紹.

3.1　圖像處理

獲得懸滴圖像之后需要通過圖像處理來獲取實際輪廓曲線. 圖像處理過程分為：平滑濾波、邊緣檢測、邊緣銳化以及坐標提取與變換. 其中，平滑濾波用于去除噪點；邊緣檢測使用Canny算子[14]，Canny算子能夠很好地兼顧抑制噪聲和邊緣的精確定位；邊緣銳化使得邊緣更加規整、清晰. 如圖3所示.

由于所得到的邊緣圖像是數字圖像，數字圖像的處理是從圖像的左上角開始，并逐行逐像素進行，也就是說數字圖像的坐標原點位于圖像的左上角. 要便于下一步的目標函數構造及擬合計算，必須得到以液滴端點為坐標原點并按逆時針次序排列的輪廓坐標，于是便需要進行輪廓坐標的排序與變換. 此外，所得數字圖像的坐標值為像素坐標(pixel)，必須通過設定以中間標尺來進行坐標尺度變換，將像素坐標變換為實際尺寸坐標(mm). 最后，將經過以上處理所得的實際輪廓坐標存儲在預先定義好的數組中. 輪廓坐標的排序與變換過程如圖4所示.

3.2　目標函數構造

通過解方程組得到懸滴的理論輪廓曲線u(xi，zi)，通過圖像處理得到了懸滴的實際輪廓U(Xi，Zi)，如圖5所示，u(s)與U(s)并不重合. 定義ei為單個點的誤差函數：

圖2　懸滴法的處理流程

(a)原圖　　　　　　　(b)平滑濾波圖

(c)邊緣檢測圖　　　　(d)邊緣銳化圖圖3　懸滴的邊緣檢測

(a)　　　　　　　　　　(b)

(c)　　　　　　　　　　(d)圖4　輪廓坐標的排序與變換

圖5　理論曲線與實驗點的關系

(8)

于是，全輪廓的誤差函數為

(9)

其中，wi為權重因子，一般設定為1. E是關于形狀因子β、端點曲率半徑R0、端點坐標(x0,z0)及圖像偏轉角α的函數. 以E為目標函數進行的優化是5參量優化，且由于包含輪廓的全部坐標點，計算量較大. 本文通過對端點坐標進行準確定位，能夠在優化計算之前將(x0,z0)設為常量，通過設置鉛垂線進行角度校準，將偏轉角α設為0°，因而本文的目標函數是關于β和R0的函數，即

(10)

由于懸滴輪廓的對稱性，一般選取右半輪廓上的點進行目標函數的構造，這一處理不會影響最終的計算結果，且能將計算效率提高1倍以上.

3.3　優化算法

目標函數的優化問題是多維無約束最優化問題，解決這一類問題的方法主要有直接法和間接法2類. 直接法直接用函數值來確定搜索方向；間接法需要通過計算函數的一階或二階導數值來確定搜索方向. 直接法不需要對導數和Hessian矩陣進行求解，因而具有更強的適應性，但是維數較高時其收斂速度相對較慢. 本文目標函數是二維函數，使用直接法計算是完全適用的. 本文使用坐標輪換法及Nelder-Mead單純形法來進行優化求解，對2種算法都在VC++環境下進行了編程實現.

3.3.1坐標輪換法

坐標輪換法，就是把對n個變量進行尋優轉化為交替輪換地進行單變量尋優. 選擇初始點X0作為搜索的起點，依次在各個維度進行搜索，每次都設定1個參量為變量，其他各個參量均為常量. 一輪循環結束后，判斷是否滿足設定的收斂條件，若滿足則輸出并結束循環，不滿足則以本輪的搜索結果為起點開始下一輪的循環，直至滿足收斂條件為止.

3.3.2Nelder-Mead單純形法

1個單純形就是1個幾何體，在二維情況下的單純形就是1個三角形[15]. 單純形法就是通過反射、擴張、收縮和多維收縮這幾個基本步驟不斷地對初始單純形進行處理，直至滿足設定的收斂條件. 迭代的終止條件是單純形各個頂點函數值的離差是否小于某一設定的極小值ε，即

(11)

坐標輪換法與Nelder-Mead單純形法的參量預估值均由選擇平面法計算得到，選擇平面法是懸滴法的一種非擬合算法，具體計算過程可參見相關文獻[4].

4實驗系統

圖6所示為懸滴法實驗系統的基本組成，包括實驗平臺、光源、散光片、懸滴形成裝置、鏡頭、相機和計算機等.

圖6　懸滴法實驗系統

實驗平臺是整個實驗系統的基座，一般由表面平整度高且可準確調節水平度的光學平臺充當.

自然光照條件下所拍攝的液滴一般不夠清晰，光源與散光片共同為懸滴提供背景光，使得拍攝到的液滴圖像與背景具有強烈的對比度，便于之后的圖像處理. 光源由艾菲特光電技術有限公司提供，型號為AFT-BL50.

鏡頭與相機作為整體，用來進行液滴圖像的采集. 相機與計算機相連接，計算機上安裝有與相機相配的圖像采集卡及采集軟件. 使用的相機為最大可達1 400萬像素的CMOS相機MV-1400UC，由維視數字圖像技術有限公司提供.

液滴形成部分的裝置包括注射器、平頭針、石英比色皿等，這一部分集成在恒溫室中. 液滴在不銹鋼平頭針針口處形成，平頭針插入密封的石英比色皿中，而比色皿則置于恒溫室的中心. 恒溫室由內至外分別是循環液回路、保溫材料和外殼，其中循環液回路由導熱性能良好的銅管構成，循環液通過導管由外接的恒溫槽導入并進行循環以控制整個恒溫室的溫度. 外循環采用上海衡平儀器儀表廠生產的低溫恒溫槽進行控溫，型號DC-4006，溫度波動度±0.05 K. 采用銅-康銅溫差電偶作為測溫元件，以Agilent 34970A數據采集器作為測溫儀器，溫度測點布置在最接近懸滴溫度的不銹鋼針針口處. 實驗前，對銅-康銅溫差電偶和Agilent 34970A組成測溫系統在Fluke 7073型恒溫槽中在10~80 ℃溫度范圍內進行了標定，標定后的溫度測量不確定度小于±0.5 K.

5系統校驗與誤差分析

5.1　系統校驗

利用正庚烷和乙醇進行了實驗系統的校驗，分別用坐標輪換法和單純形法進行計算. 計算結果如表1所示. 表中的γexp代表實驗中各種方法的計算值，γref代表作為參考的實驗值，通過NIST REFPROP 9.0[16]獲得. 用于計算的密度數據同樣來源于NIST REFPROP 9.0.

表1　正庚烷及乙醇的實驗結果

5.2　誤差分析

DC-4006低溫恒溫槽的溫度波動度為±0.05 K，銅-康銅溫差電偶與Agilent 34970A數據采集器組成的測溫系統的測溫不確定度為±0.5 K. 對于一般的待測物質，溫度變化1 K所引起的表面張力變化小于0.2 mN·m-1，故因溫度測量引起的誤差應小于0.11 mN·m-1. 對于本文所測量物質的表面張力范圍(γ<50 mN·m-1)，此項的相對誤差小于0.3%.

根據表面張力的計算式(7)和誤差傳遞原理[17]可以得到表面張力的相對誤差公式：

(12)

6結論

研究了懸滴法表面張力的測量方法，確定了懸滴法中的平滑濾波-Canny算子邊緣檢測-邊緣銳化的圖像處理過程以及邊緣坐標提取方法以及目標函數的構造方法. 利用坐標輪換法和單純形法2種輪廓擬合算法實現了對目標函數的尋優. 正庚烷與乙醇的實驗結果顯示，2種方法的計算結果具有較好的一致性，單純形法的計算效率更高. 設計了懸滴法表面張力實驗系統，系統的溫度測量范圍是283.15~323.15 K，溫度測量誤差不超過±0.5 K. 通過誤差分析確定實驗系統測量的相對誤差小于±1.2%. 用正庚烷和乙醇對實驗系統進行了校驗，實驗結果顯示：系統具有較好的穩定性，測量的正庚烷及乙醇表面張力值與文獻值偏差均在0.2 mN·m-1以內.

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[責任編輯：任德香]

Surface tension experiment system with full-profile fitting pendent drop method

AI Fang-yang, BI Sheng-shan, WU Jiang-tao

(Key Laboratory of Thermal Fluid Science and Engineering of Ministry of Education, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

Abstract:A surface tension experiment system using full-profile fitting pendent drop method was built. The system could work at temperatures ranging from 283.15 to 323.15 K and its uncertainty of temperature measurement was better than ±0.5 K. The full-profile fitting was implemented with coordinate alternation method and Nelder-Mead simplex method with VC++. The surface tensions of n-heptane and ethanol were measured with this system. The deviations between experimental data and literature data were less than 0.2 mN·m-1, which proved the reliability and stability of the system. Besides, the analysis of experimental data suggested that both coordinate alternation method and Nelder-Mead simplex method had good convergence and the latter was more computationally efficient.

Key words:pendent drop method; full-profile fitting; surface tension

中圖分類號：O552.421

文獻標識碼：A

文章編號：1005-4642(2015)05-0001-06

作者簡介：艾芳洋(1989-)，男，湖北崇陽人，西安交通大學能源與動力工程學院碩士研究生,研究方向為表面張力.通訊聯系人：畢勝山(1978-)，男，遼寧興城人，西安交通大學能源與動力工程學院副教授，博士，主要從事熱力學及流體熱物性研究.

基金項目：國家自然科學基金(No.51276142)；中央高校基本科研業務費專項資金(No.08143036)

收稿日期：2014-09-16；修改日期：2015-03-20