迭代的星-Lindel?f空間在映射下像與原像的性質

鄒春玲（吉林師范大學　數學學院，吉林　四平　136000）

迭代的星-Lindel?f空間在映射下像與原像的性質

鄒春玲
（吉林師范大學數學學院，吉林四平136000）

摘要：本文主要研究了迭代的星-Lindel?f空間在映射下像與原像的性質包括迭代的星-Lindel?f空間的空間在連續映射和完備映射下的像與原像的性質.

關鍵詞：迭代的星-Lindel?f空間；連續映射；完備映射

一個空間X叫做n-星-Lindel?f的，如果對于X的每一個開覆蓋U，存在X的一個可數子集F，使得Stn（F，U)=X.當n=1時，空間X簡稱為星-Lindel?f空間.

引理1 n-星-Lindel?f空間的連續像是n-星-Lindel?f的.

證明設X為n-星-Lindel?f空間，f為X到上的一個滿映射，U為Y的一個開覆蓋，則V=｛f-1（U):U∈U}是一個X的開覆蓋.由于X是n-星-Lindel?f的，故存在X的一個可數子集A，使得St（A，V)=X，則f（A)為Y的一個可數子集，且St（f（A)，U)=Y.事實上，?y∈Y，x∈f-1（y)，則存在V∈V，使得V∩A≠?，且x∈V，所以y∈f（x)∈f（V)∈U，且f（V)∩f （A)≠?，即y∈St（f（V)，U)，所以，Y為n-星-Lindel?f 的.

定理2設X、Y是兩個拓撲空間，f是X到Y上的連續滿映射，若X是（n，k)-星-Lindel?f空間（其中n∈N，k∈N），則Y是（n，k)-星-Lindel?f的.

證明令U是Y的一個開覆蓋，則V=｛f-1（U): U∈U}是一個X的開覆蓋.因此，存在X的一個n-星-Lindel?f子空間A，使得Stk（A，V)=X.由引理1，則f（A)是n-星-Lindel?f的.

可斷言St（f（A)，U)=Y.事實上，?y∈Y，選取x∈f-1（y)，由于X是（n，k)-星-Lindel?f的，則存在{f-1（U1)，…，f-1（Uk)}，使得x∈f-1（U1)，對于每個i＜k，有f-1（Ui)∩f-1（Ui+1)≠?，且f-1（Ui)∩A≠?.由此斷定對于每一個y∈U1，i＜k，有Ui∩（A)≠?，Ui∩Ui+1≠?.因此，y∈Stk（f （A)，U)，故Y是（n，k)-星-Lindel?f的.

證明令U是X的一個開覆蓋.因為對于每個y∈Y，所以f-1（y)是緊的，則可選取一個有限子族Uy={Uy，1，…，Uy，k，…，Uy，ky}，使得f-1（y)?∪Uy且Uy的每個元與f-1（y)相交.

因為f是一個開映射，所以集合Oy=f（Uy，1)∩…∩f（Uy，ky)是y的一個開鄰域.又因為f是一個閉映射，所以存在y的一個開鄰域Vy使得Vy?Oy且f-1（y)?∪Uy，則V={Vy，y∈Y}是Y的一個開覆蓋.

令B={Uy1，1，…，Uym，ky1，…，Uym，km}，

任取x∈X，令y=f（x)，有yi*∈{y1，…，ym，…}和一個序列z1，…，zn∈Y，使得y∈Vz1，Vz1∩Vz2≠?，…，Vzk∩Vy1*≠?.由集合Vz的定義，可知：

Vz∩Vt≠???i≤kz，?j≤kt，Uz，i∩Ut，j≠?.

因此可找到i1≤kz1，…，in≤kzn，in+1≤ky1*，使x∈Uz1，j1，Uz1，j1∩Uz2，j2≠?，…，Uzn，jn∩Uyi*，jn+1≠?.因為Uyi*，jn+1∈B，故x∈Stn（∪B，U)z.

證明令U是X的一個開覆蓋.對于每個y∈Y，因為f-1（y)是緊的，所以存在一個有限子族Uy?U，使得Uy的每個元與f-1（y)相交.因為f是開的，所以Oy=∩Uy是y的一個開鄰域.

定理5設X為Hausdorff空間，Y是（1，1)-星-Lindel?f空間，f是X到Y上的完備開映射，則X是（1，1)-星-Lindel?f的.

證明令U是X的一個開覆蓋且y∈Y.因為f-1（y)是緊的，所以存在U的一個可數子集族Uy，使得f-1（y)?∪Uy，且Uy的每個元與f-1（y)相交.因為f是開的，所以Oy=∩{f（U):U∈Uy}是y的一個開鄰域.

由f的連續性及閉性，存在y的一個開鄰域Vy，使得Vy?Oy和f-1（Vy)?∪Uy，則V={Vy:y∈Y}是Y的一個開覆蓋.由于Y是（1，1)-星-Lindel?f空間，存在Y的一個星-Lindel?f子空間A，使得St（A，V) =Y.令B=f-1（A)，類似引理3的證明可知B是星-Lindel?f的.

可斷定St（B，U)=X.事實上，令x∈X，則存在Vy∈V，使得f（x)∈Vy且Vy∩A≠?.由Vy的構造，則存在U∈Uy，使得x∈U.因為Vy?f（U)，有U∩f-1（A) ≠?，所以x∈St（B，U).因此X是（1，1)-星-Lindel?f 的.

作為定理5的推廣，得到了下面的結果：

推論6設X為Hausdorff空間，Y是（1，k)-星-Lindel?f空間，f是X到Y上的完備開映射，則X是（1，k)-星-Lindel?f的.

證明令U是X的一個開覆蓋.因為f是開的，所以V={f（U):U∈U}是Y的一個開覆蓋.因為Y 是n-星-Lindel?f的，所以存在Y的一個可數子集F，使得Stn（F，V)=Y，則A=f-1（F)是k-星-Lindel?f的.

可斷言Stn（A，U).事實上，令x∈X，f（x)=y，則存在一個V的可數子族{V1，…，Vn}，i＜n，有y∈V1，Vi∩Vi+1≠?，且Vi∩F≠?.令Vi=f（Ui)，則對于i＜n，有x∈U1，Ui∩A≠?，且Ui∩Ui+1≠?，所以x∈Stn（A，U)，因此X是（k，n)-星-Lindel?f的.

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中圖分類號：O189

文獻標識碼：A

文章編號：1673-260X（2015）10-0017-02