分布式控制系統穩定性分析及控制器設計

田飛龍，郭迎清，姜彩虹

（1.西北工業大學動力與能源學院，西安710072；2.中航工業沈陽發動機設計研究所，沈陽110015）

分布式控制系統穩定性分析及控制器設計

田飛龍1，郭迎清1，姜彩虹2

（1.西北工業大學動力與能源學院，西安710072；2.中航工業沈陽發動機設計研究所，沈陽110015）

針對存在總線通信時延和掉包的航空發動機分布式控制系統，分別進行了時延和掉包情況下的系統建模和穩定性分析；利用增廣離散化方法將時延系統轉化為增廣無時延模型，利用迭代方法將數據掉包建模為一定掉包界內的切換系統；分別提出時延和掉包條件下系統的穩定性條件，并通過求解線性矩陣不等式確定系統輸出反饋控制增益；最后比較了基于保持輸入和重構增益的2種掉包補償措施。研究結果表明：采用基于時延的反饋控制增益設計和重構增益掉包補償措施，可以保證分布式發動機控制系統的穩定性并獲得最佳性能。

分布式控制；時延；掉包；建模；穩定性；線性矩陣不等式；航空發動機

0 引言

集中式發動機控制系統面臨著減重、提升性能、節約成本等更高要求。未來發動機控制系統將會是基于總線通訊的分布式系統結構，傳感器和執行機構轉變為智能節點，通過總線與控制器相連，在分布式控制結構中應用先進控制技術，能有效實現減重、提升性能以及降低成本的目標[1-3]。

分布式控制系統的性能顯著依賴于通信總線的性能[4]?？偩€采用串行數據傳輸，將會在傳感器/執行器節點和控制器間引入通信時延；同時，網絡故障、節點瞬時失效可能會引起數據掉包。時延和掉包會降低系統性能，嚴重情況下甚至會使系統失穩。

本文利用Lyapunov穩定性定理和線性矩陣不等式LMI（Linear matrix inequality）方法，對存在時延和掉包的分布式控制系統的穩定性進行分析，并設計了時延和掉包情況下系統反饋增益。

1 航空發動機分布式控制系統描述

分布式發動機控制系統結構如圖1所示。設傳感器和執行機構為智能節點，通過總線和控制器通信[5]。傳感器、執行器同控制器間的網絡誘導時延分別為τSC、τCA，控制器的計算時延為τC；開關S1、S2、S3、S4分別表示網絡的正常通信或數據發生掉包情況。

圖1 具有時延和掉包的分布式控制系統描述

做以下幾點假設：

（1）如果接收端未成功接收到數據，發送端將重發數據。在最大允許重發次數內，若數據未發送成功，將會掉包；如果在連續多個周期內數據掉包，則假定已知最大允許掉包數為ηmax；

（2）傳感器和執行器為時間觸發?？刂破鳛槭录|發，即當控制器接收到所有傳感器數據后進行控制律計算，系統總時延依賴于傳感器到執行器端的觸發時間；

（3）數據包單包傳輸，帶有時間戳，無時序錯亂，掉包時，假定所有傳感器數據xi或控制輸入ui均掉包；

（4）若執行器在預定時間點未收到控制輸入數據包，將保持當前位置直到下個采樣周期；

（5）網絡中任意節點發生故障或傳輸錯誤時，通過總線向其他節點發送錯誤幀，采取一定補償措施。

2 存在時延的輸出反饋控制設計

2.1 時延系統建模

連續線性狀態空間模型為

式中：x（t）∈Rn，y（t）∈Rq，u（t）∈Rp，分別為系統狀態；輸出和輸入分別為適維矩陣。

分布式發動機控制系統將采用具有較高帶寬的時間觸發總線協議[6]，如ARINC825、TTP/C等。本文選擇時間觸發CAN總線作為備選總線[7-8]，數據包傳輸時延具有確定性，CAN總線最高支持1 Mbps帶寬，因此能保證時延小于1個采樣周期。

設采樣周期為h，對于存在時延的離散系統，第k周期的總時延為τk=τSC+τC+τCA，由假設2，可以將總時延τk建模為定常時延τ。因此，對于時延τk＜h，在1個采樣周期內[kh,（k+1）h]，控制輸入可以表示為

對系統式（1）進行離散化，代入式（2）得離散化后的系統為

基于輸出反饋增益K的控制輸入為

則閉環系統可以寫成

通過定義新的狀態變量z（k），可以將狀態空間離散時延控制系統轉換為增廣的無時延控制系統

2.2 時延系統穩定性分析

引理1：對于一般離散系統，由李亞普洛夫穩定性定理可知，如果存在1個正定矩陣P，使得下面線性不等式成立，則系統漸近穩定，這是1個充分必要條件[18]。

引理2：如果存在正定矩陣Q和V，使得下面線性不等式成立，則系統穩定，與引理1等效[9]。

具有如下輸出反饋增益K的閉環系統可保持漸近穩定

由引理1和引理2可證，不再贅述。通過求解定理1的線性矩陣不等式[10]，可以得到時延情況下，保證發動機分布式控制系統漸近穩定輸出反饋增益。

3 存在掉包的輸出反饋控制設計

3.1 存在掉包的系統建模

時間觸發總線協議保證每個節點在預定時間槽發送數據，能減少數據沖突引起的掉包，但節點的瞬時故障、數據損壞、傳輸錯誤或編碼/解碼錯誤也會引起數據掉包[11]。數據掉包是1個隨機事件，建立系統動態模型較為困難。在網絡控制系統 NCS（Network Control System）研究中，常利用最大連續掉包界對數據掉包進行描述；或假設數據掉包率一定，利用具有事件率約束的異步動態系統的穩定性結論分析閉環系統的穩定性[12-15]。因為事先無法確切知道總線掉包率，所以采用事件率約束的異步動態系統建模方法具有局限性。

為了界定故障狀態，CAN總線每個節點都設有錯誤計數器，當連續檢測多個發送或接收錯誤時，節點進入相應的錯誤主動、錯誤被動、總線關閉狀態，并發送錯誤幀告知其它節點。因此，連續掉包界的假定更符合總線錯誤處理機制的特征。本文假定已知最大連續掉包上界ηmax，通過迭代方法將系統建模為有界掉包內的切換系統。

傳感器-控制器S-C和控制器-執行器C-A間發生掉包的情況如圖1所示。可能有4種情況：

（1）S1S3：無掉包發生；

（2）S2S3：S-C間掉包，C-A正常；

（3）S1S4：S-C間正常，C-A掉包；

（4）S2S4：S-C間掉包，C-A掉包。

設ηs為S-C間的連續掉包數，ηa為C-A間的連續掉包數，可知，S-C的數據掉包引起的時延反映在測量輸出上為

C-A的數據掉包引起的時延反映在控制輸入上為

將以上4種掉包情況統一建模為

不失一般性，假定含x（0）的數據包成功傳遞給控制器端，且C-A間無掉包，則

如果無掉包發生，則

定義1個新的序列

則式（19）可以寫成如下切換系統

式中：j=1，2，…；i∈{1，2…ηmax}。

3.2 存在掉包系統穩定性分析

引理3：如果存在對稱正定矩陣P，使得下面線性不等式成立，則系統式（21）漸近穩定。

由引理1和Schur補引理[16]可證，不再贅述。

定理2：如果存在1個對稱正定矩陣Q∈Rn×n，矩陣W∈Rn×n，滿足以下線性矩陣不等式

對于i=1，2，…ηmax，有

則具有如下輸出反饋的閉環系統式（21）可保持漸進穩定

利用引理3作等價代換即可證得定理2[16]，不再贅述。因此，通過求解矩陣不等式（23），可以確定一定掉包界下保持系統漸近穩定的反饋控制增益。

4 仿真及結果分析

4.1 存在時延系統仿真分析

以某渦扇發動機在高度H=0、馬赫數Ma=0、最大狀態時的發動機增量式歸一化線性模型為對象，其中，控制量為燃油流量Wf尾噴管面積A8，被控量為低壓轉子轉速NL和高壓轉子轉速NH，初始條件為x（0）=[0.1 -0.1]T，系統各矩陣如下

由于輸出矩陣C為單位矩陣，因此，系統輸出反饋與狀態反饋等效，后面分析計算中均采用狀態反饋增益。

采樣周期h=20 ms，系統離散化后，通過最優二次型（LQR）方法設計的反饋增益為Klqr，時延為τ=15ms時，利用定理1求解反饋增益Kd?？梢姰敶嬖跁r延時，Klqr對應的系統初始狀態響應出現振蕩，而采用Kd可以使其迅速達到穩定狀態，并保證系統的性能，如圖2所示（圖中NL和NH分別代表XNLC和XNHC）。

圖2 Klqr和Kd對應的系統初始響應

4.2 數據掉包及其補償措施仿真分析

如4.1節所述，在分布式發動機控制系統中除了存在通信時延，還會發生數據掉包。針對數據掉包，若不采取一定的補償措施，系統將出現性能衰退，甚至不穩定，常用的掉包補償方法有2種。

（1）保持輸入：在發生掉包時采用保持輸入策略，即針對4.1節所設計的時延條件下系統增益Kd發生掉包時，控制輸入u采用上一刻的值；

（2）重構控制增益：控制器采用定理2設計新的增益Kr，由于掉包發生是任意的，因此在每個采樣周期，控制器利用Kd和Kr分別計算的控制輸入u和uη都傳輸給執行器并存儲。在正常通信時，執行器采用u作為輸入，若執行器檢測到S-C或C-A間發生通信故障時（總線具有廣播特性，任一節點故障都會被其它節點檢測到），則切換到uη值，使系統在最大連續掉包界，即ηmax×h的時間內保持穩定并減少性能衰退。同時，在CAN協議中，1個數據包可以打包4個2位的數據，因此方法（2）不會增加總線的負載。

當ηmax=5時，利用定理1求得Kd，利用定理2求得控制增益Kr，采用方法1和方法2的補償措施如圖3所示。從圖中可見，方法2能改善系統的性能。

圖3 ηmax=5時，2種補償措施比較

當系統掉包嚴重（如圖4所示）時，方法1對應的系統性能出現明顯衰退，而方法2依然能很好地保持系統的性能，證明了方法2的優越性。

進一步提高連續掉包上界，當ηmax=10，通過仿真發現，若采用方法1，則系統不再穩定。利用定理1重新設計控制器增益Knew。并比較分別采用反饋增益Kr（ηmax=5）和Knew的系統初始響應，如圖5所示。從圖中可見，Knew的控制效果優于Kr，證明了方法2的正確性。

圖4 ηmax=5，掉包嚴重時2種補償措施比較

圖5 ηmax=10，Knew和Kr對應系統狀態響應

5 結論

針對航空發動機分布式控制系統中存在的通信時延和數據掉包問題分別進行了系統建模、穩定性分析以及相應補償措施研究，得到以下結論：

（1）通過求解LMI得到的反饋控制增益可以有效保證時延條件下系統的穩定性；

（2）比較2種應對掉包的補償措施，重構增益方法比保持輸入方法具有優越性；

（3）重構增益方法在頻繁掉包或長時間連續掉包情況下能保證系統的穩定性，改善系統性能。

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（編輯：趙明菁）

Controller Design and Stability Analysis for DCS with Communication Delay and Packet Dropout

TIAN Fei-long1，GUO Ying-qing1，JIANG Cai-hong2
（1.School of Power and Energy，Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710072，China;2.AVIC Shenyang Engine Design and Research Institute，Shengyang 110015，China）

System modeling and stability analysis were implemented for the distributed engine control system with communication delay and packet dropout respectively.Deterministic augmented discrete-time approach was adopted to convert the time delayed system into augmented discrete-time model.The bounded data dropout system was modeled as a switching system with an iterative method.Stability conditions were presented for the proposed control system under the presence of network-induced time delay and random data loss.The output feedback gains were obtained by solving linear matrix inequalities.Finally,a performance comparison was presented between holdinput and reconfigurable data loss compensation strategy.It is shown that the optimum overall performance of the distributed engine control system was obtained when the controller was designed based on networked induced time delay with a reconfigurable data loss compensation strategy.

distributed engine control；time delay；packet dropout;modeling；stability；linear matrix inequality；aeroengine

V 233.7

A

10.13477/j.cnki.aeroengine.2015.05.008

2014-09-27 基金項目：先進航空發動機技術研究計劃資助

田飛龍（1989），男，碩士，研究方向為航空發動機分布式控制；E-mail:tianfeilong0@163.com。

田飛龍，郭迎清，姜彩虹.分布式控制系統穩定性分析及控制器設計[J].航空發動機，2015，41（5）：38-42.TIAN Feilong，GUO Yingqing，Jiang Caihong.Controller design and stability analysis forDCSwith communication delayand packet dropout [J].Aeroengine，2015，41（5）：38- 42.