Buck變換器拓?fù)渲笖?shù)改進(jìn)算法及脆弱性分析

鮑春明，王春芳

（青島大學(xué) 自動(dòng)化工程學(xué)院，山東青島266071）

0 引 言

脆弱性研究是全球變化及可持續(xù)性科學(xué)領(lǐng)域關(guān)注的熱點(diǎn)問題和重要的分析工具，隨著脆弱性研究受到越來越多的關(guān)注，對脆弱性的概念和評價(jià)方法的研究日益深入［1］。脆弱性這一概念源于對自然災(zāi)害的研究，在地學(xué)領(lǐng)域Timmer man P.（1981）首先提出了脆弱性的概念。目前脆弱性這一概念已被應(yīng)用到很多研究領(lǐng)域，例如：災(zāi)害管理、生態(tài)學(xué)、公共健康、氣候變化、土地利用、可持續(xù)性科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)等。

在電力系統(tǒng)領(lǐng)域，電力系統(tǒng)脆弱性是用來描述系統(tǒng)在正常運(yùn)行情況或各種隨機(jī)因素的作用下系統(tǒng)承受干擾或故障的能力及系統(tǒng)不能維持正常運(yùn)行的可能趨勢及其影響［2］。專家學(xué)者們提出了各種各樣的理論和模型來研究系統(tǒng)的脆弱性，包括：有向圖矩陣分析法［3］、風(fēng)險(xiǎn)分析法［4］、故障鏈理論基礎(chǔ)分析法［5］等。分子拓?fù)渲笖?shù)理論是建立在圖的不變量基礎(chǔ)之上的。它試圖以這個(gè)拓?fù)洳蛔兞颗c分子的理化性質(zhì)及生物分子的活性建立某種對應(yīng)關(guān)系［6］。

文獻(xiàn)［7］基于拓?fù)渲笖?shù)進(jìn)行電網(wǎng)結(jié)構(gòu)評價(jià)，利用拓?fù)渲笖?shù)的結(jié)論，分析了高壓、中低壓網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與性能之間的關(guān)系。文獻(xiàn)［8］試圖將拓?fù)渲笖?shù)計(jì)算模型引入到Buck變換器中來，具體方法是以拓?fù)渲笖?shù)找到Buck中的脆弱源，從而對Buck變換器做好穩(wěn)定性保護(hù)，但是并沒有考慮到電力電子拓?fù)涞拈_關(guān)狀態(tài)和占空比等特點(diǎn)，計(jì)算過程較為粗糙和簡易。

本文首先介紹了拓?fù)渲笖?shù)的有關(guān)概念和結(jié)論，在拓?fù)渲笖?shù)和脆弱性概念的基礎(chǔ)上，改進(jìn)了Buck變換器拓?fù)渲笖?shù)的計(jì)算方法，通過對Buck變換器在連續(xù)工作模式（CCM）下的廣義拓?fù)渲笖?shù)的計(jì)算，分析了它們的脆弱性，使得Buck變換器的脆弱性能夠定量計(jì)算和分析。

1 拓?fù)渲笖?shù)及物理意義

1.1 基本概念［9，10］

定義1：K級非連接數(shù)P（G，K）

設(shè)邊集合E有a條邊，則K條邊的子集總共有CKa個(gè)。在這些子集中，非鄰接子集的數(shù)目稱為集合E的K級非相鄰連接數(shù)，記為P（G，K），并規(guī)定P（G，1）＝a（a是圖中邊的數(shù)目）。

定義2：拓?fù)渲笖?shù)TI（G）

圖G的拓?fù)渲笖?shù)，邊集合E的所有子集中，非鄰接子集的數(shù)目（子集中所有邊都非鄰接），記為TI（G）。

式中，m＝|V|／2（|V|為偶數(shù)時(shí)）；m＝（|V|-1）／2（|V|為奇數(shù)時(shí)），|V|是節(jié)點(diǎn)的數(shù)目。

可以用圖1來說明如何根據(jù)定義2計(jì)算一個(gè)已知圖的拓?fù)渲笖?shù)。

圖1 拓?fù)渲笖?shù)的計(jì)算示例圖

如圖1所示，該圖有5個(gè)節(jié)點(diǎn)（v1，v2，v3，v4，v5），則|V|＝5；有8條邊（ea，eb，ec，ed，ee，ef，eg，eh），即|E|＝8。與圖1所對應(yīng)的非鄰接矩陣如公式（2）所示，行和列分別代表圖1中的8條邊，矩陣中的元素為1表示的是對應(yīng)的邊不相鄰，為0表示的是相鄰。

由圖1和公式（2）可得，m＝（|V|－1）／2＝2，P（G，1）＝8，P（G，2）＝10，P（G，3）＝P（G，4）＝0，綜上得到圖1的拓?fù)渲笖?shù)為

1.2 拓?fù)渲笖?shù)的物理意義

對于某一具體網(wǎng)絡(luò)，拓?fù)渲笖?shù)的物理意義是度量該網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)和邊（電路拓?fù)涞墓?jié)點(diǎn)和支路）連接均衡程度，即與每個(gè)節(jié)點(diǎn)相連接的邊數(shù)是否一致。拓?fù)渲笖?shù)越大，則邊分布越均衡，該網(wǎng)絡(luò)的分散性越好。

由圖2可知，示例網(wǎng)絡(luò)a和網(wǎng)絡(luò)b是具有相同的點(diǎn)數(shù)（7個(gè)）和邊數(shù)（8條）的網(wǎng)絡(luò)，并且點(diǎn)的分布一致，不同的是各個(gè)點(diǎn)之間的連接方式。直觀地看，網(wǎng)絡(luò)a中每個(gè)點(diǎn)連接的邊數(shù)為2條或3條，比較均衡；網(wǎng)絡(luò)b中點(diǎn)7連接的邊數(shù)是5條，而點(diǎn)1和點(diǎn)4只有1條邊與之相連，每個(gè)點(diǎn)連接的邊數(shù)差別較大，不如網(wǎng)絡(luò)b均衡度高。經(jīng)過拓?fù)渲笖?shù)的計(jì)算：網(wǎng)絡(luò)a的拓?fù)渲笖?shù)為33，網(wǎng)絡(luò)b的拓?fù)渲笖?shù)為19。由此可知，網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)渲笖?shù)表征了網(wǎng)絡(luò)的分散程度和均衡程度，拓?fù)渲笖?shù)越大，分散度越好，網(wǎng)絡(luò)越均衡；反之，拓?fù)渲笖?shù)越小，分散度越差，網(wǎng)絡(luò)越不均衡。

圖2 示例網(wǎng)絡(luò)a（左）和示例網(wǎng)絡(luò)b（右）

對于拓?fù)渲笖?shù)的另一種理解：拓?fù)渲笖?shù)越大的網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的重要性基本一樣，安全性較好，某一點(diǎn)出現(xiàn)問題對于整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的影響相對較小。網(wǎng)絡(luò)a中，點(diǎn)7斷開，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)基本還是連通的；對于網(wǎng)絡(luò)b而言，如果點(diǎn)7斷開，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)幾乎解體。

由此可見，一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是否安全可靠，與它的拓?fù)渲笖?shù)的大小有直接關(guān)系。電力電子電路可以抽象成一個(gè)電路網(wǎng)絡(luò)，或稱為電路拓?fù)洌虼耍褂猛負(fù)渲笖?shù)來衡量電路網(wǎng)絡(luò)的脆弱性，進(jìn)而指導(dǎo)并優(yōu)化電力電子電路的設(shè)計(jì)是可行的。

2 Buck變換器拓?fù)渲笖?shù)和脆弱性計(jì)算

2.1 Buck變換器的基本原理［11］

Buck變換器又稱為降壓斬波電路，其基本結(jié)構(gòu)如圖3所示，由輸入電壓Ui（等效為直流電壓源Ui）、開關(guān)管S、二極管VD、電感L、電容C和等效負(fù)載電阻R構(gòu)成。該電路存在電感電流連續(xù)和電感電流斷續(xù)兩種工作模式，本文只考慮電感電流連續(xù)工作模式下的情況。

圖3 Buck變換器的基本結(jié)構(gòu)

Buck變換器在連續(xù)工作模式下有兩個(gè)開關(guān)狀態(tài)，如圖4所示。開關(guān)狀態(tài)1（S1）：開關(guān)管S導(dǎo)通，二極管VD關(guān)斷。開關(guān)狀態(tài)2（S2）：開關(guān)管S關(guān)斷，二極管VD導(dǎo)通。定義占空比D為開關(guān)管導(dǎo)通的時(shí)間ton與開關(guān)周期Ts的比，即D＝ton／Ts，0≤D≤1。

2.2 Buck變換器的拓?fù)渲笖?shù)模型建立

圖4 Buck變換器的兩種開關(guān)狀態(tài)

Buck變換器的基本結(jié)構(gòu)以及兩個(gè)開關(guān)狀態(tài)分別抽象為無向圖。將輸入電壓Ui、開關(guān)管S、二極管VD、電感L、電容C以及等效輸出電阻R抽象為節(jié)點(diǎn)V，它們之間的連線抽象為邊E，得到其對應(yīng)的無向圖如圖5所示。

根據(jù)拓?fù)渲笖?shù)的定義，計(jì)算圖5中三個(gè)無向圖的拓?fù)渲笖?shù)：

可知Buck變換器基本結(jié)構(gòu)對應(yīng)的拓?fù)渲笖?shù)是TI（Buck）＝49；

開關(guān)狀態(tài)1對應(yīng)的拓?fù)渲笖?shù)是TI（S1）＝15；

開關(guān)狀態(tài)2對應(yīng)的拓?fù)渲笖?shù)是TI（S2）＝9。

2.3 Buck變換器的拓?fù)渲笖?shù)計(jì)算與脆弱性分析

由模型可見，S1時(shí)的拓?fù)渲笖?shù)比S2時(shí)的拓?fù)渲笖?shù)大，由拓?fù)渲笖?shù)的物理意義可知，S1時(shí)的拓?fù)涓泳猓踩愿摺８鶕?jù)拓?fù)渲笖?shù)的概念，分析每個(gè)節(jié)點(diǎn)或元件在兩個(gè)開關(guān)狀態(tài)下對于變換器的影響，也就是不同結(jié)構(gòu)性故障情況下變換器的脆弱性。得到拓?fù)渲笖?shù)計(jì)算式：

圖5 Buck變換器基本結(jié)構(gòu)

TI（A）=D×TI（S1，A）+（1-D）TI（S2，A）（4）式中，D表示Buck變換器的占空比，0≤D≤1；A表示某一節(jié)點(diǎn)或元件，如開關(guān)S、電阻R。另外，在拓?fù)渲腥绻麤]有某一元件，則拓?fù)渲笖?shù)為零。如S1下沒有二極管元件VD，則TI（S1，VD）＝0。此外，由于占空比的引入，廣義拓?fù)渲笖?shù)的值可以是小數(shù)。

由此根據(jù)拓?fù)渲笖?shù)的定義和計(jì)算方法，得到不同元件在兩個(gè)開關(guān)狀態(tài)下的廣義拓?fù)渲笖?shù)見表1。合和參數(shù)條件下，應(yīng)盡可能保證二極管VD不發(fā)生故障。

圖6 不同元件對變換器拓?fù)渲笖?shù)的影響圖像

表1 元件在不同開關(guān)狀態(tài)下的拓?fù)渲笖?shù)

圖7 Buck變換器二極管故障后的電壓圖像

根據(jù)公式（4）可得：

TI（S）＝7D，TI（Ui）＝5D，TI（VD）＝3－3D，TI（L）＝2D＋3，TI（C）＝3D＋3，TI（R）＝3D＋3。

不同元件對于變換器拓?fù)渲笖?shù)的影響是關(guān)于占空比D的函數(shù)，如圖6所示。由圖像可以看出：0≤D≤0.375時(shí)，在輸入電壓Ui發(fā)生損壞的情況下，拓?fù)渲笖?shù)最小，網(wǎng)絡(luò)的均衡性差、可靠性降低，故Ui是脆弱源；0.375≤D≤1時(shí)，VD是Buck變換器的脆弱源。

使用Matlab對Buck變換器進(jìn)行仿真，Buck變換器的輸入電壓為10 V，占空比為0.5，開關(guān)頻率為20 k Hz，電感L為2.2 mH，濾波電容C為470μF，負(fù)載為1Ω。圖7所示為二極管故障后的端電壓。在實(shí)際應(yīng)用中，Buck變換器經(jīng)常會(huì)因?yàn)槎O管的損壞，導(dǎo)致開關(guān)管承受電感L產(chǎn)生的過電壓而損壞；二極管發(fā)生故障時(shí)，導(dǎo)致了電感等器件連鎖損耗，說明二極管VD是Buck變換器的脆弱源。因此，在不同的應(yīng)用場

3 結(jié) 論

本文將拓?fù)渲笖?shù)引入到電力電子變換器的脆弱性分析中，計(jì)算了在電感電流連續(xù)工作模式下Buck變換器不同開關(guān)狀態(tài)的拓?fù)渲笖?shù)，分析了由占空比決定的廣義拓?fù)渲笖?shù)的特征；通過對Buck變換器的廣義拓?fù)渲笖?shù)的計(jì)算，使Buck變化器脆弱性能定量計(jì)算和分析。引入占空比這一參數(shù)，并且考慮到Buck變換器不同開關(guān)狀態(tài)的影響，使得拓?fù)渲笖?shù)的計(jì)算更加細(xì)化，利于分析。該拓?fù)渲笖?shù)計(jì)算方法對于非隔離型變換器拓?fù)渚m用，但對于該變換器的電感電流斷續(xù)工作模式（DCM）以及含有變壓器的隔離型變換器拓?fù)洌?jì)算方法還需改進(jìn)。

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