基于漸變折射率透鏡的配光研究

吳夢熒，李梅花，張　勇，徐昌龍

(浙江工業大學 理學院，浙江 杭州 310023)

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基于漸變折射率透鏡的配光研究

吳夢熒，李梅花，張勇，徐昌龍

(浙江工業大學 理學院，浙江 杭州 310023)

摘要：根據光線追跡方程，利用MATLAB軟件實現點光源到漸變折射率透鏡(GRIN透鏡)，再到接收面的光線軌跡計算。該透鏡的外觀為規則圓柱，其內部折射率連續變化。用蒙特卡洛算法模擬LED朗伯點光源的出光特征；利用MATLAB軟件對漸變折射率透鏡中的光線進行光線追跡，觀察LED光線穿過該透鏡后在接收面上所呈的像；經過物理場仿真軟件的仿真與驗證，該算法的正確性與可靠性得到肯定。這些理論準備與工作為利用體透鏡進行非成像光學設計提供了理論與實驗基礎。

關鍵詞：漸變折射率光學；非成像光學；透鏡；LED

漸變折射率光學(Gradient Index Optics，GRIN)是近幾十年才發展起來的一門學科，但是早在一百年前，人們就認識到漸變折射率問題的存在，例如海市蜃樓[1]。20世紀70年代，首屆漸變折射率光學會議在美國順利閉幕，這種有影響力的高峰學術論壇推動GRIN在理論研究上與實際應用中迅速發展。20世紀80年代，專家學者們提出了幾種在漸變折射率介質中實現光線追跡的方法。有人利用光波面的截距，有人利用平行于光軸的光線，還有人通過計算光程等方式來實現光線追跡。

GRIN光學是主要研究光在漸變折射率介質中傳播，進而成像的一門學科，因而被廣泛應用于光纖通信、顯微成像等各種光學系統[2]。然而在非成像光學領域，利用GRIN對LED光源進行配光設計，實屬先例。

1理論分析

1.1朗伯點光源的建立

在短波長近似下，引入波面和光線的概念[3-4]，光分布可以用幾何光學加以描述。光線遵從幾何光學定律[5]，通過一定接收截面dS的光通量dΦ與光線條數成正比，接收面上的照度為：

(1)

已知LED光源是一個近似朗伯體，為了方便計算，下述都選用朗伯點光源進行仿真。假定點光源的光通量為Φ，即朗伯光源的光線數量為N，任一方向上立體角dΩ內的能量分配為dΩ·dΦ/4π。采用蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，在已知幾何光學中輻射通量正比于光線條數的情況下，通過隨機抽樣產生光線，這里隨機抽樣的光線與單位球面上均勻分布的隨機點抽樣相互對應[6]。

(0≤θ<2π,0≤θ≤π)

(2)

(3)

利用式3，可以構造蒙特卡洛算法。取(0, 1)上均勻分布的偽隨機數r1、r2，則：

(4)

(5)

點光源符合朗伯定律，向某一方向的立體角dΩ內輻射的光通量滿足：

dΦ∝cosθ·dΩ

(6)

式中，θ是光源表面上的法線與輻射方向之間的夾角。對式5隨機抽樣的光線分以權重cosθ。在距光源100 mm處設置1張200 mm×200 mm的接收面。隨機抽樣n條光線，進行光線追跡，在接收面上等間距地劃分1張網格，統計到達網格單元中的光線條數，就可得到目標面上的照度分布。

利用TracePro和MATLAB軟件得到接收面上的照度剖線圖如圖1所示。由圖1可以看出，在200 mm×200 mm的接收面上，圖1a和圖1b的峰值都是30(照度標量)，且峰值半徑都為120 mm。通過2種不同的仿真方式得到的結果非常相近，由此可以驗證蒙特卡洛模擬方法的可行性。

圖1　接收面上的照度剖線圖

1.2光線追跡方程

漸變折射率介質內部的光線追跡方法有很多種，其中計算量相對少，精度相對高的是龍格庫塔(Runge-Kutta)光線追跡法[7-8]。可以用光線方程來表述折射率任意分布介質中光線的路徑：

(7)

式中，▽n是折射率梯度；s是光線傳播路徑上的弧長；r是光線矢徑。將式7進行變形處理，令光線傳播矢量為T=ndr/ds=dr/dt，其中引入1個參量dt=ds/n，則光線方程可寫為：

(8)

式8中有3個分量，記為：

(9)

式中，R是光線傳播路徑上的點坐標；T是每個點的光線矢量；D是式8右端的項。經過推導可得：

(10)

(11)

式中，Δt=Δs/n；Δs是空間追跡步長；m是光線路徑上點的標號。當已知光線初始條件R0、T0時，可以逐次進行追跡，直到完成整個追跡過程。

2軟件仿真

選擇1個底面半徑為50 mm，高為20 mm的圓柱體透鏡，內部折射率分布遵循下式：

(12)

式中，n0是圓柱底面中線連線上的折射率；α是折射率系數。經物理場仿真軟件仿真后，透鏡內部折射率分布如圖2所示。

圖2　透鏡內部折射率分布圖

在物理場仿真軟件中觀察光線軌跡，選擇平行光，垂直于透鏡底面入射，從另一底面出射，在后方設置一接收面，可以發現出射光先逐漸匯聚，當匯聚到一個定點后再發散，并在接收面上呈一個“十”字投影(見圖3a)。此后，利用MATLAB算法實現平行光通過透鏡在接收面上的投影。上述光線追跡方程只適用于連續變化的折射率介質，然而透鏡的表面與空氣接觸，在接觸面上，折射率是突變的；因此，需要在接觸面上做折射處理。結果如圖3b所示，接收面上成的像與物理仿真軟件計算出來的結果一致，這就證明了上述光線追跡方法的正確性與可行性。

圖3　平行光入射體透鏡于接收面上的照度圖

用LED朗伯點光源照射上述透鏡，觀察接收面上的光分布情況，結果如圖4所示，一束光強按朗伯型分布的LED光源，經過1個圓柱狀的GRIN透鏡后，在接收面上形成1個方形光斑。這一特性可用于LED矩形配光。

圖4　朗伯點光源在GRIN透鏡下的成像

3結語

物理場仿真軟件只能實現簡單的平行光建模，且計算量大。本文提出的光學模型，利用MATLAB算法實現光源的模擬與光線追跡，可以減少計算量，且可以實現任意光源的仿真。

GRIN一般用于微波通信、成像元件設計，然而上述研究與分析為GRIN用于配光設計提供了可能。目前，漸變折射率光學用于配光設計方面的相關研究還很少，所以此項研究將具有創新性和開創性。GRIN透鏡由于其特殊的漸變折射率分布可以改變光線的方向，在理論上可以達到理想的配光效果。在一個規則的幾何體內就能夠達到想要的光學效果，可以避免光學透鏡曲面加工難的問題。相比于其他配光方法，利用體透鏡進行配光，具有重要理論意義和實際意義。

參考文獻

[1] 林中天. 變折射率光學的發展[J]. 光學精密工程, 1984(5): 48-53.

[2] 周素梅. 變折射率球透鏡的研制及其光學特性的研究[D]. 重慶: 西南師范大學, 2003.

[3] JI.朗道, E.M.栗弗席茲. 場論[M]. 任朗,袁炳南,譯. 北京: 人民出版社, 1978.

[4] M.玻恩, E.沃爾夫. 光學原理：上冊[M]. 楊葭蓀, 譯. 北京: 科學出版社, 1978.

[5] 趙凱華, 鐘錫華. 光學：上冊[M]. 北京: 北京大學出版社, 1978.

[6] 黃德云, 任飛, 凌一品, 等. 光學照明系統設計中若干問題的研究[J]. 數學的實踐與認識, 2003, 33(7): 102-107.

[7] 王潤軒. 一種變折射率光學系統光線追跡的新方法[J]. 激光技術, 2004, 28(6): 664-666.

[8] 馮定華, 潘沙, 田正雨, 等. 任意折射率的三維離散空間光線追跡方法研究[J]. 光學學報, 2010 (3): 696-701.

責任編輯彭光宇

The Optics Research based on Gradient Index Lens

WU Mengying, LI Meihua, ZHANG Yong, XU Changlong

(College of Science, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023, China)

Abstract：Based on the ray tracing equation, the traces of lights are simulated with a MATLAB program. All the lights are emitted from a point source, passed through GRIN lens and hit on the target surface. The lens are cylindrical, whose internal refractive index varies continuously. Simulate the Lambert LED pot light by Monte Carlo algorithm. Use MATLAB software to achieve light ray-tracing for the gradient index lens, then observe the image on receiver, which comes from LED rays through the lens to the receiving surface. The ray tracing method is verified by the simulation result from FEMLab software. These theoretical preparation and work proves a theoretical and experimental basis of the non-imaging optics lens design.

Key words:GRIN， non-imaging optics， lens， LED

收稿日期：2015-04-20

作者簡介：吳夢熒(1989-)，女，碩士研究生，主要從事成像與非成像光學等方面的研究。

中圖分類號：O 439；O 435

文獻標志碼:A