城市軌道交通換乘站的列車銜接時間優化

梁強升 李 璇 徐瑞華

（1.廣州市地下鐵道總公司，510380，廣州；2.寧波大學海運學院，315211，寧波；3.同濟大學交通運輸工程學院，201804，上海∥第一作者，高級工程師）

隨著城市軌道交通網絡規模的擴大，網絡換乘節點數量大幅增加，面對網絡化運營條件下的大量換乘需求，需要在網絡層面協調各線路的列車運行計劃，實現不同線路方向的列車在換乘站的良好銜接，從而縮短乘客的換乘等待時間，提高換乘服務水平。換乘等待時間與換乘前后的列車在換乘站的到發時刻直接相關，如何安排列車對在換乘站的到達時間間隔（以下稱“列車銜接時間”）是網絡列車運行計劃協調優化的關鍵。

換乘站的列車銜接時間受到乘客走行與列車運行兩個動態過程的影響。乘客換乘走行時間具有隨機性的特點，其大小與換乘環境、乘客個體屬性等相關，可通過對客流調查的結果進行統計確定。由于受到乘客乘降、設備故障及突發事件等因素的影響，列車運行可能會發生隨機延誤，因此列車到站時刻也具有隨機性的特點。合理的列車銜接時間應在滿足乘客換乘走行時間的基礎上加入緩沖時間，以彌補列車運行延誤的不良影響。本文基于乘客換乘走行及舒適等待的需求，考慮列車運行延誤的影響，建立了列車銜接時間的計算模型，為網絡列車運行計劃的協調優化提供指導。

1 換乘站列車銜接時間的組成

設列車Train1屬于線路Line1的下行方向，列車Train2屬于線路Line2的下行方向，Line1與Line2相交于換乘站a。對于列車對Train1和Train2，設計劃中欲促成的銜接關系是在a站實現Train1→Train2，那么，在a站自Train1下車換乘Line2下行方向的乘客可以換乘到Train2。此時Train1為輸送列車，Trian2為接續列車。下面分析如何安排列車銜接時間，使這部分換乘乘客的換乘等待時間得到優化。

圖1 列車對銜接圖示

圖2 列車銜接時間圖示

當 tC，1下→2下，a滿 足 tW，1下→2下，a＜tC，1下→2下，a ＋tD，2，a＜tW，1下→2下，a＋h2時，由該計劃所確定的輸送列車Train1與接續列車Train2構成計劃層面的銜接關系。如圖1所示，實際運營中，在輸送列車不發生運行延誤的條件下，D2，a－A1，a＞tW，1下→2下，a，換乘乘客可換乘到計劃中安排的接續列車，則該協調列車對銜接成功；反之，若輸送列車發生延誤，D2，a－A1，a′＜tW，1下→2下，a，換乘乘客無法換乘至計劃中安排的接續列車，需等待后行列車，則該協調列車對銜接失敗。列車對銜接失敗，將會增加乘客的換乘等待時間，延長乘客的出行時間，降低服務水平。因此，在確定換乘站的列車銜接時間時，考慮列車運行延誤對銜接成功率的影響是十分必要的。

將換乘站的列車銜接時間分為換乘走行時間和銜接緩 沖 時 間 兩 部 分（見 圖 2），即 tC，1下→2下，a＝tW，1下→2下，a＋tB，1下→2下，a。其中tB，1下→2下，a為銜接緩沖時間。若銜接緩沖時間等于零，銜接時間恰好滿足乘客換乘走行的需要，換乘等待時間為零，稱為“零換乘”。在實際中，“零換乘”并非理想的換乘狀態［1－2］，當換乘等待時間少于30 s時，乘客對換乘的不滿意度很高。其主要原因是銜接時間過緊會給乘客帶來錯過列車的心理危機感，這在列車發車頻率較低時表現尤為明顯。所以，銜接緩沖時間應該包括一個滿足乘客心理舒適度的等待時間。由此，可將銜接緩沖時間定義為乘客等待舒適時間tR與延誤松弛時間tS的和，即tB＝tR＋tS。則列車銜接時間tC＝tW＋tR＋tS。對于換乘乘客而言，當輸送列車與接續列車間的列車銜接時間恰好為tW＋tR時，換乘滿意度最高。

由于不同的乘客有不同的走行習慣和不同的等待心理特點，因此，乘客的換乘走行時間和等待舒適時間都是與乘客個體屬性相關的隨機變量，在制訂列車運行計劃時，前者的取值可通過實際調查來確定，后者可通過意向調查結果來確定。本文將這兩個變量都看作已知參數，重點確定最佳的延誤松弛時間。

2 運行延誤條件下列車銜接關系分析

針對一個換乘關系為“在換乘站a的Line1下行→Line2下行”的協調列車對Train1和Train2，確定最佳的列車銜接時間將涉及Train1和Train2的列車運行延誤時間X1和X2。圖3表現了X1和X2處于不同關系下Train1和Train2的銜接狀態。圖中，b為Line1下行方向上換乘站a的前一站，c為Line2下行方向上換乘站a的前一站，斜實線表示計劃列車運行線，斜虛線表示實際列車運行線，表示換乘等待時間，表示令乘客焦慮的等待時間。在4種情況中，延誤松弛時間對乘客的換乘起到了不同的作用。為方便分析，僅將Train1和Train2的相對延誤表示出來，且tW＝tW，1下→2下，a，tR＝tR，1下→2下，a，tS＝tS，1下→2下，a。

圖3 輸送列車和接續列車在不同延誤關系下的銜接圖示

情況a）：當X1－X2≤0時，列車延誤對列車對的銜接成功率沒有影響，換乘乘客的等待時間為tR＋tS＋（X2－X1），此時，延誤松弛時間給乘客增加了額外的等待時間tS，如圖3a）中所示；

情況b）：當0＜X1－X2≤tS時，換乘等待時間為tR＋tS－（X1－X2），此時，延誤松弛時間起到了保護換乘銜接關系的作用，但仍增加了乘客的額外等待時間tS－（X1－X2），如圖3b）中所示；

情況c）：當tS＜X1－X2≤tS＋tR時，換乘等待時間為tR＋tS－（X1－X2），此時延誤松弛時間也起到了保護換乘銜接關系的作用，由于輸送列車的到達延誤較大，乘客的等待舒適時間被占用；

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情況d）：當tS＋tR＜X1－X2≤tS＋tR＋h2時，輸送列車上的乘客無法換乘至預期的接續列車，只能換乘后續列車，其換乘等待時間為tR＋tS＋h2－（X1－X2），說明延誤松弛時間只能抵御較小的列車延誤，此在文獻［3－5］中也有體現。

綜上，在列車運行延誤時間較小的條件下，延誤松弛時間能夠在一定程度上提高既定列車對銜接關系的兌現率，降低乘客錯過銜接列車的概率，但其也可能增加乘客的額外等待時間。延誤松弛時間對協調列車對的銜接關系的影響與列車延誤時間密切相關。

3 基于隨機延誤的換乘站列車銜接時間優化模型

在換乘走行時間和乘客等待舒適時間已知的前提下，考慮列車延誤的影響，建立換乘站列車銜接時間的優化模型，確定最佳的延誤松弛時間，以得到最佳的列車銜接時間，為制訂網絡列車運行計劃提供依據。

3.1 列車銜接時間的優化模型

輸送列車和接續列車的運行延誤時間X1和X2可看作相互獨立的服從指數分布的隨機變量［3－4］，其密度函數f（x）和分布函數F（X）分別為：

1／λ即為延誤的期望值。基于分布函數和密度函數，可得到X1和X2處于不同關系的概率，即兩者的聯合密度函數在不同區域的積分。

由于延誤松弛時間只能抵御較小的運行延誤時間，在此考慮延誤最多讓乘客錯過一趟列車。即乘客錯過計劃中安排的接續列車后必能夠搭乘其后的第一班列車離開。則X1和X2需滿足X1－X2≤h2＋tS＋tR。為使積分區域有效且閉合，考慮（X1，X2）∈S（S＝｛0≤X1≤h2＋tS＋tR，0≤X2≤h2＋tS＋tR｝）的正方形區域，如圖4所示。圖中的S1、S2、S3區域分別對應圖3a）、b）、c）三種情況，S4和S5區域對應圖3d）。圖3d）劃分成兩個區域是為了建模需要，這兩個區域的等待時間值落在懲罰值函數分界點的兩側，對應的函數表達式不同。

根據圖3和圖4，換乘等待時間可表達為如下函數：

圖4 輸送列車和接續列車的運行延誤關系圖

設換乘等待時間對應的費用函數為C（t），如前所述，tR所對應的費用應最小，換乘等待時間大于或小于該時間對應的費用都將提高。其中，等待時間越趨近于0，乘客危機感越高，費用越大；等待時間越趨近于h2－tD，2，a，乘客焦慮感越高，費用也越大。故C（t）可采用式（4）的函數形式，函數圖像見圖5。

圖5 換乘等待時間對應的費用函數圖像

參數C1和C2的取值可以參考乘客出行時間價值來確定。等待時間為0表示乘客到達接續線路站臺時，接續列車已經進站開始上客，這種情況將給乘客帶來一定的心理危機感，等效于產生了一定的時間費用。由于乘客登上接續列車后需等待列車出發，這里考慮使用乘客在車上等待的單位時間價值來確定參數C1。參數C2描述乘客恰好錯過預期的接續列車時的等待時間費用。

根據文獻［3］，公共交通出行時間中的等待時間價值通常是相對于乘車時間價值來確定的。乘客的乘車單位時間價值取1，它表示乘客在運行的列車上的單位時間價值；相對地，乘客在站臺上等待列車的單位時間價值取2.5，它表示乘客乘車2.5min的時間費用相當于其在車外等待1min的時間費用。若乘客到達接續線路方向的站臺時預期換乘的接續列車恰好離站，其等待時間接近于h2－tD，2，a，這種等待的心理焦慮感更高，其時間價值也更大，參考文獻［3］可定為2.7。與乘客在站臺上等候相比，乘客在車內等待列車開行的舒適性較好，故乘客在車內的單位等待時間價值取2。由此，取C1＝2tD，2，a且C2＝2.7（h2－tD，2，a）。

乘客步行到達接續線路方向的站臺時，接續列車恰好將要進站是較為理想的換乘狀態。列車從進站到停車需要經過一段時間，此作業時間一般為40s，因此tR的建議取值為tR＝0.67min。

以延誤松弛時間tS為決策變量，以換乘等待時間費用值最小為目標函數，建立模型：

圖4中的S3和S5區域對應的換乘等待時間小于tR，應采用懲罰值函數的前一段，而S1、S2和S4區域對應的等待時間大于tR，應采用懲罰值函數的后一段。約束條件是保證列車對的銜接對應關系。

針對一個特定的換乘關系，在C（t）、tW、tR、h2、λ1、λ2、tD，2，a已知的條件下，求解延誤松弛時間的最優值，屬于一元函數的最優化問題。目標函數的積分公式非常復雜，可以運用Mathematica軟件來求解［6－7］。

3.2 算例

3.2.1 基本算例

模型參數取值如表1所示。基于此參數設置，運用Mathematica軟件進行目標函數的積分求解，然后求目標函數的導函數和極值點，并繪制函數圖像（見圖6），得到最佳的延誤松弛時間→0.4min。則該換乘關系的最佳銜接緩沖時間為min，最佳銜接時間為

表1 模型參數賦值表min

圖6 算例的目標函數圖像

3.2.2 算例分析

（1）改變1／λ1和1／λ2的取值，保持其余參數與基本算例一致，觀察的變化情況，結果如表2所示。由表2可知隨1／λ1變大而變大，隨1／λ2變大而變小，當1／λ1和1／λ2同時變大時先變大后變小。說明當列車運行計劃中安排的協調列車對的兩列車延誤時間較小時，延誤松弛時間的加入有利于提高銜接成功率，而當延誤時間較大時，加入延誤松弛時間意義不大。

表2 最佳延誤松弛時間與延誤時間均值的關系 min

（2）改變h2的取值，保持其余參數與基本算例一致，觀察的變化情況，結果如表3所示。由表3可知隨著h2的變大而變大，在h2≈3min時，已接近0。這說明在運營高峰時段，乘客換乘等待時間已較小，不需要再加入延誤松弛時間。

表3 最佳延誤松弛時間與銜接列車

（3）針對一個換乘銜接關系，通過建立換乘站列車銜接時間優化模型并求解，可得到最佳的延誤松弛時間，再根據已知的乘客換乘走行時間和等待舒適時間即得到最優的換乘銜接時間。在進行網絡列車運行計劃協調時，需保證在協調時段內，該銜接關系涉及的輸送線路方向的第一列車的到站時刻與接續線路方向的第一列車的到站時刻的時間差恰好等于最優的列車銜接時間。具體方法是：首先確定輸送線路方向的第一列車的始發時刻，并根據列車區間運行時間和停站時間得到該列車在協調換乘站的到站時刻，用此到站時刻加上最優的換乘銜接時間即得到接續線路方向的第一列車在協調換乘站的到站時刻，繼而反推出接續列車的始發時刻。同理，以接續列車來推算輸送列車也可行。之后，根據發車間隔推算后續列車的到發時刻。為保證每個列車對在協調換乘站都能實現最佳的銜接狀態，建議在協調時段內兩個線路方向采用相同的發車間隔。

4 結語

城市軌道交通網絡化運營條件下，要求運營管理部門在準確把握路網客流分布特點的基礎上，協調優化各線路列車運行計劃，促成不同線路間列車到發時刻在換乘站的良好銜接匹配。合理的換乘站列車銜接時間是制訂網絡列車運行計劃的基礎，本文考慮列車運行隨機延誤的影響，提出了單個換乘站的列車銜接時間優化模型，并給出了具體算例。利用該模型可以為列車銜接計劃中安排的換乘銜接關系確定最佳的列車銜接時間。該銜接時間既符合乘客的等待心理特點，又能夠抵御列車延誤對銜接關系的不良影響，可用于指導列車運行計劃的協調編制。

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