《樂學(xué)軌范》律數(shù)考

桑 坤

《樂學(xué)軌范》律數(shù)考

桑 坤

《樂學(xué)軌范》繼承了朱熹、蔡元定的律學(xué)成果，使用“九分寸法”精確計(jì)算了十二律的長(zhǎng)度，并將大呂、夾鐘、仲呂三律的倍半之?dāng)?shù)并列在同一組數(shù)據(jù)中，統(tǒng)合了蕤賓后下生和蕤賓后重上生兩種三分損益生律順序所產(chǎn)生的不同律學(xué)結(jié)果。

樂學(xué)軌范；律呂新書；琴律說(shuō)；九分寸法；三分損益法

《樂學(xué)軌范》（成書于1493年）卷一《音調(diào)律呂諸圖說(shuō)》中，對(duì)十二律管長(zhǎng)度予以計(jì)算，原文如下：

黃鐘長(zhǎng)九寸’圍九分’以下十一律圍并同’三分損一下生林鐘；

大呂長(zhǎng)四寸一分八厘三毫’三分益一上生夷則’倍數(shù)長(zhǎng)八寸三分七厘六毫；

太簇長(zhǎng)八寸’三分損一下生南呂；

夾鐘長(zhǎng)三寸六分六厘三毫六絲’三分益一上生無(wú)射’倍數(shù)長(zhǎng)七寸四分三厘七毫三絲；

姑洗長(zhǎng)七寸一分’三分損一下生應(yīng)鐘；

仲呂長(zhǎng)三寸二分八厘六毫二絲三忽’倍數(shù)長(zhǎng)六寸五分八厘三毫四絲六忽’以七百二十九乗’三分益一口生變黃鐘；

蕤賓長(zhǎng)六寸二分八厘’三分損一下生大呂；

林鐘長(zhǎng)六寸’三分益一上生太簇；

夷則長(zhǎng)五寸五分五厘一毫’三分損一下生夾鐘；

南呂長(zhǎng)五寸三分’三分益一上生姑洗；

無(wú)射長(zhǎng)四寸八分八厘四毫八絲’三分損一下生仲呂；

應(yīng)鐘長(zhǎng)四寸六分六厘’三分益一上生蕤賓。［1］725-726

上列數(shù)據(jù)看起來(lái)并非嚴(yán)格的三分損益法，從應(yīng)鐘一律起，數(shù)據(jù)明顯與損益相生之所得有較大出入。后幾律可以計(jì)算到毫、絲、忽及忽以下的細(xì)微數(shù)據(jù)，但南呂、姑洗兩律僅計(jì)算到“分”，這里為什么不需要更精確？大呂、夾鐘、仲呂三律各有“半下生長(zhǎng)”、“全倍數(shù)重上生長(zhǎng)”①見《樂學(xué)軌范·卷一·十二律圍長(zhǎng)圖說(shuō)》律管圖中文字標(biāo)識(shí)。（即其半、倍管長(zhǎng)）兩個(gè)數(shù)據(jù)，但從數(shù)字上看又不是簡(jiǎn)單的倍半關(guān)系，這樣的數(shù)據(jù)是如何產(chǎn)生的呢？不過，這組奇怪的數(shù)據(jù)對(duì)我卻并不陌生。數(shù)年前，在研讀朱熹《琴律說(shuō)》時(shí)就接觸過這組數(shù)據(jù)，在蔡元定《律呂新書》中，也有相同數(shù)據(jù)。

一、《樂學(xué)軌范》十二律數(shù)的來(lái)源

朱熹（1130-1200）在其《琴律說(shuō)》一文（至遲成書于宋寧宗年間，1195年-1200年）中言明，他使用“太史公九分寸法”（即九進(jìn)制）對(duì)十二律數(shù)進(jìn)行計(jì)算。其原文為：

十二律數(shù)曰：黃鐘九寸’為宮。琴長(zhǎng)九尺而折其半’故為四尺五寸’而下生林鐘。林鐘六寸’為徵。為第九徽。徽內(nèi)三尺’徽外一尺五寸。上生太簇。太簇八寸’為商。為第十三徽。徽內(nèi)四尺’徽外五寸。下生南呂。南呂五寸三分’為羽。為第八徽。徽內(nèi)二尺七寸’徽外一尺八寸。上生姑洗。姑洗七寸一分’為角。為第十一徽。徽內(nèi)三尺六寸’徽外九寸。下生應(yīng)鐘。應(yīng)鐘四寸六分六厘。位在八徽內(nèi)二寸七分。內(nèi)二尺四寸’外二尺一寸。上生蕤賓。蕤賓六寸二分八厘。位在十徽、九徽之間。內(nèi)三尺一寸五分’外一尺三寸五分。上生大呂。大呂八寸三分七厘六毫。在龍齦內(nèi)二寸半。內(nèi)四尺二寸半’外二寸半。下生夷則。夷則五寸五分五厘一毫。在九徽、八徽之間。內(nèi)二尺八寸半’外一尺六寸半。上生夾鐘。夾鐘七寸四分三厘七毫三絲。為第十二徽。徽內(nèi)三尺八寸’徽外七寸。下生無(wú)射。無(wú)射四寸八分八厘四毫八絲。在八徽內(nèi)。徽內(nèi)二尺五寸’徽外二尺。上生中呂。中呂六寸五分八厘三毫四絲六忽。為第十徽’亦為角。徽內(nèi)三尺四寸’徽外一尺一寸。復(fù)生變黃鐘’八寸七分八厘有奇。今少宮以下即其半聲’為四寸三分八厘有奇也。以上十二律’并用太史公九分寸法約定。《周禮》鄭注以從簡(jiǎn)便’凡律’寸皆九分’分皆九厘’厘皆九絲’絲皆九忽。琴尺皆十寸’寸皆十分’分皆十厘’厘以下不收。［2］

朱子對(duì)十二律的計(jì)算方法是損益相生，蕤賓后重上生，使十二律高保持在一個(gè)八度之內(nèi)。與《樂學(xué)軌范》中的律數(shù)作一對(duì)比，二者幾乎完全相同，不同的是，《琴律說(shuō)》由于“蕤賓后重上生”的步驟，使得大呂、夾鐘、仲呂三律處于黃鐘和清黃鐘之間，而《樂學(xué)軌范》使用損益交替相生，大呂、夾鐘、仲呂三律則必然高于清黃鐘，所以《樂學(xué)軌范》作者補(bǔ)充了此三律的倍數(shù)。見下表：

表一

朱熹在《琴律說(shuō)》中解釋使用九分寸法運(yùn)算的原因?yàn)椤耙陨鲜桑⒂锰饭欧执绶s定。《周禮》鄭注以從簡(jiǎn)便，凡律，寸皆九分，分皆九厘，厘皆九絲，絲皆九忽。”歸因于從古，朱熹認(rèn)為這樣的運(yùn)算有一定的理論淵源，遵循了從《史記》以來(lái)研究三分損益生律的方法，實(shí)踐了《周禮》中鄭玄對(duì)律長(zhǎng)計(jì)算中的單位計(jì)量方式。

在蔡元定《律呂新書》（約成書于1186年）卷一的《十二律之實(shí)第四》中，蔡元定對(duì)十二律管的容積及長(zhǎng)度有這樣的計(jì)算結(jié)果：

子’黃鐘’十七萬(wàn)七千一百四十七’全九寸’半無(wú)；

丑’林鐘’十一萬(wàn)八千口口九十八’全六寸’半二十①此為文淵閣《四庫(kù)全書·經(jīng)部·樂類·律呂新書卷一·十二律之實(shí)第四》原文，“二十”疑為“三寸”。’不用；

寅’太簇’十五萬(wàn)七千四百六十四’全八寸’半四寸；

卯’南呂’十口萬(wàn)四千九百七十六’全五寸三分’半二寸六分不用；

辰’姑洗’十三萬(wàn)九千九百六十八’全七寸一份’半三寸五分；

巳’應(yīng)鐘’九萬(wàn)三千九百一十二’全四寸六分六厘’半二寸三分三厘不用；

午’蕤賓’十二萬(wàn)四千四百一十六’全六寸二分八厘’半三寸一分四厘；

未’大呂’十六萬(wàn)五千八百八十八’全八寸三分七厘六毫’半四寸一分八厘二毫；

申’夷則’十一萬(wàn)口口五百九十二’全五寸五分五厘一毫’半二寸七分二厘五毫；

酉’夾鐘’十四萬(wàn)七千四百五十六’全七寸四分三厘七毫三絲’半三寸六分六厘三毫六絲；

戌’無(wú)射’九萬(wàn)八千三百口口四’全四寸八分八厘四毫八絲’半二寸四分四厘二毫四絲；

亥’仲呂’十三萬(wàn)一千口口七十二’全六寸五分八厘三毫四絲六忽’余二算’半三寸二分八厘六毫二絲二忽。［3］

他將十二律按照相生順序進(jìn)行排列，每一律都列出了全、半之?dāng)?shù)，有些數(shù)據(jù)標(biāo)注不用。《樂學(xué)軌范》中出現(xiàn)的數(shù)據(jù)均可在這里找到。對(duì)比如下：

表二

由上表可見，《樂學(xué)軌范》中出現(xiàn)的十二律數(shù)據(jù)與《律呂新書》亦是幾乎完全一致，只是在大呂、仲呂兩律上在小數(shù)點(diǎn)后第五位出現(xiàn)微小差異（表二中使用斜體標(biāo)出）。此兩律自倍關(guān)系明顯，這個(gè)差異疑因《律呂新書》傳抄訛誤造成。

在《律學(xué)新書》中，蔡元定與朱子一樣，使用“九分寸法”計(jì)算律長(zhǎng)，除了循古，他還對(duì)九進(jìn)制所算得數(shù)據(jù)總結(jié)出一個(gè)工藝范疇的意義：

案十二律之實(shí)約以寸法’則黃鐘、太簇得全寸；全寸約以分法’則南呂、姑洗得全分；約以厘法則應(yīng)鐘、蕤賓得全厘；約以毫法則大呂、夷則得全毫；約以絲法則夾鐘、無(wú)射得全絲。至仲呂之實(shí)十三萬(wàn)一千七十二’以三分之不盡’二算其數(shù)不行’此律之所以止于十二也。［3］

觀察這三組“九分寸法”數(shù)據(jù)，確實(shí)如蔡元定所述，從南呂起，每?jī)陕稍谛?shù)點(diǎn)后多一位。一寸是九分，一分是九厘，在單位“寸”內(nèi)整除不盡，便約在“分”內(nèi)除，再不盡就往“厘”、“毫”、“絲”、“忽”這些單位內(nèi)進(jìn)行計(jì)算。現(xiàn)在我們來(lái)還原一下蔡元定的計(jì)算過程。

以“太簇長(zhǎng)八寸，三分損一下生南呂”為例，已知太簇律長(zhǎng)8寸，求三分損一后的南呂律長(zhǎng)，即“九分寸法”下計(jì)算8（寸）×。過程如下：

第一步，三其法：

2寸×9＝18（分），18÷3＝6（分）

八寸三分之即8÷3＝2.6（寸）

第二步，倍其實(shí)：

2.6寸×2＝2×2＋0.6×2＝4寸＋12分（9＋3）＝4寸＋1寸＋3分＝5.3（寸）

使用上述方式計(jì)算，體現(xiàn)了古人的智慧。三分損益法以3為除數(shù)，“九分寸法”下，被除數(shù)除以3，可通過增加小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)得到相對(duì)簡(jiǎn)單的有理數(shù)，方便計(jì)算。如此計(jì)算所得，遠(yuǎn)比十進(jìn)制下因不斷三分以致出現(xiàn)的復(fù)雜結(jié)果要簡(jiǎn)明許多。

通過爬梳文獻(xiàn)可見，《樂學(xué)軌范》繼承了朱熹、蔡元定的律學(xué)思維。《樂學(xué)軌范》對(duì)蔡元定的樂律學(xué)思想是十分推崇的，其序言中明確講到“惟蔡元定之書深得律呂之源。”《琴律說(shuō)》與《律呂新書》中對(duì)十二律的計(jì)算均是以損益相生為順序，而《樂學(xué)軌范》則是按照律管長(zhǎng)度、音高清濁次第排序，并將數(shù)據(jù)列在管律圖后，體現(xiàn)了其力圖以“道”制“器”的意圖。如此精確的真數(shù)領(lǐng)域內(nèi)三分損益的得數(shù)，目的是計(jì)算律管長(zhǎng)度，但忽視了實(shí)踐中管律應(yīng)出現(xiàn)的管口校正的問題。雖然其數(shù)據(jù)精確到九進(jìn)制下小數(shù)點(diǎn)后五位，在同徑律管的實(shí)踐中所得音高未必能達(dá)到如此精準(zhǔn)。

二、關(guān)于《樂學(xué)軌范》中的十二律數(shù)

由上文可見，“九分寸法”是解讀《琴律說(shuō)》《律呂新書》《樂學(xué)軌范》中律數(shù)的關(guān)鍵。“九分寸法”與西方現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的九進(jìn)制之間，雖然計(jì)算過程與出發(fā)點(diǎn)并不相同，但其計(jì)算結(jié)果是一致的。為使《樂學(xué)軌范》的律數(shù)更直觀地展示其三分損益計(jì)算的準(zhǔn)確性，筆者將《樂學(xué)軌范》中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為易于理解的十進(jìn)制（見表三左起第三列）。進(jìn)制轉(zhuǎn)換是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，它的計(jì)算方法是數(shù)碼乘以相應(yīng)權(quán)之和。數(shù)碼是表示數(shù)的符號(hào)，權(quán)指每一位所具有的值。

數(shù)制九進(jìn)制十進(jìn)制數(shù)碼0-8 0-9權(quán)90，91，92……100，101，102……特點(diǎn)逢九進(jìn)一逢十進(jìn)一

例如南呂律數(shù)5.3，換算為十進(jìn)制：

再如應(yīng)鐘律數(shù)4.66，換算為十進(jìn)制：

如此類推，將九進(jìn)制的十二律長(zhǎng)全部換算為十進(jìn)制數(shù)據(jù)，詳見表三左起第三列。

表三

上表中左起第八列是在十進(jìn)制中從九寸黃鐘起，以三分損益法重新演算的十二律數(shù)，很明顯它與第三列的數(shù)據(jù)完全一致，《樂學(xué)軌范》的這組數(shù)據(jù)非常精確。

表三中另以分?jǐn)?shù)形式列出生律法，由此計(jì)算出相對(duì)波長(zhǎng)，并轉(zhuǎn)寫為質(zhì)底冪積式，十二律的相生方法及生律順序一目了然。由此可見，這組建立在九進(jìn)制基礎(chǔ)上的數(shù)據(jù)嚴(yán)格遵照三分損益法計(jì)算，所得結(jié)果十分精確，精確度可在九進(jìn)制下達(dá)到小數(shù)點(diǎn)后五位，換算成十進(jìn)制可達(dá)小數(shù)點(diǎn)后十位開外。其相生方式是損益相間，但是其中大呂、夾鐘、仲呂三律各出現(xiàn)倍、半兩組數(shù)據(jù)，經(jīng)過驗(yàn)算可知，如果保持蕤賓后下生，可得到此三律半數(shù)，其相生次序與《史記·生鐘分》相同，在音域上就會(huì)形成超出八度的排列。假設(shè)蕤賓后重上生，那么將得出此三律的倍數(shù)，可將十二律排列在一個(gè)八度內(nèi)，這又暗合《呂氏春秋》的相生結(jié)果。借用五線譜記譜，以相生順序可排列為：

綜上所述，《樂學(xué)軌范》以九進(jìn)制為基礎(chǔ)，精確計(jì)算了十二律的長(zhǎng)度，并將大呂、夾鐘、仲呂三律的倍半之?dāng)?shù)并列在同一組數(shù)據(jù)中，統(tǒng)合了蕤賓后下生和蕤賓后重上生兩種方式所產(chǎn)生的不同的樂律學(xué)結(jié)果。可惜的是在《樂學(xué)軌范》一書中并未明確指出其律數(shù)使用九分寸法運(yùn)算。

三、一個(gè)小問題

在《樂學(xué)軌范》十二律數(shù)中，對(duì)仲呂一律的描述是這樣的：

仲呂長(zhǎng)三寸二分八厘六毫二絲三忽’倍數(shù)長(zhǎng)六寸五分八厘三毫四絲六忽以七百二十九乗’三分益一口口生變黃鐘。［1］726

其中的“以七百二十九乗”顯得突兀，令人不解。是余數(shù)嗎？還是有其他含義？

原來(lái)這是蔡元定在計(jì)算變律時(shí)的一個(gè)手段。《律呂新書》在解釋六變律時(shí)提到設(shè)七百二十九這一數(shù)的由來(lái)：

變律者其聲近正’而少高于正律也。然仲呂之實(shí)一十三萬(wàn)一千口口七十二以三分之’不盡’二算既不可行’當(dāng)有以通之律。當(dāng)變者有六’故置一而六’三之得七百二十九’以七百二十九因仲呂之實(shí)十三萬(wàn)一千口口七十二’為九千五百五十五萬(wàn)一千四百八十八’三分益一’再生黃鐘、林鐘、太簇、南呂、姑洗、應(yīng)鐘六律’又以七百二十九歸之’以從十二律之?dāng)?shù)。記其余分’以為忽秒’然后洪纖高下’不相奪倫。至應(yīng)鐘之實(shí)六千七百一十口萬(wàn)八千八百六十四以三分之又不盡’一算數(shù)又不可行’此變律之所以止于六也。［4］

原來(lái)七百二十九這個(gè)數(shù)字的確立是由于“仲呂之實(shí)”無(wú)法繼續(xù)三分損益生出變黃鐘，為了方便計(jì)算，借用數(shù)36＝729，來(lái)完成六變律的計(jì)算。因此，“以七百二十九乗”，就是指剩下的計(jì)算需要使用仲呂實(shí)數(shù)乘以729，獲取一個(gè)更大的數(shù)來(lái)繼續(xù)。仲呂一律后緊跟這一句，顯示了《樂學(xué)軌范》的作者對(duì)蔡元定六變律思維的洞悉。不過在原文獻(xiàn)中，《十二律圍圖說(shuō)》一節(jié)一直只在管長(zhǎng)這一維度中討論十二律，并未涉及變律和實(shí)積的問題，突然出現(xiàn)“實(shí)積”這個(gè)范疇的數(shù)據(jù)，顯得有些突兀。

小 結(jié)

《樂學(xué)軌范》一書中對(duì)十二律的計(jì)算是精確的，它使用了九分寸法進(jìn)行運(yùn)算，有效避免了十進(jìn)制下小數(shù)點(diǎn)后面位數(shù)過多的問題。這種做法來(lái)源于南宋朱熹和蔡元定的理論積淀，但《樂學(xué)軌范》也并未一味傳抄，而是擇取與《史記·生鐘分》相同的損益相間、蕤賓后下生的生律方式，獲得十二律的本數(shù)，又將大呂、夾鐘、仲呂三律的倍數(shù)一并列入，暗合《呂氏春秋》以來(lái)蕤賓后重上生的生律方式，使十二律可以在一個(gè)八度內(nèi)得到統(tǒng)合。這種綜合兩種三分損益生律順序產(chǎn)生的集合，最大程度上總結(jié)了當(dāng)時(shí)的樂律學(xué)成果，具有較高的學(xué)術(shù)價(jià)值。

(責(zé)任編輯：黃向苗)

［1］成俔.樂學(xué)軌范：卷一·十二律圍長(zhǎng)圖說(shuō)［M］.影印本.

［2］朱熹.琴律說(shuō)［M］／／御纂朱子全書：卷四十一·樂.刻本.北京：武英殿，1714.

［3］蔡元定.律呂新書：卷一·十二律之實(shí)第四［M］／／四庫(kù)全書：經(jīng)部·樂類.上海：上海古籍出版社，2003.

［4］蔡元定.律呂新書：卷一·變律第五［M］／／四庫(kù)全書：經(jīng)部·樂類.上海：上海古籍出版社，2003.

Text Research on Musical Temperament in Standard of Music Discipline

SANG Kun

The book Standard of Music Discipline inherited Zhu Xi and Cai Yuanding's achievements on temperament，and applied novenaryon to accurately calculate the length of the twelve temperament.It recorded the data of both the half and whole length of the three temperaments in the list，namely dalv，jiazhong and zhonglv，and integrated the different results of two sanfen sunyi methods.

Standard of Music Discipline；the New Book of Temperament；On Temperament of guqin；novenary；Sanfen Sunyi method

J612.1

A

2015-10-05

桑坤（1986— ），女，山東泰安人，中國(guó)藝術(shù)研究院在讀博士研究生，主要從事中國(guó)音樂史與音樂形態(tài)學(xué)研究。（北京100027）