一類共振問題周期解的新結果

王少敏， 楊存基

(大理學院 數學與計算機學院，云南 大理 671000)

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一類共振問題周期解的新結果

王少敏， 楊存基

(大理學院 數學與計算機學院，云南 大理 671000)

主要目的是研究以下二階系統

周期解；最小作用原理；二階系統

引 言

考慮二階系統

(1)

(A)：F(t,x)對于每個x∈RN關于t可測，對于a.e.t∈[0,T]關于x是連續可微的，存在a∈C(R+,R+),b∈L1(0,T;R+)使得

|F(t,x)|≤a(|x|)b(t)，|▽F(t,x)|≤a(|x|)b(t)x∈RN,a.e.t∈[0,T].

相應泛函

1 主要結果

定理1. 設F滿足假設(A)且以下條件成立：

(i)若存在f,g∈L1(0,T;R+)及α∈[0,1)，使得

|▽F(t,x)|≤f(t)|x|α+g(t) ?x∈RN, a.e.t∈[0,T]

(2)

(ii)存在h,w∈L1(0,T;R+)及β∈[0,2)且2α>β，使得

(A(t)x,x)≥h(t)|x|β+w(t) ?(t,x)∈[0,T]×RN,

(3)

(4)

則問題(1)至少存在一個周期解.

定理2. 設F滿足假設(A)，使得下面條件成立：

(i)若存在f,g∈L1(0,T;R+)及α∈[0,1)，使得

|▽F(t,x)|≤f(t)|x|α+g(t) ?x∈RN,a.e.t∈[0,T]

(5)

則問題(1)至少存在一個周期解.

2 定理的證明

(6)

由(2)式及sobolev不等式得

另一方面，有

因此，我們有

定理2的證明：

另一方面，由于3d2>2d1dNT2，有

因此，我們有

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New Results of Periodic Solutions for a Class of Vibration Problem

WANG Shao-min, YANG Cun-ji

(Department of Mathematics and Computer, Dali University, Dali 671000, China)

periodic solutions; the least action principle; second order systems

10.14182/J.cnki.1001-2443.2015.03.003

2014-10-08

國家自然科學基金項目(11261002)；云南省科技廳應用基礎項目(2011FZ167).

王少敏(1975-)，女，云南大理，副教授，碩士，主要從事非線性分析的研究.

王少敏，楊存基.一類共振問題周期解的新結果[J].安徽師范學學報：自然科學版，2014，37(5)：228-231.

O

A

1001-2443(2015)03-0228-04

的周期解的存在性.在位勢函數具有一定的有界性及A(t)是一個連續的N階對稱矩陣的條件下，通過使用最小作用原理獲得了該系統的兩個新的存在性定理.