平面偏振光波的微矩孔矢量夫瑯禾費衍射

常 山

(上饒師范學院 物理與電子信息學院，江西 上饒 334000)

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平面偏振光波的微矩孔矢量夫瑯禾費衍射

常 山

(上饒師范學院 物理與電子信息學院，江西 上饒 334000)

利用瑞利——索末菲矢量衍射公式導出平面偏振光波矩孔矢量夫瑯禾費衍射的解析計算式，探討了矢量衍射的實質和特征以及數十倍波長尺寸矩孔、亞波長矩孔和波長級矩孔夫瑯禾費衍射的情形.模擬實驗表明了該計算式的有效性和可靠性，可在近場光學、微光學、衍射成像、光束傳輸變換和光信息處理等方面發揮應有作用.

電磁光學;矩孔矢量衍射;平面偏振光波;夫瑯禾費衍射;矢量衍射公式

菲涅爾在惠更斯子波假說基礎上吸取托馬斯·楊的干涉思想補充“次波相干疊加”形成了惠更斯——菲涅爾原理，基爾霍夫衍射公式導出了惠更斯——菲涅爾原理的常數項和傾斜因子，而索末菲衍射公式進一步解決了基爾霍夫假定的邊界條件的不自洽，形成了標量衍射理論，可以有效地解決傍軸衍射.但光波是電磁波，運動規律由麥克斯韋方程組描述，嚴格處理矢量光場需要用矢量衍射理論.科技發展表明矢量衍射對近場光學、微光學、衍射成像、光束傳輸變換和光信息處理等具有重要作用[1-3]，雖然如4-6等很多文獻對矢量衍射進行了研究，但仍需要進一步加強研究與拓展.

1 平面偏振光波的微矩孔矢量夫瑯禾費衍射

1.1 平面微孔矢量衍射的積分式

圖1 平面光波挾面孔矢量衍射

圖1中波長為λ的光波入射微孔屏，孔面坐標o-x0y0，z軸垂直孔面，波面Σ上點Q(x0,y0,0)處的光場為E(Q)，距孔z處的觀察屏取坐標，使x軸和y軸分別平行于x0軸和y0軸.根據光的電磁理論，由瑞利—索末菲矢量衍射公式得觀察屏上任一點P(x,y,z)的光場為[4-6]

(1)

1.2 平面偏振光波的平面微孔矢量衍射積分式

平面偏振光波復振幅為E(Q)=ex0E0e-jkz0,而ex=ex0，ey=ey0，n=ez，由式(1)得平面光垂直入射平面微孔時矢量衍射場的分量積分式為[4-6]

(2)

1.3 平面偏振光波的微矩孔矢量夫瑯禾費衍射

(3)

相應的光強為

針對解決出口氣體過熱問題的幾種方法和各種控制流程的優缺點，對于小功率壓縮機，由于其啟動時間要求較短，熱氣循環工藝流程是較合理的選擇。對于大功率壓縮機的啟動工況，由于啟動時間較長，需要較長時間密閉循環氣體以使壓縮機達到額定轉速，為避免在循環過程中由于出口氣體過熱而引起壓縮機喘振，進而造成停車，冷氣循環系統是較合理的選擇。

(4)

從式(3)和(4)可知，平面偏振光波的微矩孔矢量夫瑯禾費衍射光場的三個分量強度為

(5)

1.4 平面光波矩孔矢量衍射的探討

1.4.1 矢量衍射的實質與特征 根據電磁理論，式(2)-(5)表明平面孔矢量衍射的實質是：入射矢量光波在衍射屏限制的波面上作為元矢量電流源產生漩渦電磁場，衍射屏后面任意一點的電磁場可視為受限波面上的所有元矢量電流產生漩渦電磁場的矢量積分(疊加)，是嚴格而精確的矢量衍射方法.標量衍射以自由空間電磁波的場分布作為受限波面上次波傳播的波源，受限波面所有次波相干疊加得到衍射屏后空間任意一點的電磁場，標量理論和方法不過是矢量理論和方法的近似.

分析式(2)-(5)可以認識矢量衍射的特征：矢量光波的波面受到限制時入射矢量光波被調制，一方面保持了原方向的偏振性，另一方面同時產生了傳播方向的縱波，失去了光波單純的橫波性；該調制僅僅發生在振動面內，但是衍射場具有一種附帶特殊縱波的偏振性，縱波包含的兩部分為

(6)

該縱波相應的光強為

(7)

1.4.2 偏振平面光波微矩孔矢量夫瑯禾費衍射的三類情形 隨微矩孔尺寸的不同，可考慮三類矢量夫瑯禾費衍射情形，分析式(4)和(5)可知：

(8)

這種情況下式(6)跟標量衍射公式一致.

②亞波長尺寸的矩孔：a和b遠小于波長λ，即a,b?λ，z減至波長數量級發生夫瑯禾費衍射時，1/kr已大于1，xmax已大于x,z，x,z?r/kx可舍去，式(4)可近似為

(9)

③波長尺寸的矩孔：a和b跟波長λ相當時，即a,b～λ，z為數百倍波長發生夫瑯禾費衍射時，用式(8)計算會有一定誤差，可計算式(7)的z分量加以修正.

2 計算機模擬

(1)平面光波入射數十倍乃至數百倍波長尺寸矩孔的矢量夫瑯禾費衍射.

圖2 數十倍波長尺寸矩孔的矢量夫瑯禾費衍射

波長為λ=250nm的平面光入射40μm×80μm的矩孔屏，由式(4)和(8)分別計算z=1.4m處觀察屏上衍射光強圖樣圖2a和2b相一致，用式(5)計算圖2a和2b之間的差異為圖2c，表明數十倍至數百倍波長尺寸矩孔的夫瑯禾費衍射縱向場強分量Iz極小，約為橫向場強百萬分之一可被忽略，此時式(8)代表的標量衍射是矢量衍射很好的近似.

(2)平面光波入射亞波長尺寸矩孔的矢量夫瑯禾費衍射.

圖3 亞波長矩孔的矢量夫瑯禾費衍射

波長為λ=250nm的平面光波入射20nm×40nm矩孔屏，由式(4)、(8)、(9)分別計算z=100nm處光強圖樣3a和3b以及3c，3a和3b不一致，而3a和3c相一致，式(5)計算3a和3b間的差異為圖3d，表明標量夫瑯禾費衍射式(8)不適于計算亞波長尺寸孔的矢量衍射，原因是孔尺寸比波長小很多時，夫瑯禾費衍射的縱向場強分量Iz相當可觀，接近橫向場強的百分之二十而不能忽略.

(3)平面光波入射波長級尺寸矩孔的矢量夫瑯禾費衍射.

圖4 波長級尺寸矩孔的矢量夫瑯禾費衍射

波長為λ=250nm的平面光波入射0.1μm×0.2μm的矩孔屏，分別由式(4)和(8)計算z=40μm處的衍射光強圖樣4a和4b，式(5)計算4a和4b間的差異為圖4c，可見波長級尺寸矩孔夫瑯禾費衍射的縱向分量場強Iz超過了橫向場強的百分之幾，一般也不能忽略.

3 結語

從電磁理論出發導出了平面偏振光波的矩孔矢量夫瑯禾費衍射光場的解析計算式，探討了矢量衍射的實質和特征以及數百倍波長尺寸孔、亞波長孔和波長級尺寸孔的夫瑯禾費衍射情形，計算機模擬實驗表明了該解析計算式的有效性和可靠性.這對微孔、微透鏡、微光柵等微納米光學元器件具有意義和價值，可在近場光學、微光學、衍射成像、光束傳輸變換和光信息處理等方面發揮作用.

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The Vector Fraunhofer Diffraction of Polarized Planar Light-Wave Throughout Rectangular Micro-Aperture

CHANG Shan

(School of Physics & Electronics Information, Shangrao Normal University, Shangrao 334000, China)

The analytic calculation formula of the vector Fraunhofer diffraction of polarized plane wave throughout rectangular aperture is derived with Rayleigh-Sommerfeld vector diffraction formula, and then the essence and characteristics of the vector diffraction and the Fraunhofer diffraction situation of ten times size rectangular aperture and sub-wavelength rectangular aperture and wavelength size rectangular aperture are discussed. The simulations show that the calculation formula is valid and reliable and can play its due role in near field optics, micro-optics, diffraction imaging, light beam transmission and transformation, and optical information processing, and other aspects.

Electromagnetism optics; the vector diffraction of rectangular aperture; polarized plane light-wave; Fraunhofer diffraction; vector diffraction formula

10.14182/J.cnki.1001-2443.2015.03.006

20013-10-19

江西省自然科學基金(20122BAB202008)；江西省教育廳科技計劃項目基金(2011GJJ11612)；江西省教育廳科技落地計劃(KJLD12046).

常山(1964-),男,山東陽谷人,碩士,副教授,主要從事光學教學和信息光學研究.

常山.平面偏振光波的微矩孔矢量夫瑯禾費衍射[J].安徽師范大學學報：自然科學版，2015，38(1)：241-244.

O436.1

A

1001-2443(2015)03-0241-04