灰色變異粒子群算法在公交客流量預測中的應用＊

米根鎖，梁 利，楊潤霞

（蘭州交通大學自動化與電氣工程學院，甘肅 蘭州730070）

1 引言

公交客流量是公交系統規劃和發展的基礎數據，由于公交客流量影響因素的隨機性、不確定性和復雜性，因此一些傳統的預測法預測的客流量與實際客流量之間存在較大的偏差［1～3］。灰色理論適合于不確定、隨機因素影響領域的預測，并在這些預測領域中得到了廣泛的應用［4］。公交客流量的預測可看作是個灰色系統，將灰色理論引入到公交客流量預測領域中，運用灰色預測法來預測未來的公交客流量［5］。但是，傳統灰色預測法在求解模型參數時采用最小二乘法，最終建立的模型求得的預測值與實際值擬合度較差，預測結果誤差較大，預測的精度不高［6］。針對以上問題，本文在傳統灰色預測法的基礎上，引入變異粒子群算法對灰色預測模型中的參數進行優化，以提高其預測精度，使其能對公交客流量進行準確預測。并選取1987年～1991年及1994年～2003年銅州市公交客流量的實際數據，對灰色變異粒子群組合預測模型的精度和可行性進行分析，仿真結果得出該組合預測模型優于傳統的（單變量一階灰色預測模型）GM（1，1）及其他幾種常用預測算法。用此組合預測模型來預測公交客流量，能準確地預測出未來公交客流量的大小，為公交系統的規劃與建設提供準確的數據，有利于城市公交的快速發展。

2 傳統的灰色GM（1，1）模型

灰色系統采用將原始數據進行直接累加或者移動平均加權累加的方法，生成具有一定規律的新數列，且利用特定的曲線逼近其相應曲線，以逼近的曲線作為模型，對待預測系統進行預測。該方法的優點是預測時需要的原始數據較少，數據分布可以隨機，僅需原始時間數據序列即可［7］。

目前，在灰色系統理論中應用最為普遍的一種預測模型是GM（1，1），其不受一般統計模型對原始數據各種要求的約束限制，且考慮影響因素較少，具有較強的有效性和實用性。在建立GM（1，1）模型時，首先要對原始數據數列進行處理，構造出規律性較強的新數列，即對原始數列進行一次累加，生成新的數列。其建模過程如下：

原始數據數列X（0）：

對式（1）進行一次累加生成新數列X（1）：

由于累加生成的式（2）新數列能將任意非負數列轉化為非減的遞增數列，因此使該數列減弱了隨機性，加強了規律性。

對式（2）中的X（1）建立其白化方程為：

式（3）是含一個變量的一階微分方程，記為GM（1，1）。記參數數列運用最小二乘法求解參數：

式（4）中矩陣B為：

求得微分方程（3）的響應方程為：

3 變異粒子群算法

1995年Kennedy 和Ebehart提出了粒子群PSO（Particle Swarm Optimization）算法，PSO 算法最初的思想源于對鳥群的群體捕食行為的研究。在群體中，各個個體通過信息共享和交流搜索出食物所在的位置，即待優化問題的最優解。在該算法中，每個個體就是待優化問題的一個隨機解，即被稱之為“粒子”。每個粒子具有各自一個適應值，該適應值由待優化問題的目標函數決定，每個粒子還具有各自的飛行速度和方向。PSO 算法開始先隨機初始化一群粒子（隨機解）及其速度，然后每個粒子根據一定的公式更新自己的位置和速度，迭代直到滿足終止條件為止。每一次迭代過程中，每個粒子依據個體極值Pi和全局極值Pg來更新自身的飛行方向（位置）和速度，最終找到全局位置最優的那個粒子（最優解），即優化問題的最優解。每個粒子更新自己的速度和位置的公式如下：

其中，Vi（t）是粒子i在第t次迭代的速度；Xi（t）是粒子i第t次迭代的位置；rand（）是隨機數，取值為（0，1）之間的數；C1、C2是學習因子，一般在（0，2）間取值；W是慣性因子。粒子群算法雖然有很好的魯棒性，但容易陷入局部最優。為了克服該算法的缺點，文獻［8］對該算法進行改進，避免陷入局部最優，使得在優化中達到全局最優。本文基于此文獻改進PSO 算法，加入變異算子的思想，在粒子群算法中加入變異因子，即在粒子陷入局部最優時，按照一定的擾動方式對部分最優解重新初始化，避免了陷入局部最優，在全局中搜索出最優解。首先判斷粒子的群體適應度方差σ2，當σ2等于或低于設定閾值時，粒子群有可能陷入局部最優，粒子找到的解有可能是局部最優解［8］，同時根據式（10）判定需初始化的粒子數目是否大于或等于2/n，對個體極值遠離全局極值的粒子重新初始化，跳出在局部范圍搜索，其初始化判斷公式如下：

其中，gbest為當前粒子群群體最優解；gi為個體粒子i最優解；gmin為非擾動下限值；gmax為非擾動上限值。若gmin≤p≤gmax則粒子群不初始化，否則初始化。為了表述本文加入變異算子的性能優于文獻［8］，以三個簡單的函數為測試對象，對本文加入變異因子使粒子群算法跳出局部最優的變異算法與帶變異算子的自適應粒子群優化算法（PSOH）的收斂性能進行比較。

求解f1（x）＝x2＋2的最小值，在測試中學習因子采用非對稱形式（提高收斂速度），C1＝0.4，C2＝0.9；慣性權重為Wmin＝0.2，Wmax＝0.8；種群數n＝50；最大迭代次數nmax＝30。兩種算法的性能仿真結果如圖1所示。

Figure 1 Function f1（x）optimization evolutionary curves圖1 函數f1（x）尋優進化曲線

測試結果表明，PSO－H 算法在第17次達到最優值2，而本文加入變異因子后，在第12次達到最優解，該算法的性能明顯優于PSO－H 算法，避免了PSO 陷入局部收斂，具有良好的性能，同時也說明了加入變異算子改進粒子群算法的可行性和優越性。

求解f2（x）＝10cos（2πx）＋10的最小值，測試中C1＝0.4，C2＝0.9；慣性權重為Wmin＝0.2，Wmax＝0.8；種群數n＝30；最大迭代次數nmax＝50。兩種算法的性能仿真結果如圖2所示。

Figure 2 Function f2（x）optimization evolutionary curves圖2 函數f2（x）尋優進化曲線圖

測試結果表明，PSO－H 算法在第31次達到最優值0，而本文加入變異因子后，在第16次達到最優解。

求解f3（x）＝5sin（2πx）＋2的最小值，測試中C1＝0.4，C2＝0.9；慣性權重為Wmin＝0.2，Wmax＝0.8；種群數n＝30；最大迭代次數nmax＝50。兩種算法的性能仿真結果如圖3所示。

Figure 3 Function f3（x）optimization evolutionary curves圖3 函數f3（x）尋優進化曲線圖

通過圖1～圖3可知，該算法的性能明顯優于PSO－H 算法，避免了PSO 陷入局部收斂，具有良好的性能，同時也說明了加入變異算子改進粒子群算法的可行性和優越性。

4 灰色變異粒子群組合模型的建立

4.1 灰色GM（1，1）模型局限性分析

文獻［6］研究表明，GM（1，1）模型運用最小二乘法求解參數時，由于式（3）將作為已知條件，因此，所求解的參數存在較大的系統誤差，無法滿足擬合條件，求得的預測方程不一定是最優的預測方程，結果會影響預測的精度，所建立的預測模型的精度方差比C及小誤差概率P較差，精度評價表如表1所示［9］。由于粒子群算法可以用于參數優化研究中［10］，因此，本文運用變異粒子群算法優化此模型的參數a、u，在可行解范圍內尋求最優參數解，以最優參數來建立預測模型，提高灰色GM（1，1）的預測精度，能準確地預測未來公交客流量。

Table 1 Model precision表1 模型精度表

4.2 灰色變異粒子群組合模型建立

由表1 可知，方差比C越小，預測的精度越高，本文以方差比為目標函數，在a、u的可行解范圍內尋求滿足目標函數最小的最優參數a、u的值，建立精度較高的預測模型。

方差比：

其中，S1為原始數據的均方差，S2為殘差的均方差。

建立組合預測模型的步驟如下：

（1）讀取原始數據序列。

（2）t＝1時，初始化粒子群。隨機初始化粒子的位置x和速度v；設定粒子的數目n；設定其它參數值。每個粒子都是一個二維向量，分別代表參數a和u。

（3）設定非擾動下限值gmin及非擾動上限值gmax；設定適應度方差閾值。

（4）隨機初始化全局最優解gbest及其局部最優gi。

（5）根據式（9）每個粒子更新自己的速度和位置，并不斷更新全局最優粒子。

（6）求解適應度函數值。每個粒子依據式（11）計算自身的適應值。適應值是評價粒子位置優劣的依據。

（7）每個粒子更新自己搜索的個體最優值和群體最優值。

（8）計算適應度方差值σ2。如果σ2等于零或者低于閾值，則算法可能陷入局部最優，且根據式（10）判斷遠離全局極值的粒子數目是否大于或等于2/n，若是則轉至步驟（10），否則轉至步驟（9）。

（9）判斷是不是達到最大迭代次數，若是，則輸出最優參數a、u，否則跳至步驟（5）。

（10）根據式（10），對部分粒子進行擾動變異即重新初始化，轉至步驟（6）。

（11）根據步驟（9）求解的最優參數a和u，建立預測模型，計算出預測數據。

5 實例分析

原始數據數列的選取為1994 年～2003 年銅州市公交客流量的歷史客流量數據（1991年、1992年、1993年 歷 史 客 流 分 別 為2 194 萬 次、2 130 萬次、1 918萬次）。在MATLAB R2007b環境下實現了傳統單一GM（1，1）灰色預測模型和灰色變異粒子群組合預測模型預測公交客流量的仿真。在實驗中學習因子C1＝0.4，C2＝0.9；慣性權重為Wmin＝0.2，Wmax＝0.8；種群數n＝50；最大迭代次數nmax＝50。兩種算法的性能仿真結果如表2所示。

Table 2 Simulation results表2 仿真結果表

從仿真結果可以看出，組合模型的預測相對誤差低于GM（1，1）預測數據的相對誤差，該組合模型預測出的客流量更接近實際客流量值，誤差相對較小。因此，將灰色預測法與變異粒子群算法相結合，建立一種組合預測模型能很好地預測公交客流量，預測誤差明顯低于單一GM（1，1）預測模型的預測誤差。兩種預測模型的C、P精度比較及平均誤差如表3所示。

由表3可知，以方差比為目標函數，運用變異粒子群算法搜索最優的參數a、u，建立的預測模型平均誤差小于單一傳統的GM（1，1）預測模型的平均誤差。兩種模型求解預測值與實際值的擬合趨勢如圖4所示。

Table 3 Comparison of Precision表3 精度比較表 %

Figure 4 Fitting between the predicted values and actual values of the two models圖4 兩種模型預測值與實際值的擬合趨勢

由圖4可知，組合預測模型預測的客流量與實際的客流量擬合較好，更接近實際數據。而單一GM（1，1）預測模型所預測的客流量與實際客流量擬合較差，偏差較大。相比灰色變異粒子群組合模型預測精度較高，更具有實用性。

為了進一步說明組合預測模型的優越性，選取1987年～1991年銅州市公交客流量為原始數據進行與隨機灰色預測［11］、遞歸網絡模型預測［12］、隨機灰色蟻群神經網絡組合模型預測［13］仿真對比，驗證此組合預測模型預測的優越性。預測值如表4所示，對比仿真圖如圖5所示，相對誤差對比如表5所示。

Figure 5 Simulation of predicted data圖5 預測值對比仿真圖

Table 4 Prediction values（/Ten thousands times）表4 預測值表 萬次

Table 5 Comparison of relative error表5 相對誤差對比表 %

幾種模型的相對平均誤差對比如表6所示。

Table 6 Comparison of average error表6 平均誤差對比表 %

幾種模型的相對誤差比較如圖6所示。

Figure 6 Relative error figure圖6 相對誤差圖

本文以1991年的客流量為例，通過以上幾種算法對其預測，并對本文算法的收斂性能進行分析，仿真圖如圖7所示。

從圖6可知，GM（1，1）算法第33次達到最優值2 143萬次，隨機灰色算法第28 次達到最優值2 130萬次，遞歸網絡算法第25次達到最優值2 135萬次，隨機灰色蟻群神經網絡算法第21次達到最優值2 150萬次，本文PSO 算法第15次達到最優值2 159萬次，由此可知，本文改進算法優于其他幾種常用預測算法，收斂性能較好。

Figure 7 Algorithm optimization evolutionary curves圖7 算法尋優進化曲線圖

由圖6可知，組合預測模型的相對誤差小于其他幾種預測算法的相對誤差，從圖7可看出，本文改進PSO 算法的收斂性能明顯優于其他幾種預測算法。實例表明，變異粒子群組合預測模型的預測精度明顯高于單一GM（1，1）預測模型及其其他幾種預測算法的預測精度，預測值更接近實際值，運用此組合預測模型更能準確地預測未來客流量的大小。

6 結束語

本文結合灰色理論與變異粒子群算法建立了一種灰色變異粒子群組合預測模型，通過具體的函數驗證了算法的優越性，并通過實例驗證分析表明，組合預測模型的預測精度明顯高于單一GM（1，1）預測模型及其其他幾種常用預測算法。因此，運用變異粒子群算法優化傳統灰色預測模型的參數，明顯提高了預測精度，將此組合模型運用到公交客流量預測中，預測數據與實際數據擬合較好，能準確地預測出公交客流量，為公交系統的發展與規劃提供科學的基礎依據，從而能夠合理地建設公交系統，促進公交系統的快速發展。

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