二維3 態Potts 量子系統的保真度與序參量

李生好，伍小兵，黃崇富，范奇恒

(重慶工程職業技術學院，重慶400037)

1 引 言

近年來，保真度作為來自于量子信息與量子計算領域的基本概念，不但可以來刻畫量子系統的量子相變，而且還可以來描述量子系統的任何內部序引起的任何類型的相變，這說明保真度開創了凝聚態物理學、量子信息與量子計算理論之間的一個重要的視角［1］. 量子相變包含著豐富的物理信息，怎樣抓住量子相變中最關鍵的物理信息是凝聚態物理研究領域的重點和難點，而保真度與序參量恰恰則提供了一個非常簡潔的度量手段，來解決這個問題.

在數值模擬領域，近年來張量網絡算法取得了巨大的進展. 所謂張量網絡算法，是指一系列張量乘積態表示的算法的統稱，包括一維的矩陣乘積態(iMPS)算法［2］，二維的糾纏投影對態(iPEPS)算法［3，4］，任意維的多尺度糾纏重整化(MERA)算 法［5，6］，Graded PEPS (gPEPS)算法［7，8］，以及準一維——自旋梯子量子系統的算法［9］等. 通過將張量網絡算法與保真度相結合，能夠研究量子多體系統的量子相變和量子臨界現象.

最近，人們對于量子q 態Potts 模型比較感興趣［10，11］，其中q =2 時，即為著名的Ising 模型.對于一維量子q 態Potts 模型來說，當q =2 與3時，該模型系統發生二級相變［12］;當q ＞3 時發生一級相變. 而對于二維量子q 態Potts 模型來說，當q=2 時，毫無疑問，此時即為Ising 模型，系統發生二級相變;那么當q=3 時，即3 態Potts模型會發生一級相變或二級相變?下面，基于iPEPS 張量網絡算法，從基態保真度、約化保真度、普適序參量和局域序參量的角度，對二維量子3 態Potts 模型展開研究，該模型在對稱破缺相中存在三個簡并的基態.

2 理論模型和數值算法

現在考慮無限外加磁場二維正方格子量子3態Potts 模型的哈密頓量:

在無限大的二維正方格子平面上， ＜i，j ＞表示所有的最近鄰對;i (j)是表示第i (j)個格點;Mi

3 數值模擬結果

3.1 基態保真度

基態保真度是來自于量子信息與量子計算領域的一個基本概念，它能夠很好地描述任何一個量子多體關聯系統的量子相變，而與這個系統的內部序是傳統的對稱破缺序還是新穎的拓撲序［13］無關. 在量子信息與量子計算理論中，任何兩種態的重疊表示一種態向另一種態的變化［14，15］，可以用保真度描述這兩種態的相似程度［16，17］.

對于以外加磁場為控制參量的二維正方格子量子3 態Potts 模型，運用iPEPS 算法來進行數值模擬，能夠得到量子系統的基態波函數. 對于系統的兩個不同的控制參量λ1 和λ2，分別對應的基態波函數為| Ψ(λ1)＞和| Ψ(λ2)＞，定義這兩個基態波函數的系統基態保真度為F(λ1，λ2)= | ＜Ψ(λ2)| | Ψ(λ1)＞| . 當二維量子系統為有限的N 個格點時，那么平均單點基態保真度d(λ1，λ2)與系統基態保真度F(λ1，λ2)的關系為d(λ1，λ2)= F(λ1，λ2)1/N，也就可以得到Ind(λ1，λ2)=InF(λ1，λ2)/N.

運用iPEPS 算法，數值模擬無限二維量子3態Potts 模型時，只需每次任意選取初態就能得到三種不同對稱性的基態波函數，就能有效地計算基態保真度，也由此可以得到基態保真度在二維平面上的分叉. 如果選擇在Z3群對稱區的外加磁場λ2 的波函數| Ψ(λ2)＞作為參考態，此時單點基態保真度d(λ1，λ2)是不能區分在Z3對稱性破缺區的外加磁場λ1 的三個簡并基態的. 如果選擇在Z3群對稱破缺區的外加磁場λ2 的波函數| Ψ(λ2)＞作為參考態，此時單點基態保真度d(λ1，λ2)就能區分在Z3對稱性破缺區的外加磁場λ1 的三個簡并基態的，其中分叉的上支是一個簡并基態，分叉的下支是兩個簡并基態的重合.圖1 畫出外加磁場的二維量子3 態Potts 模型的單點基態保真度d(λ1，λ2)的分叉. 這里選擇在Z3群對稱破缺區的外加磁場λ2 =2.1 時的基態波函數| Ψ(λ2)＞作為參考態，單點基態保真度d(λ1，λ2)通過分叉，是可以區分三個簡并基態的，分叉點就是相變點［18］λc≈2.61，在分叉點處基態保真度不連續，因而這是一個一級相變點.

這里，系統相變點λc以分叉點［19］的形式表現出來的. 單點基態保真度分叉使人們探測系統的相變點時，不需要對系統的控制參量進行求微分那樣復雜，其優勢在于是普適的，是與模型無關的，因而更具有實際意義.

圖1 二維量子3 態Potts 模型單點基態保真度Fig.1 The ground -state fidelity per lattice site for quantum 3 - state Potts model in two spatial dimensions

3.2 約化保真度

這里分別計算了無限外加磁場二維正方格子3 態Potts 模型的單點和兩點約化保真度. 圖2 中選取了破缺Z3群對稱的λ2=2.1 處的ρλ2作為參考態，畫出了無限外加磁場二維正方格子3 態Potts 模型的單點(紅色三角形表示)與兩點(藍色空心圓表示)約化保真度F(ρλ1，ρλ2). 很容易看出，單點與兩點約化保真度能夠從三個簡并基態波函數中，區分任意兩個約化密度矩陣所描述的混合態，其中分叉的上支是一個簡并基態，分叉的下支是兩個簡并基態的重合. 單點與兩點約化保真度中的分叉點是一致的，而分叉點就是相變點λc≈2.61. 當控制參量外加磁場λ1逐漸增大越過相變點λc時，基態簡并情況會突然變化，從而表現出系統正經歷著一個量子相變. 也很容易得到，分叉點就是相變點，并且在分叉點處約化保真度不連續，說明這是一個一級相變點.

圖2 二維量子3 態Potts 模型的單點和兩點約化保真度的分叉Fig.2 The ground - state one - and two - site reduced fidelity for quantum 3 -state Potts model in two spatial dimensions

3.3 普適序參量

對于一個有著對稱群Z3的外加磁場的二維正方格子量子3 態Potts 系統，在經歷一個一級量子相變點中有一個普適序參量［21］. 所謂普適序參量，是一個基態波函數| Ψ ＞與這個基態波函數的對稱變換g | Ψ ＞之間的距離的某種單點保真度. 普適序參量對于二級相變是連續的，而對于一級相變是不連續的和跳躍的. 考慮在二維正方格子量子3 態Potts 模型系統的任何一個基態波函數| Ψ ＞，對于對稱算符z3群中的非零對稱算符g∈{I，ω，ω2}，其中w = exp (i2π/3)，對于這個基態波函數| Ψ ＞的對稱變換g | Ψ ＞，有單點保真度fg(λ) | 〈Ψ| g| Ψ〉.

圖3 畫出的是外加磁場λ 為控制參量的無限二維正方格子量子3 態Potts 模型的的普適序參量Ig(λ). 隨著外加磁場λ 的增大，在λc處，普適序參量Ig(λ)從非零的變為零，特別是外加磁場λ 變化跨過相變點λc≈2.61 時，普適序參量Ig(λ)是不連續的，顯示出系統在相變點處經歷了一個一級量子相變.

圖3 二維量子3 態Potts 模型的普適序參量Fig.3 The universal order parameter for quantum 3 -state Potts model in two spatial dimensions

3.4 局域序參量

局域序參量可以用來區分系統的兩個基態波函數的狀態. 一般來說，當系統經歷量子相變時，其沒有發生對稱性自發破缺的這一相的局域序參量一般為零;而發生了對稱性自發破缺的這一相的局域序參量一般不為零. 對于不同的系統，局域序參量的結構和含義會有所不同，局域序參量既可以是標量或矢量，也可以是實數或復數，局域序參量還可能是多分量的. 這里，對于二維Potts 模型就具有多分量的復數局域序參量.

系統基態波函數的PEPS 張量網絡表示可以有效提取某一個局域序參量. 一旦確定了系統的相變點λc，根據不同區域的λ ＞λc與λ ＜λc的兩個基態波函數，就可以分別得到兩個不同的單點約化密度矩陣ρ. 可以看到，3 態Potts 模型在λ＞λc與λ ＜λc的這兩個區域中的單點約化密度矩陣ρ 展現出不同的非零項的結構. 在外加磁場λ＞λc的區域，自發磁化強度＜＞或＜＞為零;而在外加磁場λ ＜λc的區域，自發磁化強度＜＞或＜＞不為零，此時， ＜＞ =＜＞，但＜＞或＜＞可能為復數. 這意味著外加磁場二維量子3 態Potts 模型存在著一個局域序參量Sx= ＜＞或Sx= ＜＞，來刻畫在外加磁場變化下量子3 態Potts 模型有著一級相變. 對于二維量子3 態Potts 模型，在運用iPEPS 算法進行數值模擬時，只需選取任意初態就很容易得到三個簡并的基態，從而可以得到自發磁化強度 (局域序參量)Sx有 | Sx| ，ω| Sx| 與| Sx| 的三個取值，其中ω = exp(i2π/3)，即系統局域序參量有3 個，其中2 個為復數. 對于外加磁場λ 小于相變點，自發磁化是一個非零值，一旦外加磁場λ 大于相變點λc，自發磁化將跳躍為零. 在圖4 中，畫出了不同外加磁場λ 下三個簡并基態的自發磁化強度(局域序參量)的實部Re (Sx)與虛部Im (Sx)的三維圖，都說明了在相變點λc≈2.61 處均會發生一個不連續的跳躍，這里是一個一級相變點.

圖4 二維量子3 態Potts 模型的自發磁化強度(局域序參量)的實部與虛部Fig.4 The real and imaginary part of the magnetization for quantum 3 -state Potts model in two spatial dimensions

4 結 論

本文主要基于二維量子系統的iPEPS［3，4］算法，從單點基態保真度、約化保真度、普適序參量和局域序參量的角度，來研究二維正方格子量子3 態Potts 模型的量子相變和量子臨界現象，均得出系統發生一級相變，而對于二維量子2 態Potts 模型，也就是Ising 模型來說，系統發生二級相變. 也提供了一個思路，基于包含iPEPS 算法在內的張量網絡算法，從單點基態保真度、約化保真度、普適序參量和局域序參量方面，可能運用在不同維數的量子多體系統，來探測系統任何類型的量子相變.在研究過程中，發現算法的精度和效率還有待繼續提高，例如使用二維量子系統的iPEPS 算法對二維量子q 態Potts 模型進行數值模擬，當q＞3 時，普通臺式計算機將無法進行計算模擬或模擬速度非常緩慢. 還有算法模擬的有限截斷維數也受限于目前計算機的能力. 下一步從系統的量子相變和量子臨界現象的理解入手，需要進一步優化和發展包括iPEPS 在內的張量網絡算法，來提高計算機模擬的精度和效率.

［1］ Tommaso R，Paola V，Andrea F，et al. Studying quantum spin systems through entanglement estimators ［J］.Phys. Rev. Lett.，2004，93:167203.

［2］ Vidal G. Classical simulation of infinite-size quantum lattice systems in one spatial dimension ［J］. Phys. Rev.Lett.，2007，98:070201.

［3］ Jordan J，Orus R，Vidal G，et al.Classical simulation of infinite-size quantum lattice systems in two spatial dimensions ［J］. Phys. Rev. Lett.，2008，101:250602.

［4］ Li B，Li S H，Zhou H Q.Quantum phase transitions in a two - dimensional quantum XYX model:Ground -state fidelity and entanglement ［J］. Phys. Rev. E，2009，79:060101(R).

［5］ Vidal G. Entanglement renormalization［J］. Phys.Rev.Lett.，2007，99:220405.

［6］ Evenbly G，Vidal G. Algorithms for entanglement renormalization［J］. Phys. Rev. B，2009，79:144108.

［7］ Shi Q Q，Li S H，Zhao J H，et al. Graded projected entangled-pair state representations and an algorithm for translationally invariant strongly correlated electronic systems on infinite - size lattices in two spatial dimensions［J］. arXiv:0907.5520.

［8］ Li S H，Shi Q Q，Zhou H Q. Ground-state phase diagram of the two-dimensional t-J model［J］. arXiv:1001.3343.

［9］ Li S H，Shi Q Q，Su Y H，et al. Tensor network states and ground - state fidelity for quantum spin ladders［J］.Phys.Rev.B，2012，86:064401.

［10］ Potts R B. Some generalized order -disorder transformations［J］. Proc. Cambridge Philos. Soc.，1952.48:106.

［11］ Wu F Y. The Potts model［J］. Rev. Mod. Phys.，1982，54:235.

［12］ Dai Y W，Hu B Q，Zhao J H，et al. Ground-state fidelity and entanglement entropy for the quantum threestate Potts model in one spatial dimension ［J］. J.Phys. A:Math. Theor.，2010，43:372001.

［13］ Zhou H Q，Barjaktarevic J P. Fidelity and quantum phase transitions ［J］. J. Phys. A:Math. Theor.，2008，41:412001.

［14］ Alberti P M. Stochastic linear maps and transition probability［J］. Lett. Math. Phys.，1983，7:25.

［15］ Wootters W K. Statistical distance and Hilbert space［J］. Phys. Rev.D，1981，23:357.

［16］ Jozsa R. A new proof of the quantum noiseless coding theorem［J］. J. Mod. Opt.，1994，4l:2315.

［17］ Schumacher B. Quantum coding［J］. Phys. Rev. A，1995，51:2738.

［18］ Zhao J H，Wang H L，Li B，et al. Spontaneous symmetry breaking and bifurcations in ground-state fidelity for quantum lattice systems ［J］. Phys. Rev. E，2010，82:061127.

［19］ Crawford J D. Introduction to bifurcation theory［J］.

Rev. Mod. Phys.，1991，63:991.

［20］ Liu J H，Shi Q Q，Zhao J H，et al. Quantum phase transitions and bifurcations:reduced fidelity as a phase transition indicator for quantum lattice many - body systems［J］. J. Phys. A:Math. Theor.，2011，44:495302.

［21］ Liu J H，Shi Q Q，Wang H L，et al. Universal construction of order parameters for translation -invariant quantum lattice systems with symmetry-breaking order［J］. Phys. Rev. E，2012，86:020102.