特征函數的梯度估計

李上達, 周振榮

(1.湖北中醫藥大學 信息工程學院, 武漢 430065;2.華中師范大學 數學與統計學學院, 武漢 430079)

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特征函數的梯度估計

李上達1, 周振榮2*

(1.湖北中醫藥大學 信息工程學院, 武漢 430065;2.華中師范大學 數學與統計學學院, 武漢 430079)

特征值; 特征函數; 梯度

定理1如果M是n維黎曼流形,Ba(x)是M中以x為中心、以a為半徑的球.對于充分小的a,如果在Ba(x0)上有Ric(M)≥-κ,κ≥0,Δu=-λu,u>0,則有

其中,x0∈M是任意一點.

1 定理的證明

證明分3步進行.

首先,運用Bochner 公式,有(Δu=-λu)

(1)

固定一點p,并在附近選取適當的標架,使得ui(p)=0(i≥2),u1(p)=(u)(p),所以有

故有

(2)

令

Δ|u|2=2|u|Δ|u|+2||u||2,

(3)

由(1)和(2)得

取δ2=mλ,其中,m>1,則

令m=n,則

于是有

(4)

直接計算得

(5)

Δ|u|=uΔφ+φΔu+2φu=

uΔφ-λφu+2φu,

由此得以及(4)得

對任意的ε>0,則由(6)得

(6)

代入(6)得

最后有

(7)

在Ba(x0)中考慮函數

其中,ρ是從x0算起的距離.注意F|?Ba=0,如果u=/ 0,則F(x)必在Ba(x0)的內部達到極大值,并在極大值點上有u=/ 0.至于u≡0的情況,定理的結論自然成立.

設x1∈Ba(x0)為F(x)的極大值點.如果a充分小,則可使x1不是x0的割點,則由極大值原理有

F(x1)=0,

(8)

ΔF(x1)≤0.

(9)

在x1處,(8)為:

(10)

而(9)為:

(11)

將(10)代入(11)式得

(12)

(13)

其中,C是僅與n有關的常數.將上述估計代入(12)得

(14)

但在點x1處(10)成立,所以有

(15)

將(15)代入(14)得

(16)

把上式兩端乘以(a2-ρ2)2,由于F=(a2-ρ2)φ,則在x1點有

其中,C1,C2是僅與n有關的常數,因此有

此時分兩種情況計論：

(17)

因此當限制在Ba/2(x0)上時有

即

定理1得證.

2 推論

由定理1,很容易得到如下推論:

推論1如果M是n維黎曼流形,Ba(x)是M中以x為中心、以a為半徑的球.如果在M上有Ric(M)≥-κ(κ≥0),Δu=-λu,u>0,則對于充分小的a有

其中,x0∈M是任意一點.

[1]ChoiHI,WangAN.Afirsteigenvalueestimateforhypersurfaces[J].JDiffGeom, 1983, 18: 559-562.

[2]KotaniM.Thefirsteigenvalueofhomogeneousminimalhypersurfacesinaunitsphere[J].TohokuMathJ, 1985, 37:523-532

[3] 丘成桐,孫理查.微分幾何講義[M].北京:高等教育出版社,2004.

An estimate of the gradients of some eigen-functions

LI Shangda1, ZHOU Zhenrong2

(1.Information Engineering College, Hubei University of Chinese Medicine, Wuhan 430065;2.School of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Wuhan 430079)

eigenvalue; eigenfunction; gradient

2014-08-29.

國家自然科學基金項目(10871149).

1000-1190(2015)02-0182-04

O186

A

*通訊聯系人.E-mail:zrzhou@mail.ccnu.edu.cn.