時滯Hopfield神經網絡的概周期解?

張若軍， 孟艷雙， 盧春閣

(1. 中國海洋大學數學科學學院，山東 青島 266100；2. 中國海洋大學信息科學與工程學院，山東 青島 266100；3. 山東交通學院理學院，山東 濟南 250357)

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時滯Hopfield神經網絡的概周期解?

張若軍1， 孟艷雙2,3， 盧春閣1

(1. 中國海洋大學數學科學學院，山東 青島 266100；2. 中國海洋大學信息科學與工程學院，山東 青島 266100；3. 山東交通學院理學院，山東 濟南 250357)

主要研究一類無限區間上的具有S-分布時滯的Hopfield神經網絡模型的概周期解問題。一方面去掉激活函數必須滿足全局Lipschitz條件的限制，另一方面擴大時滯的應用范圍，利用Banach不動點定理和不等式分析技巧，得到了保證所研究的神經網絡的概周期解的存在性與全局吸引性的充分條件，并用一個例子說明了所得結果的有效性與可行性。本文結果在一定程度上改善和推廣了已有文獻的結論。

Hopfield神經網絡；概周期解；S-分布時滯；全局吸引性

時滯Hopfield神經網絡的動力學性質在神經網絡的設計和應用方面發揮了重要的作用[1-2]。在真實的神經系統中，因為生物因素和環境參數隨時間波動，所以考慮概周期解比周期解更具有現實意義。近年來，時滯Hopfield神經網絡模型的概周期解有一些很好的結果[3-8]，但很多早期的文獻所考慮的時滯或是離散時滯或是連續時滯，且常假設激活函數是全局Lipschitz的。本文將在去掉激活函數全局Lipschitz條件的限制及擴大時滯的應用范圍的情形下，研究一類更廣泛的具有S-分布時滯的Hopfield神經網絡模型的概周期解問題。

1 模型描述和預備知識

考慮無限區間(-∞，0]上的S-分布時滯Hopfield神經網絡模型

(1)

其中:n表示神經元的個數；xi(t)是第i個神經元在t時刻的狀態；ci(t)>0表示衰減率，gj表示激活函數；bij(t)表示第j個神經元對第i個神經元的連接權重；Ii(t)是外部輸入；Φi(t)是(-∞,0]上的有界連續函數。

2 主要結果

定理1 若系統(1)滿足

則系統(1)一定存在唯一的概周期解。

證明 對任意φ(t)∈S，考慮系統

(2)

定義映射

從而，對任意φ∈S*，有

由(A1)，

把映射T在S*上的限制仍記為T，首先證明映射T是從S*到S*的自映射。事實上，對所有φ∈S*，有

θ))dηij(θ)]ds|≤

這蘊含了Tφ∈S*。因此，映射T是從S*到S*的自映射。

再證明映射T是壓縮映射。事實上，對

?φ,ψ∈S*，‖T(φ)-T(ψ)‖=

‖φ-ψ‖=q‖φ-ψ‖。

因為0

定理2 假設定理1中的所有條件成立，則系統(1)的概周期解x*(t)是全局吸引的。

x(t)-x*(t),i=1,2,…,n，則有

(3)

顯然，系統(1)的解x*是全局吸引的當且僅當系統(3)的零解是全局吸引的。

‖y(t)‖≤D,?t>0

(4)

(5)

如果(5)式不成立，則必存在t1>0，使得

‖y(t1)‖=lD

(6)

‖y(t)‖

(7)

由(3)式及(A1)，(A2)，有

此與(6)式矛盾，所以(5)式成立。令l→1，則(4)式成立。

(Ⅱ) 證明系統(3)的零解是全局吸引的。

(8)

由(Ⅰ)知，存在σ≥0，使得

(9)

由上確界極限定義和(9)式，對于充分小的γ>0，存在t2>0，對任意t≥t2，有

‖y(t)‖≤(1+γ)σ

(10)

(11)

由(9)～(11)式，當t≥t2+T時，有

所以

(12)

3 例子

令n=2，考慮如下具有S-分布時滯的Hopfield神經網絡模型

易驗證定理2的條件滿足，故系統(13)存在一個全局吸引的概周期解。

注2 離散時滯和連續時滯互不包含，而S-分布時滯包含了上述兩種時滯，更具普遍性。

4 結語

本文在去掉激活函數全局Lipschitz限制條件以及擴大時滯的范圍的情形下，研究了一類具有S-分布時滯的Hopfield神經網絡模型的概周期解問題，得到了保證概周期解的存在性與全局吸引性的充分條件，改善和推廣了已有文獻的結果，并用一個例子說明了所得結果的有效性與可行性。

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AMS Subject Classification: 34K14

責任編輯 陳呈超

Almost Periodic Solutions for Delayed Hopfield Neural Networks

ZHANG Ruo-Jun1, MENG Yan-Shuang2,3, LU Chun-Ge1

(1. School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100, China; 2. College of Information Sciences and Engineering, Ocean University of China, Qingdao 266100, China; 3. School of Science, Shandong Jiaotong University, Jinan 250357, China)

In this paper, we investigate the existence and global attractivity of almost periodic solutions for the Hopfield neural networks with S-type distributed delays on an infinite interval. Removing the global Lipschitz conditions of activation functions, and expanding the scope of application of delays, we give some sufficient conditions ensuring existence and global attractivity of almost periodic solutions for the addressed neural networks by applying Banach fixed point theorem and inequality technique. Moreover, an example is given to illustrate the effectiveness of our results. The results of this paper improve and generalize the results in the literature to a certain extent.

Hopfield neural networks; almost periodic solutions;S-type distributed delays; global attractivity

國家自然科學基金項目(11171374;11171315)；山東省自然科學基金項目(ZR2011AZ001;ZR2011AM003)資助

2013-05-31；

2014-06-20

張若軍(1970-)，女，副教授。E-mail:zhangru1626@sina.com

O175

A

1672-5174(2015)06-128-04

10.16441/j.cnki.hdxb.20130248