用分類的數(shù)學(xué)思想討論冪指法可解的排列組合問題

萬海芬

排列組合屬于數(shù)學(xué)中相對(duì)獨(dú)立的一門分支學(xué)科，它研究的核心問題是在給定條件下的某事件可能出現(xiàn)的情況總數(shù)。排列組合既是學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論基礎(chǔ)，又是組合數(shù)學(xué)中最基本的概念。由于排列組合問題千變?nèi)f化，解法靈活，條件隱晦，思想抽象，難以找到解題的突破口。因而在求解排列組合應(yīng)用題時(shí)，除了做到排列組合分清，加法乘法原理辯明外，還應(yīng)注意避免重復(fù)或遺漏。

在排列組合問題中，除了最直觀的捆綁法和插空法外，還有常用的冪指法等。這里，主要討論分類的數(shù)學(xué)思想解決能用冪指法解決的問題。

冪指法屬于分步法的一種特殊情況，完成目標(biāo)事件的每一步方法的個(gè)數(shù)是相同的，即m1=m2=…=mn=m那么總數(shù)N=mn，因此我們也可稱它為乘方原理。冪指法一般出現(xiàn)于允許重復(fù)的排列問題中。這類問題研究的對(duì)象是不受位置約束的元素，一般把n個(gè)不同的元素?zé)o限制地安排在m個(gè)不同的位置上的排列數(shù)為N=mn。不難看出這類排列問題允許空位的存在。并且每一個(gè)位置中的元素個(gè)數(shù)不受限制。所以我們可以根據(jù)位置的數(shù)量進(jìn)行分類。

例：把三名實(shí)習(xí)生分配到5個(gè)車間實(shí)習(xí)，共有多少種不同的分法？

利用冪指法解：每名實(shí)習(xí)生都有5種不同的分法。所以3名實(shí)習(xí)生共有53=125（種）不同的分法。

利用分類的數(shù)學(xué)思想去解，根據(jù)所選車間的數(shù)量進(jìn)行分類。

第一類：只選一個(gè)車間實(shí)習(xí)。

從5個(gè)車間中任選一個(gè)車間，3人同去一個(gè)車間有C51C33=5（種）分法。

第二類：選兩個(gè)車間實(shí)習(xí)。

首先從五個(gè)車間中任取兩個(gè)車間，有C52種取法。針對(duì)每取出的兩個(gè)車間又各有幾種分配方法，不妨以取到1號(hào)車間和2號(hào)車間為例，（1）1號(hào)車間可以去1人。2號(hào)車間去2人。這時(shí)，1號(hào)車間的1人來自已有的3人，余下的2人去2號(hào)車間，有C31C22種分配方法。（2）1號(hào)車間去2人，2號(hào)車間就去1人。這時(shí)1號(hào)車間的2人來自已有的3人，余下1人去2號(hào)車間。有C32C11種分配方法。此時(shí)共有C31C22+C32C11=6（種）分配方法。而兩個(gè)車間的取法又有C52種取法，所以選兩個(gè)車間實(shí)習(xí)的方法共有C52（C31 C22+C32C11）=60（種）。

第三類：選三個(gè)車間實(shí)習(xí)。

從五個(gè)車間中任取三個(gè)車間。有C53種取法。三個(gè)實(shí)習(xí)生只能每人去一個(gè)車間，又能進(jìn)行全排列。所以共有C53A33=60（種）分配方法。

綜上所述，共有C51C33+C52（C31C22+C32C11）+C53A33=125（種）不同的分配方法。

相對(duì)冪指法，分類思想解決本題較為復(fù)雜，但通過幾年的教學(xué)發(fā)現(xiàn)，能用分類思想解決此題，就能解決一系列相關(guān)題目。并為不能用冪指法去解決的題目的解題思路提供幫助。如：

1.將4個(gè)不同的小球，放入編號(hào)為1、2、3、4的盒子中。

（1）求有多少種不同的放法？

（2）若1號(hào)盒子中有兩個(gè)球，求有多少種不同的放法？

（3）若沒有空盒子，求有多少種不同的放法？

（4）若有兩個(gè)空盒子，求有多少種不同的放法？

解析：

（1）根據(jù)所選盒子的數(shù)量進(jìn)行分類。第一類：只取一個(gè)盒子，有C41=4（種）取法。4個(gè)球會(huì)進(jìn)入同一個(gè)盒子。也就有C41=4（種）放法；第二類：取兩個(gè)盒子，有C42=6（種）取法。這時(shí)針對(duì)每取到的2個(gè)盒子都有C41C33+C42C22+C43C11=14（種）取法。所以共有C42（C41C33+C42C22+C43C11）=84（種）不同的取法；第三類：取三個(gè)盒子，有C43種取法。這時(shí)針對(duì)每取到的3個(gè)盒子又有C41C31C22+C41C32 C11+C42C21C11=36（種）取法。所以共有C43（C41C31C22+C41C32C11+ C42C21C11）=144（種）取法；第四類：取4個(gè)盒子，共有4個(gè)球，相當(dāng)于做一次全排列。即有A44=24（種）不同的放法。所以共有4+84+144+24=256（種）不同的放法。

（2）若1號(hào)盒子中有兩球，相當(dāng)于剩下兩個(gè)球要放進(jìn)三個(gè)盒子。同樣可以根據(jù)盒子的數(shù)量進(jìn)行分類。第一類：只取一個(gè)盒子，有C31種放法；第二類：取2個(gè)盒子，有C32種取法，共有2個(gè)小球，可以進(jìn)行排列，即A22C32。所以共有C42（C31+A22C32）=54（種）不同的放法。

（3）若沒有空盒子，恰好4個(gè)盒子全用到了。相當(dāng)于（1）中的第四類。

（4）若有兩個(gè)空盒子，也就是從4個(gè)盒子中用到兩個(gè)盒子。正好相當(dāng)于（1）中的第二類。

2.把5個(gè)相同的小球放入3個(gè)形狀不同的盒子里，如果允許有盒子不放球，求有多少種不同的放法？

解析：可以根據(jù)盒子的數(shù)量進(jìn)行分類。第一類：取一個(gè)盒子，有C31=3種方法；第二類：取2個(gè)盒子，有C32種。針對(duì)每取到的兩個(gè)盒子，都有4種不同的放法，所以共有4C32=12種放法；第三類：取3個(gè)盒子，有1種取法，5個(gè)小球可分為1、1、3和1、2、2兩組。在第一組中，3個(gè)球可以放進(jìn)任意一個(gè)盒子中，有3種不同的放法，在第二組中，1個(gè)球可放進(jìn)任意一個(gè)盒子中。也有三種不同的放法，因?yàn)樾∏蛳嗤杂?+3=6（種）不同的放法。合起來，共有3+12+6=21（種）不同的放法。

……

在教學(xué)過程中發(fā)揮典型題的作用，發(fā)展學(xué)生思維，解決排列組合應(yīng)用問題是教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，更是發(fā)展學(xué)生思維的好素材。如何抓住重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，首先要發(fā)揮典型問題的作用。因此，本例是典型題，通過典型題掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法。但僅僅這樣是不夠的。“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)。”只有發(fā)展思維，分析問題、解決問題的能力才能提高，基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法才能在解決數(shù)學(xué)問題中用得上、用得好。

編輯 李 姣