采用弱基準和抗差估計的重力網平差

趙德軍，張敏利，王 強，陳永祥，2

（1．西安測繪總站，陜西 西安710054；2．大地測量與地球動力學國家重點實驗室，湖北 武漢430077）

高精度重力測量主要是通過絕對重力測量和相對重力測量來實現的［1］：①絕對重力儀測定的原始觀測值中，加入各項改正（包括固體潮改正、海潮負荷改正［2］、氣壓改正、極移改正、光速有限改正和高度改正）得到基準點的絕對重力值［3］。②相對重力儀測量重力點間的重力段差，再聯測至少1個已知重力點即可算出所有未知點的重力值。

鑒于絕對重力儀測量精度有限，重力網平差采用弱基準，所謂“弱基準”是指重力網平差時不固定任何重力點，所有絕對觀測量及相對觀測量將賦以適當的權，均作為觀測量參與平差［4－5］。我國2000國家重力基本網便采用弱基準平差方法［6］。

本文采用弱基準和抗差估計法［7］，按2000國家重力基本網的方法處理了沿海某測區絕對、基本網和一等網重力測量數據［6，8］。

1 平差模型

1．1 相對重力預處理

預處理流程按文獻［1］執行：①儀器讀數的格值轉換；②固體潮改正；③氣壓改正；④儀器高改正；⑤零漂改正；⑥計算相對聯測段差。

本工程測區范圍在我國近海，因此預處理時加入了海潮負荷改正。海潮負荷改正執行IERS2003規范，采用重力格林函數與海潮潮高作褶積積分來計算［2］。軟件采用美國加州大學開發的“SPOTL”軟件包，海潮模型采用德國2011年發布的EOT11 A，該模型是分辨率為7．5′×7．5′的全球海潮模型。

1．2 弱基準平差數學模型

對基準點的絕對重力觀測值，可列出絕對重力觀測誤差方程，其形式為

式中：vi為絕對重力觀測殘差，gi為i點的平差重力值，g0i為i點絕對重力觀測值。

將經過預處理后的每臺儀器相鄰兩點的段差觀測值作為觀測量，一臺儀器在i點和j點之間的段差觀測值的誤差方程為［1］

式中：vij為相對觀測殘差；gi，gj分別為測站i，j點平差后的重力值；gRZi，gRZj分別為測站i，j點經過預處理后的相對聯測觀測值；Ri，Rj為儀器在測站i，j點的觀測讀數；CK為重力儀的M 次（一般取1或2）多項式格值函數的K次格值改正因子；Xn，Yn為儀器周期誤差參數（對于LCR G型重力儀有7個周期項）［9］。

部分相對觀測量含有粗差，因此平差中采用了抗差等價權，對所有的觀測量（相對測量、絕對測量）列出如下的誤差方程矩陣形式：

式中：ˉP為抗差等價權，未知參數的無偏估計為［4，10］

驗后單位權中誤差

式中，r為多余觀測量，未知參數的協方差矩陣

2 重力測量數據處理

某沿海重力測量工程中，用FG5、A10絕對重力儀分別測量了30和4個基準站的絕對重力值，精度在3×10－8～5×10－8ms－2，點位均勻分布在中國近海（見圖1）；16臺 LCR－G 型、7臺 Burris、1臺CG－5重力儀聯測了80余條基本網測段，400余條一等網相對重力測段。

2．1 預處理精度統計

相對重力段差聯測中誤差的計算見文獻［1］，精度統計如下：

圖1 絕對重力點分布圖

1）基本網測段聯測中誤差限差m0為10×10－8ms－2。基本網中13%的測段精度小于1／3m0，30% 介 于 1／3m0～2／3m0，57% 介 于 1／3m0～2／3m0，所有測段精度滿足要求。

2）一等網測段中誤差限差m0為25×10－8ms－2，部分海上測段可適當放寬到2m0。一等測段29%的精度小于1／3m0，47%介于1／3m0～2／3m0，22%介于1／3m0～2／3m0，2%介于1m0～3／2m0，所有一等測段中誤差都滿足要求。

3）預處理后的段差按最少邊數構成的獨立環來計算閉合差，結合文獻［1］，閉合差限差

式中：n0，n1分別為構成閉合環的基本網、一等網測段數；m0，m1分別為基本網、一等網段差中誤差的限差。相對重力聯測路線共形成144個閉合環，閉合差統計見表1。

表1 閉合環閉合差統計

1個閉合環超限，該環是由兩個外業隊測量的3條測段構成的，外業無法發現閉合環是否超限，因此通過內業抗差降權來處理。表2是構成閉合環的3條測段抗差降權統計，可以看出抗差后驗權明顯降低，甚至接近于0

表2 測段抗差降權統計

2．2 觀測量權的確定

2．2．1 絕對與相對觀測量的權比

絕對與相對觀測量的權比為［1］

先驗假設，相對重力儀的中誤差定為20×10－8ms－2，FG5絕對重力儀優于5×10－8ms－2［3，11］，A10絕對重力儀精度約為9×10－8ms－2，則絕對與相對觀測量權比：對于FG5為32∶1，對于A10為10∶1。

2．2．2 相對觀測量之間的權比

相對重力儀的測量精度主要受運輸工具影響，表3給出了汽車、輪船為載體測量的段差精度統計。

表3 不同載體測量段差統計 10－8 ms－2

則兩種載體相對觀測量的權比為［6］

由此確定：絕對重力、汽車、輪船觀測值的先驗權比為32（10）∶1∶0．5。

2．2．3 抗差估計確權

在參加平差的觀測量中，絕對觀測量和儀器檢定的長基線聯測成果均采用先驗權且固定權；對于汽車、輪船等觀測量先采用先驗權，再采用抗差估計定權。

抗差估計采用IGG等價權［4，10］。根據抗差估計理論，經過試算，認為抗差估計等價權模型參數應取為k0＝1．5，k1＝4．5，迭代計算收斂數ε＝2×10－8ms－2，既最大限度采用了原始測量成果，又消弱了含有較大誤差的測量成果對平差結果的影響［7］。抗差估計后，共剔除6條粗差，占相對觀測方程的0．4%，約110個觀測量降權。

2．3 儀器參數的確定

從式（2）中可看出，每臺重力儀需要顧及的一、二次格值因子和周期誤差參數共16個。若儀器的周期誤差參數太多，很可能產生法方程秩虧或不利于提高平差精度，因此必須合理取舍格值因子CK和周期誤差Xn，Yn。若儀器參數滿足下面的雙尾t檢驗，則可舍去此參數［4，9］。

式中：t（1－α；r）表示當置信水平為（1－α），自由度為r（即多余觀測量）時，雙尾t分布的臨界值。反復試算后確定出23臺相對重力儀共需顧及89個儀器參數。

2．4 平差結果

1）單位權中誤差（單臺儀器一測回，汽車聯測中誤差）為23．6×10－8ms－2。

2）所有重力點平差值的平均中誤差為13．6×10－8ms－2；基準點平均中誤差為3．8×10－8ms－2；基本點平均中誤差為8．9×10－8ms－2；一等點平均中誤差為14．3×10－8ms－2；最弱點為永興島附近的金銀島為27．9×10－8ms－2。

3）偶然誤差特性檢驗［12］。

殘差的正負號個數的檢驗：正號為873個，負號為887個，正負號殘差個數和的絕對值小于置信度為95%的正態分布的限差＝84，n為殘差個數，殘差符合正態分布。

殘差數值和的檢驗：殘差數值和為365×10－8ms－2，小于置信度為95%的正態分布的限差＝1 980×10－8ms－2，殘差符合正態分布。

正負殘差平方和之差檢驗：殘差平方和之差的絕對值為42 723×10－16m2s－4，小于置信度為95%的正態分布的限差＝80 941×10－16m2s－4，殘差符合正態分布。

4）抗差估計剔除粗差后，相對觀測量的殘差分布如圖2所示，從中看出殘差分布符合正態分布。

圖2 觀測殘差分布圖

3 結束語

絕對重力測量精度優于5×10－8ms－2，但這還不能起到絕對控制重力網的作用，因此采用“弱基準”的方法，將所有絕對重力值和相對重力值當成未知量并賦予適當的權來參與平差。其優點是，若絕對重力值有誤差，甚至異常，可從平差結果中發現，且絕對重力值還能通過平差得到改善。

相對重力儀在海上作業觀測質量難免較差，甚至出現異常數據，采用抗差估計能有效地降低異常數據的權重，提高平差結果精度。

LCR－G型和Burris重力儀由于其結構特性，要考慮14個儀器周期參數，儀器參數對函數模型有較強的影響，選擇有顯著影響的儀器參數，能改善計算精度，但是選擇合理的儀器參數需要經過大量的試算。因此建議，在重力測量中優先使用無儀器周期誤差的重力儀，如CG－5。

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