礦區GPS 高程異常相關向量機擬合模型

羅亦泳 張立亭 周世健 魯鐵定

(1.東華理工大學測繪工程學院，江西 南昌330013;2.武漢大學測繪學院，湖北 武漢430079;3.南昌航空大學信息工程學院，江西 南昌330063)

為滿足礦產開發、地質勘探、礦井建設、礦山災害監測及預警的需求，需在地形條件復雜的礦區建立可靠的高程基準。盡管利用GPS 可實現對目標地物三維坐標的快速精確測定，但由于GPS 的大地高系統與工程應用中要求的正常高系統之間存在高程異常，導致GPS 測定的大地高無法直接用于礦區各項工程建設。實現GPS 大地高系統與正常高系統轉換的實質是求解高程異常［1］。因此，建立精確可靠的高程異常擬合模型對于提高GPS 在礦區各項建設中的應用水平具有一定的作用。目前，GPS 高程異常擬合方法主要有:①傳統擬合方法。主要包括多項式擬合、加權平均、多面函數、線性移動擬合等方法［2］，當樣本數據較多時，可取得較好的擬合效果，但實際工程應用中樣本數據通常有限，并且該類方法對似大地水準面進行人為假設，存在一定的模型誤差，因此傳統方法的擬合精度不理想。②神經網絡模型。楊國林［3］、任東風［4］、胡伍生［5］、王小輝等［6］采用神經網絡模型分別對高程異常進行擬合，有效實現了GPS高程系統的轉換，且精度較傳統擬合方法有了較大提高，但該模型存在過學習、易陷入局部最優結構設計難等問題。③支持向量機模型。吳兆福［7］、劉曉君［8］、張祥［9］、譚興龍［10］、甘勇［11］等基于支持向量機分別構建了GPS 高程擬合模型，由于支持向量機基于統計學習理論，有效克服了神經網絡的不足，對于小樣本擬合精度有了一定程度的提高，但支持向量機待確定參數較多，擬合結果對參數較敏感，并且對核函數構造有Mercer 條件限制，在很大程度上制約了該方法的應用。2000 年Tipping 基于總體貝葉斯框架提出了相關向量機模型(RVM)，該模型作為一類稀疏概率模型，可估計預測變量的分布特征(均值、方差)，在計算預測結果的同時可估計其不確定性信息，因而在解決模式識別、分類及回歸問題等方面應用較廣泛［12］。為此，本研究提出基于相關向量機模型(RVM)的礦區GPS 高程異常擬合方法，并對預測結果的精度與可靠性進行詳細分析。

1 相關向量機回歸算法

相關向量機模型(RVM)是一種基于貝葉斯概率推理的機器學習模型，采用核函數線性加權組合的函數進行分類和回歸。在權值參數w 上定義受超參數α 控制的Gaussian 先驗概率。根據貝葉斯學習與自相關判定理論，通過樣本數據學習，獲得權值參數后驗值，其中非零權值參數w 對應的學習樣本稱為相關向量(Relevance vector，RV)。基于以上原理，算法核函數不受Mercer 條件限制，且參數少，具有較好的稀疏性。

式中，εi～N(0，σ2)，σ2為噪聲方差，w 為非零權值參數。

RVM 輸出模型將y(xi，w)表示為非線性基函數(核函數)φi(x)的加權組合。

數據集

t = [t1，…，ti，…，tn]T

的似然估計為

式中，

w =[ w1，…，wi，…，wn] 為權值參數向量，

Φ = (Φ1，…，Φi，…，Φn)T，

Φi=[ 1，φ1(x)，…，φi(x)，…，φn(x ]) .

為防止出現過學習問題，基于稀疏貝葉斯原理對每個權值參數wi定義零均值高斯先驗分布，則w 的先驗分布可表示為

式中，αi為wi的先驗分布超參數，

α = (α1，…，αi，…，αn)T

為超參數向量。

由式(2)、式(3)可得權值參數向量w 的后驗分布［13］

式中，

u = σ－2Σ ΦTt;Σ = (σ－2ΦTΦ + A)－1，

A = diag(α1，…，αi，…，αn).

由貝葉斯框架可計算超參數的似然分布:

式中，協方差C=σ2I+Φ A－1ΦT，I 為單位矩陣。

通過式(5)，采用MacKay 迭代估計法構建迭代算法，計算α、σ2的最優估值。

2 模型構建及結果分析

2.1 建模構建

GPS 高程異常擬合的實質是構建高程異常值與對應平面坐標之間的非線性函數關系，實現對GPS高程異常的預測。以GPS 高程點平面坐標作為RVM模型輸入參數，高程異常ξ 為輸出參數。記訓練數據集為xi，yi為高程點i 的坐標，n 為訓練數據個數)，測試數據集為(k為測試數據個數)，基于該訓練數據集，通過迭代算法獲得最優估值并確定非零權值參數向量及相關向量。基于RVM 建立高程異常擬合模型，計算測試數據高程異常估值及方差。根據預測變量的均值及方差，估計預測變量95%置信度的置信區間，并評價預測結果的可靠性。以柯西核函數為RVM 模型的核函數，以交叉驗證法確定RVM 模型的核函數參數γ，自動確定模型參數。

2.2 實例分析

在沿江某礦區建立包含32 個GPS 點的控制網，該控制網平均邊長1.2 km，占地面積約為50 km2。依據國家B 級GPS 網的要求進行實測，經數據處理獲得同精度無粗差的控制網三維坐標。采用二等水準聯測該GPS 控制網，獲得各控制點的平面坐標與高程異常，GPS 高程點分布見圖1。為驗證RVM 模型的穩定性，從32 個GPS 高程點中隨機選取20 個點作為訓練數據，其余12 個點作為測試數據。

圖1 GPS 高程控制點分布Fig.1 Distribution of the GPS height control points

基于20 個點的訓練數據，RVM 模型通過學習確定核函數參數γ = 3.21 ，8#、12#、16#、20#、31#點對應的訓練數據為相關向量，對應的權值向量為

w = [－0.190 05，7.804 1，

－14.183，－9.088，15 .547 ].

RVM 模型具有5 個相關向量機，算法稀疏性明顯。為測試SVM 模型的精度，分別采用多項式擬合(Polyfit)、BP 神經網絡(BP)、遺傳最小二乘支持向量機(GA －LS －SVM)、RVM 模型進行高程異常擬合，結果見表1。

表1 高程異常擬合結果對比分析Table 1 Comparison and analysis of the height anomaly fitting results m

采用平均絕對誤差(MAE)、平均絕對百分誤差(MAPE)、均方根誤差(RMSE)等3 個指標評價表1中4 類模型的擬合精度［14］，結果見表2。由表2 可知:RVM 模型的3 個指標值均低于其余3 類模型，說明該模型具有較高的擬合精度。

根據RVM 模型估計預測變量的方差計算測試數據的置信區間，結果見表3。由表1、表3 可知:測試數據集的GPS 高程異常實測值均在對應的置信區間內，進一步證明了基于RVM 模型的GPS 高程異常擬合結果的可靠性。

表2 模型擬合精度評價Table 2 Evaluation results of the height anomaly fitting of models

表3 置信區間估計Table 3 Confidence interval estimation

3 結 語

在詳細分析相關機模型(RVM)基本原理的基礎上，以某礦區為例，構建了礦區GPS 高程異常RVM擬合模型，試驗結果表明，該模型的預測精度及可靠性明顯優于多項式擬合、BP 神經網絡、遺傳最小二乘支持向量機等方法。

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