基于Kal man濾波的高聳建筑物沉降預測模型研究

楊 帆，趙利民，郭正一

（遼寧工程技術大學 測繪與地理科學學院，遼寧 阜新123000）

隨著高聳建筑物的不斷興建，由于地質條件、荷載的變化、施工質量較差等多種因素的影響，導致建筑物地基基礎和上部結構荷載相差較大，使建筑物極大可能會出現變形，比如沉降、水平位移、傾斜、扭曲、張裂等，眾多因素中，對建筑物進行沉降監測是建筑物安全施工和運行的必要措施之一［1－3］。高聳建筑物沉降監測可以及時、準確地進行變形分析，對高聳建筑物建設意義重大，是高聳建筑物防災減災的重要內容之一，可以保障建筑物的使用安全，為建筑物后期的安全運營提供了必要的評估數據。

卡爾曼濾波是一種具有無偏性的遞推線性最小方差估計，估計誤差的均值或數學期望為零。在計算方法上，卡爾曼濾波采用遞推形式，即在t－1時刻估值的基礎上。利用t時刻的觀測值，遞推得到t時刻的狀態估值。由于一次只處理一個時刻的觀測值，無需存儲先前的觀測數據，計算量大大減少，這種方法很適合處理動態系統的觀測數據［4］。另外高聳建筑物沉降變形實質是一種隨時間或空間變化的信號，可歸結為信號分析［5］。目前小波分析是一種新的高性能的信號分析方法，也是進行信號分析最新的有效工具。然而，動態變形測量信號中包含不確定性的噪聲，有用的信號不易分離，用傳統的小波分析方法很難將噪聲信號濾除 因此，本文利用小波分析并結合Kal man濾波理論，將二者有機地結合起來，進行動態沉降變形數據處理與預測研究。

1 基本模型

在動態沉降數據中，對測量得到的信號進行小波變換，剔除細節中的變異值，這樣就避免了出現大的濾波偏差，重新統計噪聲的方差。由于小波變換特有的低通濾波效應，使得分解后的測量噪聲大大減小。雖然小波變換是對相鄰幾項的加權平均的結果，但變換后相鄰之間是互不相關的，并且經過分解后的向量其自相關性也明顯減弱，使動態協方差矩陣和觀測協方差矩陣自適應于當前動態信息和觀測信息，再應用經典Kal man濾波模型進行解算，對沉降數據進行二次信號處理，獲得系統狀態的最優估計，其效果比假定的噪聲模型更符合實際，從而提高沉降變形分析的精度［9］。

1．1 小波去噪

1．1．1 連續小波變換

應用中對復雜信號分析需要進一步推動時頻變換分析理論的發展，尋求時間窗和頻率窗都可改變的時頻局部化分析，導致了小波變換的產生［10］。

如果函數ψ（）x 滿足以下容許性條件：

則稱ψ（x）為容許小波，并定義如下積分變換：

為f（x）以ψ（x）為基的積分連續小波變換，a為尺度因子，表示與頻率相關的伸縮；b為時間平移因子。

ψ（t）又稱為母小波，因為其伸縮、平移可構成L2（R）的一個標準正交基。

因為變形監測所采集的信號都是有限長度的離散信號。在實際的變形監測數據采集中，面臨離散數據情況，處理過程中要對連續小波進行針對尺度參數a和平移參數b的離散化處理。

1．1．2 離散小波變換

連續小波變換中的伸縮因子和平移因子都是連續變化的實數，在實際工程應用中，由于連續小波變換存在冗余，為了重構信號，需針對變換域的變量伸縮因子a和平移因子b進行離散化，以消除變換中的冗余

（Wψf）（a，b）＝＜f（t），ψa，b（t）＞，將a，b離散化，令b＝2－jk，a＝2－j；j，k∈Z，可得離散小波變換

1．1．3 小波去噪原理

設有觀測信號f（t）＝x（t）＋s（t）。其中，x（t）為真實信號，s（t）為噪聲信號。將觀測信號中的真實信號x（t）與噪聲信號s（t）盡可能的進行分離，即對有效的信號進行保留，對噪聲信號進行排除，即為小波去噪的實質。消除或減小原始信號的噪聲，最大程度地提取原始信號中的有用信息［11］。而真實信號的小波系數的幅值隨著尺度的增加基本保持不變，從而有效地對信噪進行分離，最后再把去噪后的小波系數進行信號的重構，得到真實信號的最優估計［12－13］。

1．2 Kal man濾波

首先假設隨機離散線性系統狀態方程和觀測方程為

式中：Xk為k時刻的系統狀態向量，Zk為k時刻的系統觀測向量，Φk，k－1為k－1到k時刻的系統狀態轉移矩陣，Γk－1為k－1到k時刻系統狀態噪聲輸入矩陣，Wk－1為k－1時刻的系統狀態噪聲，Hk為k時刻系統的觀測矩陣，Vk為k時刻的系統觀測噪聲。

關于系統過程狀態噪聲和觀測噪聲滿足如下約束條件：E［Wk］＝0，E［Vk］＝0，Cov［Wk，Vj］＝E［Wk］＝0，Cov［Wk，Wj］＝E［Wk］＝Qkδkj，Cov［vk，Vj］＝E［VkVTj］＝Rkδkj。式中：Qk是系統狀態噪聲Wk的方差陣，在卡爾曼濾波中它是一個已知的非負矩陣，Rk是系統觀測噪聲Vk的方差陣，在卡爾曼濾波中它是一個已知正定陣，δkj是Kr onecker函數。

根據最小二乘準則，通過下面的濾波基本方程可以實現用Xk來估計最優濾波值。狀態一步預測方程

狀態一步預測誤差協方差陣

狀態量估計計算方程

濾波增益矩陣方程

狀態估計誤差協方差陣方程

卡爾曼濾波方程整個計算過程是一個不斷地預測、修正的過程。在估計狀態量時不需要存儲大量的觀測數據，并且當得到新的觀測數據時，可隨時得到狀態量新的濾波值，便于實時處理觀測成果。給定初始值X0和P0，k時刻的狀態估計值Xk（k＝1，2，…），通過Zk，即能遞推得出k時刻的實時最優的濾波值。

2 實例分析

本文以某高層建筑物實際沉降變形監測數據為依據 其沉降觀測使用TOPCON DL－101C電子水準儀及其配套使用的條碼式銦鋼尺。每次觀測盡量做到了人員相對固定、儀器設備固定、固定測站數的“三固定”的作業方法，按一級變形測量精度要求進行觀測，測量精度滿足規范要求。綜合樓A座共布設了8個沉降觀測點，每個點都做了蓋板式的防護罩進行保護，確保了沉降觀測成果的準確性和連續性。

本實驗自2007年11月10日至2012年3月5日對綜合樓A座施工過程進行沉降觀測，共進行了28次觀測。首次沉降測量觀測兩次取平均值作為首次沉降觀測成果，本次沉降觀測共進行了28次，得出了該綜合樓8個點的下沉值。本實驗以1號觀測點作為處理實例。原始觀測沉降累計值如表1所示。

表1 原始觀測下沉量

2．1 沉降數據處理及預測

本文使用基于小波分析的方法用于高聳建筑物沉降監測數據的降噪處理，然后結合卡爾曼濾波的方法對高聳建筑物的沉降變形量進行預測。并以小波分析去噪后的數據作為卡爾曼濾波的輸入值，這種算法是建立在標準的卡爾曼濾波基礎上，將小波分析的優勢與卡爾曼濾波的優點相結合，來完成高聳建筑物的沉降估計和預測。

2．1．1 小波去噪預處理

運用Matlab程序對沉降數據進行小波去噪處理，本次試驗采用分解的小波函數為N＝6的Db小波，同時分解層次定為4，采用軟閾值去噪。去噪處理后的沉降曲線與原始沉降曲線對比如圖1所示，去噪后的沉降累計沉降量如表2所示。

圖1 去噪前后對比

表2 去噪后累計沉降量

從去噪后的圖像1中可以看出 經小波去噪后信號已經沒有很大的波動，觀測點位的累積沉降觀測值變得更加平滑，從而有效地消除了觀測噪聲對信號的干擾，達到了去噪的目的，下面進行卡爾曼濾波預測處理。

2．1．2 卡爾曼濾波預測處理

本文以28期的觀測數據為基礎，首先利用小波分析進行去噪，提高觀測數據的精度，然后，根據去噪后處理的變形數據作為輸入值，并結合Kal man預測模型進行逐一預測，并以后8期的累計沉降值為基礎，與單一Kal man理論所預測結果進行對比分析。其結果如圖2和圖3所示。累計沉降量處理后的預測值見表3。

2．2 結果分析

從圖3和表3中可看出，結合小波去噪分析的卡爾曼濾波預測處理后的變形曲線更加趨向于平穩，能很好的提高建筑物的沉降預測精度。通過計算，卡爾曼濾波模型直接預測的中誤差為1．14 mm，結合小波去噪分析的卡爾曼濾波模型預測的中誤差為0．77 mm。結合小波去噪分析的Kal man濾波相對于單一的卡爾曼濾波處理沉降數據的精度有明顯的提高，有效改善了動態沉降監測數據的預測精度 可以對高聳建筑物進行較好的實時預測。

圖2 卡爾曼濾波處理后曲線圖

圖3 結合小波去噪分析的卡爾曼濾波預測曲線圖

表3 累計沉降量處理后的預測值

3 結 論

本文通過對小波去噪分析結合卡爾曼濾波模型進行研究，以及對高聳建筑物沉降數據進行分析預測，有以下3個結論：

1）經小波去噪后的信號再進行卡爾曼預測效果明顯優于觀測值直接用卡爾曼濾波預測。結合小波去噪分析的Kal man濾波模型能一定程度上解決卡爾曼模型直接預測的滯后性，在一定程度上減少了預測殘差值，預測殘差也隨著信號的平滑而趨于穩定，從而取得很好的預測效果。

2）用小波分析與卡爾曼濾波綜合處理的方法在消除沉降觀測數據的噪聲干擾上存在互補，有效地提高實測動態沉降觀測數據精度，比單一方法計算結果效果更好，精度更高。

3）選擇結合小波去噪分析的Kal man濾波理論對于經小波預處理后遺留的不確定性噪聲進行二次處理，提高了變形分析的精度，解決了傳統Kalman濾波直接預測發散的問題，滿足了實時動態處理數據的精度要求，對高聳建筑物進行沉降預測精度可以很好地達到精度要求。

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