基于庫伊克模型的地面沉降預測分析

甄宗坤，蔡東健

（蘇州工業園區測繪地理信息有限公司，江蘇 蘇州215000）

地面沉降是指區域性地面高程下降的一種環境地質變化［1－2］，從地面沉降的綜合分析來看，過度開采地下水是影響其形成與發展的重要因素［3－5］，在地下水水位持續降低的情況下，地面呈現不斷下沉的趨勢，沉降范圍也隨之擴大，也就是說，地面沉降的幅度和沉降速率與地下水水位下降表現為明顯的同步、正比關系［6－8］。另外，地面沉降變化態勢延續到本期，從而使得當期地面沉降量受到自身影響［9－10］。因此，針對地面沉降與地下水水位變化的內在關系，且考慮到地面沉降受到自身變化規律的影響，本文建立了基于庫伊克變換的地面沉降預測模型，并對預測模型進行評價和分析。

1 庫伊克模型的建立

對于無限分布滯后變量模型：

式中：Yt為因變量，Xt－s（s＝0，1，2，…，t）為滯后自變量，μt為隨機擾動項，α為常數，βs（s＝0，1，2，…，t）為模型參數。

庫伊克提出兩個先驗約束：模型參數的符號都是相同的；模型參數的衰減服從某種公比小于1的幾何級數

式中：β0為常數，λ（0＜λ＜1）為分布滯后衰減率，λ的大小決定了滯后衰減的速度，其值越小，衰減速度越快。

以上兩個先驗約束對于地面沉降與地下水水位的關系是合理的，各期地下水水位對當前地面沉降的影響是正的，且這種影響隨著滯后時間的增大隨之變小

將式（2）代入式（1）并整理各項，模型變為

顯然，模型仍然無法直接估計，可對其進行庫伊克變換，減小模型參數的個數。將式（3）滯后一期，模型變為

對式（4）兩邊同乘以λ并與式（3）相減，整理各項得

整理式（5）有

令α＊＝（1－λ）α，＝β0，＝λ，＝μtλμt－1，則庫伊克模型變為

通過上述庫伊克變換，無限分布滯后模型被簡化為只有當期自變量Xt和滯后一期的因變量Yt－1自回歸模型。模型只需估計α＊，，3個參數，極大地簡化了模型，且最大程度減小參數估計中自由度的損失。同時，Yt－1與Xt的線性相關程度小于X的各滯后值之間的相關程度，從而在很大程度上削弱了多重共線性。

2 實例計算及模型評價

2．1 實例計算

本文將采用庫伊克模型對地面沉降與地下水水位以及本身的關系進行定量模擬，現收集到某地區1980～2002年連續23年內的地面累計沉降值及地下水水位統計數據，如圖1所示。

圖1 某地區地面累計沉降值及地下水水位統計數據

分別用Y和X兩個序列表示地面沉降量與地下水水位，為了保證模型參數是一致估計無偏量，對建立的庫伊克模型進行相關性檢驗。假定模型Yt＝α（1－λ）＋β0Xt＋λYt－1＋，（＝μtλμt－1）；隨機擾動項μt滿足古典假設，即

根據以上假設則有

由此可知，庫伊克模型Yt＝α＊＋Xt＋Yt－1＋μ＊t中隨機變量Yt－1與μ＊t相關，因此，不能直接采用最小二乘法對庫伊克模型進行參數估計，在估計模型前需解決兩個問題：診斷隨機擾動項μ＊t是否存在自相關；設法消除Yt－1與μ＊t的相關性。

其中T為樣本容量，R2為決定系數。給定顯著水平α＝0．05，查卡方分布表得

其中，p為滯后的期數。

采用工具變量法來消除變量Yt－1與擾動項μ＊t之間的相關性，選用替代變量Yt－1進行估計，庫伊克模型變為

根據最小信息準則以及地面沉降滯后理論，滯后期q＝2。

對Y和X兩個序列建立庫伊克模型，預測模型：

式中：Yt為第t年的地面沉降值，Xt為第t年的地下水水位，是的滯后值，且

2．2 模型評價

1）回歸方程分析。α＊＝8．499為樣本回歸方程的截距，表示自發的地面沉降量，＝0．493為地下水水位對地面沉降的影響程度，＝0．320為地面沉降受到自身趨勢的影響程度，可以看出，α＊，的符號和大小 基本符合該地區實際情況

2）擬合優度檢驗。采用決定系數R2來評價回歸方程對地下水水位和地面沉降量的模擬精度，統計模擬誤差，得到決定系數R2＝0．988 6，說明總離差平方的98．86%能被回歸方程解釋，預測模型擬合效果良好。同時，庫伊克預測模型計算所得地面沉降值與實際值相比，所得的誤差大部分在±3%以下，進一步說明預測模型能較好擬合樣本的觀測值。圖2為模型預測值與實際值的對比圖。

圖2 模型預測值與實測值的對比圖

3）預測精度分析。對庫伊克模型進行預測分析，分析結果如表1所示，均方根誤差RMSE和平均絕對誤差MAE作為相對指標來評價相同序列在不同模型中的預測結果，誤差越小，該模型預測能力強，本文庫伊克模型均方根誤差RMSE和平均絕對誤差MAE均較小，說明模型預測效果較高。計量學規定平均絕對百分誤差MAPE取值在0～5之間，則預測精度較高，希爾不等式系數TIC介于0～1之間，且數值越小預測精度越高，模型平均絕對百分誤差MAPE＝3．417，希爾不等式系數TIC＝0．016，進一步說明模型預測精度較高，預測值比較接近實際值。

表1 預測分析結果

3 結束語

針對地面沉降與地下水水位變化的內在關系，且考慮到地面沉降受到自身變化規律的影響，建立基于庫伊克變換的地面沉降預測模型，應用該模型對某地區地面沉降與地下水水位統計數據進行模擬分析，有效實現了該地區地面沉降與地下水水位以及本身之間的定量模擬，并探討模型的擬合效果和預測精度。結果表明，庫伊克模型能較好的擬合樣本的觀測值，預測精度較高，能較好的反映研究區域的地面沉降變形趨勢。因此，庫伊克模型可以推廣到地面沉降領域中去。

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