基于自回歸分布滯后模型的地面沉降預(yù)測(cè)

郇小龍，甄宗坤

（1．上海市建工設(shè)計(jì)研究院有限公司，上海200050；2．蘇州工業(yè)園區(qū)測(cè)繪地理信息有限公司，江蘇 蘇州215000）

地面沉降是一個(gè)復(fù)雜的、多種因素共同作用的環(huán)境地質(zhì)現(xiàn)象，嚴(yán)重時(shí)表現(xiàn)為地質(zhì)災(zāi)害，引起地面沉降的主要因素可分為人為因素和自然因素［1－3］。目前對(duì)地面沉降的研究工作主要圍繞人為因素展開，其中過量抽取地下水引起地面沉降成為最主要的研究對(duì)象［4－9］。

經(jīng)大量研究表明，地下水水位的變化對(duì)地面沉降的影響是一個(gè)長(zhǎng)期的過程，它往往會(huì)持續(xù)幾個(gè)監(jiān)測(cè)時(shí)期，在這一過程存在時(shí)間滯后，地下水水位的變化需要經(jīng)過一段時(shí)間才能導(dǎo)致地面沉降。另一方面，地面沉降以前的變化趨勢(shì)以及變化規(guī)律會(huì)延續(xù)到本期，從而使得地面當(dāng)前沉降量受到自身過去沉降量的影響［10－12］，因此，針對(duì)地面沉降與地下水水位變化不同步，并考慮到地面下沉受到自身的影響，本文建立考慮滯后作用的地面沉降自回歸分布滯后預(yù)測(cè)模型。

1 模型的建立與估計(jì)

1．1 自回歸分布滯后模型的建立

一般來說，地面沉降量與地下水水位變化幅度呈高度正相關(guān)，而且地面沉降的產(chǎn)生和發(fā)展過程與地下水的開采過程往往滯后一個(gè)時(shí)段，在這個(gè)過程中，會(huì)出現(xiàn)地下水水位的現(xiàn)值決定地面沉降量預(yù)期值的情況，也就是說本期的地下水水位直接決定了地面將來的沉降量［13－15］，即兩者之間存在關(guān)系：

式中：S＊t為地面沉降量的預(yù)測(cè)最佳值，Ht－1為地下水水位的現(xiàn)值，μt為隨機(jī)誤差項(xiàng)，α為常量，β為模型參數(shù)。

然而，地面沉降的發(fā)展受到其他因素的影響，地面沉降在短時(shí)間內(nèi)不會(huì)完全達(dá)到預(yù)測(cè)值 預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值存在一定誤差，兩者之間的關(guān)系：

式中：St為當(dāng)期實(shí)測(cè)值，St－1為前一期實(shí)測(cè)值，λ為調(diào)整系數(shù)，St－St－1為地面沉降實(shí)際變化量，－St－1為地面沉降最優(yōu)預(yù)測(cè)變化量。

式（2）表示由于存在滯后作用，地面沉降實(shí)際變化量與地面沉降最優(yōu)預(yù)測(cè)變化量的一個(gè)比值，即調(diào)整系數(shù)λ，表明地面沉降預(yù)測(cè)值需要調(diào)整一段時(shí)間才能達(dá)到實(shí)測(cè)值的水平。一般情況下，0＜λ＜1，它代表調(diào)整到實(shí)測(cè)值水平的速度，λ越大，表示調(diào)整速度越快。假如λ＝0，由式（2）可知St＝St－1，表示地面當(dāng)期和前一期沉降量一樣，完全沒有調(diào)整；假如λ＝1，則有＝St，表示地面沉降預(yù)測(cè)最佳值等于實(shí)測(cè)值，當(dāng)期完全實(shí)現(xiàn)調(diào)整。

整理式（2）模型變?yōu)?/p>

從式（3）可知地面沉降的實(shí)測(cè)值St是地面沉降預(yù)測(cè)最佳值與前一期地面沉降實(shí)測(cè)值St－1的加權(quán)和，加權(quán)數(shù)分別為λ和1－λ。

將式（1）代入式（3），并整理各項(xiàng)，得到轉(zhuǎn)換形式：

令

則模型變?yōu)?/p>

該模型就是自回歸分布滯后模型，如能得到該模型的參數(shù)估計(jì)，代入式（5）得到地面沉降量與地下水位以及本身的模型關(guān)系表達(dá)式。

1．2 模型參數(shù)估計(jì)

對(duì)于自回歸分布滯后模型St＝α＊＋β＊Ht－1＋γ＊St－1＋，其中，＝λμt。普通最小二乘的估計(jì)要求自變量Ht－1，St－1與隨機(jī)誤差項(xiàng)μt相互獨(dú)立，此外，隨機(jī)誤差項(xiàng)μ＊t不能存在自相關(guān)，否則會(huì)導(dǎo)致最小二乘是有偏的和非一致的估計(jì)。因此，在對(duì)模型進(jìn)行最小二乘估計(jì)前必須考察μ＊t之間是否存在自相關(guān)以及自變量Ht－1，St－1與μ＊t是否相互獨(dú)立。

假設(shè)模型St＝λα＋λβHt－1＋（1－λ）St－1＋λμt隨機(jī)誤差項(xiàng)μt滿足古典假定：

1）零均值假定：隨機(jī)誤差項(xiàng)μt的數(shù)學(xué)期望為0，即E（μt）＝0；

2）同方差假定：隨機(jī)誤差項(xiàng)μt有相同的方差，即Var（μt）＝E（）＝σ2；

3無自相關(guān)性假定 隨機(jī)誤差項(xiàng)μi和μj的協(xié)方差為0，即Cov（μi，μj）＝0（i≠j）；

4）自變量Ht－1，St－1與隨機(jī)誤差項(xiàng)μt不相關(guān)，即Cov（Ht－1，μt）＝Cov（St－1，μt）＝0。

根據(jù)以上假定則有

由此可知，隨機(jī)誤差項(xiàng)μ＊t不存在自相關(guān)，自變量Ht－1，St－1與μ＊t不相關(guān)，因此可以直接采用最小二乘法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

根據(jù)最小二乘法準(zhǔn)則，則有

2 實(shí)例計(jì)算及模型評(píng)價(jià)

2．1 實(shí)例計(jì)算

現(xiàn)收集到某地區(qū)1978年～2000年連續(xù)23年內(nèi)的地下水水位以及地面沉降量數(shù)據(jù)，如圖1所示，采用前文所述的自回歸分布滯后模型探討地面沉降量與地下水位以及本身的關(guān)系。

圖1 某地區(qū)地下水水位以及地面沉降量數(shù)據(jù)

分別用S和H兩個(gè)序列來表示地面沉降量和地下水水位數(shù)據(jù)，對(duì)S和H兩時(shí)間序列建立自回歸分布滯后模型，采用最小二乘法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，預(yù)測(cè)模型：

式中：St為第t年的地面沉降量，Ht－1為第t－1年的地下水水位，St－1為第t－1年的地面沉降量。

2．2 模型評(píng)價(jià)

預(yù)測(cè)模型決定系數(shù)R2＝0．986 82，表明總離差平方和的98．682%被預(yù)測(cè)模型解釋，只有1．318%未被解釋，因此預(yù)測(cè)模型對(duì)實(shí)測(cè)值的擬合優(yōu)度較高，說明預(yù)測(cè)模型擬合效果較好，圖2為模型預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的對(duì)比。

圖2 模型預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的對(duì)比

對(duì)自回歸分布滯后模型做預(yù)測(cè)分析，分析結(jié)果如表1所示，計(jì)量學(xué)中規(guī)定若平均絕對(duì)百分誤差（MAPE）取值在0～5之間，則預(yù)測(cè)精度較高，本文自回歸分布滯后模型的平均絕對(duì)百分誤差MAPE＝2．954，說明模型預(yù)測(cè)效果較理想。希爾不等式系數(shù)（TIC）介于0～1之間，且數(shù)值越小預(yù)測(cè)精度越高，本模型TIC＝0．014，進(jìn)一步說明模型預(yù)測(cè)效果較好。

表1 模型預(yù)測(cè)分析結(jié)果

3 結(jié)束語

針對(duì)地面沉降與地下水水位變化不同步，并考慮到地面下沉受到自身變化趨勢(shì)的影響，本文建立考慮滯后作用的地面沉降自回歸預(yù)測(cè)模型，以收集到的某地區(qū)地面沉降數(shù)據(jù)為例進(jìn)行計(jì)算，探討模型擬合效果與預(yù)測(cè)精度。結(jié)果表明，自回歸分布滯后模型對(duì)實(shí)測(cè)值的擬合優(yōu)度較高，模型擬合效果較好，此外，模型平均絕對(duì)百分誤差和希爾不等式系數(shù)滿足要求且較小，預(yù)測(cè)精度較高。因此，自回歸分布滯后模型可以推廣到預(yù)測(cè)地面沉降領(lǐng)域中去。

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