總體最小二乘法在七參數坐標轉換中的探討

劉 珺

(太原理工大學測繪科學與技術系，山西 太原030024)

一、引 言

在GNSS定位技術高速發展與廣泛應用中，坐標轉換是必不可少的［1］，常常需要把GNSS獲取的WGS-84坐標系下的坐標轉換到國家坐標系或地方坐標系下。

在坐標轉換問題中，當有足夠數量的重合點的兩套坐標值時，一般通過Gauss-Markov(GM)模型建立誤差模型，采用經典LS法來求解其轉換參數。而GM模型的前提是假設僅有觀測向量包含隨機誤差，系數矩陣完全準確而不包含隨機誤差，即目標坐標值存在誤差而源坐標沒有被隨機誤差所污染。但是，同一個重合點在兩套坐標系下的坐標值都是通過測量或計算得到的，不可避免地都會受到觀測環境、觀測者、觀測儀器等的影響而含有隨機誤差。此時，LS法所得的估值不具有無偏性等傳統特性［2-3］，不再是理想的最佳估值。

針對以上不足，基于EIV(errors-in-variables)模型的總體最小二乘(total least squares，TLS)被引入到坐標轉換問題中，并得到廣泛研究與應用。許多研究表明，TLS方法建立的EIV模型能夠很好地處理坐標轉換計算中所有數據都被偶然誤差所污染的問題［4-7］。陳義等［4］研究表明，在攝影測量的坐標轉換中，即使當控制點分布不合理或控制點數量減少時，TLS法仍能得到具有較高精度和較穩定的解。孔建等［5］將TLS分別應用于四參數模型和仿射變換模型中，通過比較實驗所得平差的單位權因子，得出了TLS所得的轉換參數是最優的結論。劉立龍等［6］通過算例指出，在六參數平面坐標轉換模型的參數解算中，TLS能夠更好地改善坐標轉換的內部精度。

考慮坐標轉換問題的多樣性和誤差分布的復雜性，那么具體到七參數坐標轉換，如GNSS定位技術所得的WGS-84坐標轉換到國家或地方坐標系中，TLS法是否一定是比LS法更優的解決方案。本文就重合點在兩種不同坐標系下的坐標值獨立、等精度條件下，通過算例，計算和比較LS和TLS方法的轉換參數值和相應的精度來對上述問題進行探討。

二、七參數轉換模型

兩種不同的坐標系的轉換參數是通過已知的重合點坐標值得到。如果已知k個重合點(k＞3)在A和B兩種坐標系下的坐標值，那么觀測值數量為n=3k，參數個數為m=7，可列出相應的七參數坐標轉換模型為

式中，XA、YA和ZA表示A坐標下的坐標;XB、YB和ZB表示B坐標下的坐標;X0、Y0、Z0、εX、εY、εZ和u是A坐標系統轉換到B坐標系統的7個轉換參數，分別為3個平移量參數，3個旋轉量參數和1個縮放因子參數。

在LS法下，將觀測向量L中的改正數記作V，參數向量的平差值記作^X，則誤差方程可寫成

三、TLS法解算轉換參數

假定兩種坐標系統下的坐標值互相獨立且服從N(0，1)，則可建立約束條件(目標函數)為

式中，vec()表示拉直變換。

式(3)和式(4)即為TLS的七參數坐標轉換解算模型。本文采用基于迭代法對上述模型進行求解［8］，并評定精度。

四、算例分析

本文算例［9］中包含5個重合點，其在WGS-84和1954北京坐標系下的測量坐標值見表1。

首先建立七參數坐標轉換模型，然后分別采用LS法和TLS法，使用Matlab編寫計算程序，求得相應的轉換參數見表2，同時計算兩種方法所得的單位權中誤差與相應各轉換參數的中誤差見表3。

通過LS法得到單位權中誤差為3．47 cm，那么可以選擇+30 cm(超過了3倍的單位權中誤差)作為粗差。設計5種坐標值中包含粗差的方案，具體如下:

P1-a:XA1坐標值包含一個粗差(+30 cm)。

P1-b:XB1坐標值包含一個粗差(+30 cm)。

P2-a:XA1和YA1坐標值各包含一個粗差(+30 cm)。

P2-b:XB1和YB1坐標值各包含一個粗差(+30 cm)。

P2-c:XA1和XA2坐標值各包含一個粗差(+30 cm)。

按上述方案模擬數據，采用LS法和TLS法所得的參數解見表4，以及相應參數精度見表5。

表1 兩種坐標系下的測量坐標值 m

表2 LS和TLS應用于七參數坐標轉換模型的參數解

表3 LS和TLS應用于七參數坐標轉換模型的參數精度

表4 LS和TLS應用于七參數坐標轉換模型的參數解(坐標值含有粗差)

表5 LS和TLS應用于七參數坐標轉換模型的參數精度(坐標值含有粗差)

由表3可知，TLS解算的單位權中誤差和相應參數中誤差都比LS計算的結果小，說明TLS解算的精度比LS高。由表2可知，TLS和LS解算的轉換參數沒有顯著差異，說明TLS和LS求得的轉換參數后續用于其他點的坐標轉換時所得坐標值將是一樣的。

由表4和表5可知，當坐標值中含有粗差時，LS法和TLS法所得的參數解幾乎相同，但在精度上TLS法還是相對較高。但結合表2和表3來看，LS法和TLS法都不能很好地抵抗粗差對參數解的影響。

五、結 論

1)在七參數坐標轉換模型中，TLS對所有變量的誤差施加了最小化的約束條件。與LS相比，TLS同時考慮系數矩陣和觀測向量的誤差所建立的EIV模型，更為合理和符合實際。

2)在七參數轉換模型中，相對于LS法，TLS雖然在精度(單位權中誤差和轉換參數的中誤差)上有一些優勢，但是所求的坐標轉換參數是沒有顯著差異的，坐標轉換參數對系數矩陣的誤差不敏感。當坐標值中存在粗差時，TLS法和LS法同樣不能很好地抵抗粗差對轉換參數解的影響。

3)在七參數轉換的工程應用中，相比于轉換參數的精度，我們往往更關心的是所得轉換參數解的值。那么在相應的工程測量的實踐中，為了簡化計算過程，仍可直接采用LS法來求解，而不選用TLS法。

［1］ 郭英起，唐彬，張秋江，等．基于空間直角坐標系的高精度坐標轉換方法研究［J］．大地測量與地球動力學，2012，32(3):125-128．

［2］ 丁克良，歐吉坤，陳義．整體最小二乘法及其在測量數據處理中的應用［C］∥中國測繪學會第九次全國會員代表大會．北京:中國測繪學會，2009．

［3］ 劉經南，曾文憲，徐培亮．整體最小二乘估計的研究進展［J］．武漢大學學報:信息科學版，2013，38(5):505-512．

［4］ 陳義，陸玨，鄭波．總體最小二乘方法在空間后方交會中的應用［J］．武漢大學學報:信息科學版，2008，33(12):1271-1274．

［5］ 孔建，姚宜斌，許雙安．整體最小二乘求取坐標轉換參數［J］．大地測量與地球動力學，2010，30(3):74-78．

［6］ 劉立龍，姚朝龍．LS和TLS在平面坐標轉換中的應用［J］．測繪科學，2012，37(5):12-13．

［7］ 陸玨，陳義，鄭波．總體最小二乘方法在三維坐標轉換中的應用［J］．大地測量與地球動力學，2008，28(5):77-81．

［8］ 魯鐵定，周世健．總體最小二乘的迭代解法［J］．武漢大學學報:信息科學版，2010，35(11):1351-1354．

［9］ 武漢大學測繪學院．誤差理論與測量平差基礎［M］．武漢:武漢大學出版社，2003．