超穎材料在無線電能傳輸中的應用方法

姚 辰 馬殿光 唐厚君，2 張穎異 蔡位焜

(1.上海交通大學電氣工程系 上海 200240 2.國家能源智能電網(上海)研發中心 上海 200240)

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超穎材料在無線電能傳輸中的應用方法

姚 辰1馬殿光1唐厚君1，2張穎異1蔡位焜1

(1.上海交通大學電氣工程系 上海 200240 2.國家能源智能電網(上海)研發中心 上海 200240)

系統地闡述了超穎材料在無線電能傳輸中應用時所涉及到的部分理論與設計方法。從不同的出發點解釋了超穎材料改善無線電能傳輸性能的作用機理，分別介紹了超穎材料的負折射效應，磁偶極子耦合模型和電磁坐標變換理論。此外，為說明如何實現超穎材料所需的電磁本構參數，還介紹了兩種超穎材料的設計方法：原理模型法和S參數反演提取法。原理模型法推導得到簡單形狀的超穎材料人工介質微結構單元的電磁參數，對獲取電磁參數具有一定的啟發意義；而實際設計中通常采用S參數反演提取法，通過有限元仿真及反演公式得到結構更復雜的人工介質微結構單元的電磁參數。

超穎材料 無線電能傳輸 互感增強 電磁坐標變換

0 引言

無線電能傳輸(Wireless Power Transfer，WPT)技術可從耦合類型、線圈供電方式和諧振方式3方面進行分類。耦合類型分為磁場耦合、電場耦合、機械波耦合。線圈供電方式分為直接供電、間接供電。諧振方式分為自諧振、外部元件輔助諧振。MIT的著名實驗[1-3]中采用的四線圈方案就是一種磁場耦合、間接供電、線圈自諧振類型的WPT系統。研究最多的感應式WPT，通常稱IPT (Inductive Power Transfer)[4-6]，是一種磁場耦合、直接供電、外部電容輔助諧振的WPT系統。采用極板傳輸能量的CPT(Capacitively Power Transfer)[7-9]，是一種電場耦合、直接供電、外部電感輔助諧振的WPT系統。特殊條件下采用壓電變送體產生機械波傳輸能量的APT(Acoustic Power Transfer)[10-12]，是一種機械波耦合、直接供電、自諧振的WPT系統。以上這些WPT技術各有優劣，但它們都利用某種物質作為介質，能量通過場耦合的方式進行傳播。除了利用機械波耦合的APT之外，其余3種WPT技術都是通過電磁場耦合。

為了增強WPT發送端和接收端之間的耦合程度，場源優化與接收器優化是一種直接的途徑。對于磁場耦合的WPT系統，場源優化就是優化發送線圈，接收器優化就是優化接收線圈[13，14]。但對于利用電場耦合或機械波耦合的WPT系統，尚無明確的場源優化和接收器優化的方法。

另外一個途徑是改變WPT耦合場中部分介質的電磁本構參數，通過介質的特性來改變整個區域內的電、磁能量分布，從而增強WPT發送端和接收端之間的耦合程度，改善WPT的功能和效能。這種方法同時適用于磁場耦合或電場耦合的WPT系統。事實上，對于機械波場，也有利用人工構造的介質改變機械波傳播特性的報道[15]。這類通過人工構造的非自然介質，可以統稱為超穎材料(Metamaterials，MTM)，也就是說利用MTM改善WPT系統傳輸特性的技術是可以適用于經磁場、電場或機械波場耦合的各類WPT系統。由于目前主流的WPT技術都是利用磁場進行耦合，所以本文重點介紹利用MTM改變磁場分布的技術及人工電磁介質設計。

MTM在WPT中的應用方法，即本文的敘述結構如圖1所示。

圖1 本文的敘述結構

首先，研究介質的電磁等效本構參數(即等效介電常數與等效磁導率)，以改善電磁場或電磁波分布的理論方法主要有負折射效應、磁偶極子耦合模型和電磁坐標變換理論等。實現MTM最初的標志性成果是J.B.Pendry等[16，17]和D.R.Smith等[18]用周期性排列的細金屬棒和金屬諧振環制成了在微波波段具有負介電常數、負磁導率及雙負參數的人工介質，并提出由負折射率的左手材料介質可以實現“完美透鏡”[19]以及D.R.Smith等[20]的“棱鏡實驗”驗證，隨之而來的是在微波、可見光等頻段的大量研究與實驗。相應地，從2010年開始研究人員將MTM應用在WPT領域時，也提出了類似“完美透鏡”的“近場超透鏡”[21]及“磁超透鏡”[22]概念以解釋MTM的作用機理。與此同時，相關的實驗驗證也被陸續發表[23-28]。

在這些研究中，有基于MTM的負折射率的特性來解釋耦合增強的機理，即利用光路相消的直觀原理來增加WPT的傳輸距離，還有分析磁偶極子受超穎材料介質影響而增強耦合程度的機理的方法[21]，但僅適用于平板形狀的MTM。此外，如果直接采用基于Maxwell方程組形式不變性[29]的坐標變換理論(也稱變換光學理論)，可適用于從直流到任意高頻段的電磁波或電磁場[30-33]，且理論上可以設計任意形狀的MTM。坐標變換理論通常采用直角坐標、圓柱坐標和球坐標3種經典的正交坐標系，若利用坐標系的度量因子，也可得出基于同一個一般正交曲線坐標系下變換的普遍方法[34]。利用電磁坐標變換對目標磁場進行聚焦，可以增強WPT發送端與接收端之間的耦合系數k， 甚至可以增強一、二次側線圈的等效Q值，從而大大提高WPT系統的效率，或等效地增加WPT系統的傳輸距離[31，35]。除了坐標變換之外，還可以采用保角變換方法設計介質[36]，該方法是電磁坐標變換方法的一種，同樣也滿足全頻段適用性，它的優勢在于變換后介質的電磁本構張量矩陣的形式比較簡單。經過坐標變換后得到所需的介質通常都是非均勻各向異性的，而且等效本構參數張量矩陣的主元可能會是負數，有時非主元項也是非零項，這些情況對工程實際中MTM介質的實現構成了極大的挑戰。因此，采用分層方法[37-39]將各向同性的均勻介質或者是簡單的各向異性介質進行組合得到等價的復雜各向異性的非均勻介質是一種可行的技術手段。通常可采用COMSOLMultiphysics等軟件對含特殊本構參數的介質的WPT模型進行有限元仿真，以驗證所設計的介質是否能夠優化電磁場分布。

當通過前述方法得到了所需介質的等效本構參數后，就需要設計MTM實現相應的介質。MTM遵循等效介質理論：當構成MTM的基本諧振單元相互間的距離相對于通過的電磁波或電磁場的波長很短時，大量的單元可以呈現出整體的電磁效應，這種情況下可以定義等效介電常數和等效磁導率來描述電磁波或電磁場的總體運動情況[40]。設計MTM的方法分為兩種：①等效電路模型分析法[41]，該方法只能用在極少數很有規律的人工結構中，且該方法很難準確地預測MTM的宏觀等效參數；②全波電磁場仿真及S參數反演提取法[42-46]，因該方法無特殊限制而被普遍采用。全波電磁場仿真包括有限元法(FEM)、有限積分法(FIT)和時域有限差分法(FDTD)等，通常可以采用商業電磁仿真軟件，如基于FEM的ANSOFT HFSS和基于FIT的CST Microwave Studio等。通過全波電磁場仿真能得到所設計MTM的S參數，再通過S參數反演提取，得到MTM的等效介電常數和等效磁導率。在線圈的自諧振頻率點或經過補償后的諧振頻率點上，MTM的等效本構參數為所需要的參數時，就可以實現改善WPT電磁場分布的目的。

1 電磁超穎材料的等效電磁本構參數

介質的電磁本構參數(即介電常數ε、磁導率μ)決定了存在于其中的電磁場的特性。理論上，空間中介質的電磁本構參數是兩個3×3的張量，它們與場強大小、場強方向、空間位置、電磁場頻率均有關，即

σ=[σij(E,H,x,y,z,f)]3×3

(1)

式中：σ=ε、μ；i,j=1,2,3。

研究傳統電磁場問題時，通常先考慮線性、均勻、各向同性和非色散的簡單介質，則σ簡化為常數，同時還限定為一個正常數。電磁超穎材料概念將介質的σ從一個正常數擴展為一個張量，且張量矩陣的元素可以是任意復數。

自然界中存在的介質通常由其原子或分子結構決定其σ。 如果要獲得特殊的σ值，比如負的介電常數、磁導率，就需要人工制作一些物理尺寸遠小于工作波長的微結構，并按周期性規律排列后，就能在某些工作頻段下得到所需的等效σ。

以獲取等效磁導率為例，人工介質的周期性微結構單元(以下簡稱介質微元)可以在直角坐標下的立方體內實現，如圖2所示。

根據電磁本構關系，定義等效磁導率

(2)

式中定義3個坐標軸軸向方向的平均磁場強度為

(3)

平均磁通密度為

(4)

圖2 介質微元的示意圖

2 改善WPT電磁場分布的理論依據

目前主要有3種理論用以解釋MTM改善WPT電磁場分布的機理，包括左手材料的負折射效應理論、MTM增強磁偶極子耦合的模型理論以及電磁坐標變換理論。

2.1 左手材料的負折射效應理論

假設介質是簡單介質(即電磁本構參數為常數)，對于特定的單一頻率為ω的平面電磁波，根據Maxwell方程得到波矢k、 電場強度E和磁場強度H的關系

(5)

若ε、μ為正常數，則從式(5)的第3和第4個公式可以看出，k、E、H構成右手系，如圖3a所示。若ε、μ為負常數，那么k、E、H構成左手系，如圖3b所示。

圖3 介質中電磁波手性關系

根據電磁學中折射率與相對介電常數、相對磁導率的關系為

n2=μrεr

(6)

(7)

式中：θi為電磁波從介質1進入到介質2的入射角；θt為電磁波在介質2中的折射角；n為介質的折射系數；p為介質的手性系數。

當介質中的電磁波k、E、H構成右手系時p=1， 構成左手系時p=-1。 根據式(7)，當電磁波經過兩個手性系數相反的介質界面時，會發生負折射現象，如圖4所示。

圖4 電磁波在兩種介質表面發生折射

圖5 負折射效應增強WPT耦合的示意圖

將MTM介質的這種特性應用到磁場耦合的WPT中，可以將發射線圈視為一個點光源。放入負磁導率的介質2后，理論上點光源A經過兩次負折射，相當于發生了光路相消的過程后，等效移至B點，如圖5所示。圖5中，D1為不加入介質2時的傳輸距離，D2為加入介質2后的有效傳輸距離，D3為加入介質2后一、二次側線圈的實際距離。介質2中的虛線線圈表示不放置介質2時，同樣耦合系數情況下接收線圈的假想位置；B點處的虛線線圈表示放置介質2后發射線圈的等效作用位置。可見，根據負折射效應，加入介質2可以使一、二次側線圈的等效距離從D3縮短為D1， 實際傳輸距離從D1增加為D2， 也可以理解為增強了線圈間的耦合。

2.2MTM增強磁偶極子耦合的模型理論

從磁場耦合的WPT模型很容易聯想到兩個磁偶極子間的耦合模型。兩個磁偶極子之間放置一個均勻的平板介質是一個經典問題，如圖6所示，介質將會影響磁偶極子間的互感以及偶極子本身的自感。如果介質由MTM組成，具有特殊的電磁本構參數張量，那么理論上可以設計該MTM，使得兩個分開的磁偶極子達到完全耦合。

圖6 均勻各向異性超穎材料放置在兩磁偶極子間

假設MTM介質的電磁本構參數張量在直角坐標系下是單軸的，即

σ=diag(σx,σy≡σx,σy),σ=ε、μ

(8)

給出TE極化的情況(TM極化的情況與之對偶)。定義MTM介質的電磁本構參數各向異性比為

(9)

MTM介質的其他常量有

(10)

(11)

(12)

(13)

式中μv為磁偶極子所在區域的均勻介質的相對磁導率。

文獻[21]詳細推導出了無MTM介質和有MTM介質情況下兩磁偶極子間的互感，分別為

(14)

(15)

式中：A1,2為兩磁偶極子的面積；d為偶極子間的距離,d=D+d1+d2；uTE=(αTED+d1+d2)/(2αTED)；特殊函數ΦL定義為

(16)

2.3 電磁坐標變換理論

上述兩種理論中的MTM都是以平板形式出現。如果采用電磁坐標變換理論，則可以設計更多形態的MTM以實現對電磁場的“特定”控制，而且該理論對從直流到任意高頻的電磁場均適用。

電磁坐標變換理論的基礎是Maxwell方程的形式不變性。就是Maxwell方程在任意坐標系下都成立且有相同形式的表達式，只是方程中的電磁本構參數ε、μ及保守場量(電場強度E、 磁場強度H等)的表達式要根據坐標系所決定的系數進行調整。例如，如果變換前的坐標系為C1(u1,v1,w1)， 變換后的坐標系為C2(u2,v2,w2)， 兩者滿足下述關系

u2=u(u1,v1,w1)

v2=v(u1,v1,w1)

w2=w(u1,v1,w1)

(17)

變換后的坐標系下的各參量滿足

(18)

(19)

式中

(20)

以圖7所示的一種可用于WPT的磁聚焦器為例，在球坐標系下，利用電磁坐標變換將空氣介質(εr=μr=1)的虛擬空間區域(r，θ，φ)映射到MTM介質的球殼空間區域(r′，θ′，φ′)， 兩個區域在空間上滿足映射關系

r′=(rcosθ-d)t/T+Rθ′=θφ′=φ

(21)

圖7 根據坐標變化設計的可用于WPT的磁聚焦器

根據式(18)、式(20)得到

(22)

式中：a=(r′-R)T/(tr′cosθ′)+d/(r′cosθ′)；b=t/T。

根據式(22)的本構參數，采用COMSOL仿真，結果如圖8所示。很明顯，MTM介質使得整個區域的磁場分布發生了有利于增強線圈間耦合的變化。

圖8 磁場強度分布對比

3 超穎材料的設計

3.1 原理模型法

對于一些形狀規則的人工介質微元[17，48，49]，可根據原理定義式(2)解析地求出等效電磁本構參數。例如，對于如圖9所示的開口諧振環(Split Ring Resonator，SRR)結構，首先從如圖10所示的無窮長導電圓柱體陣列開始分析[50]，得到

(23)

式中：σ為單位圓周面積上的電阻率；μeff的虛部指代損耗。

圖9 開口諧振環結構陣列

圖10 無窮長導電圓柱體陣列

根據式(23)可見，如果導電圓柱體的電阻率σ無窮小或者頻率ω無窮大時，等效磁導率隨著圓柱體單元結構與介質微元的體積占比F=πr2/a2的增大而減小，這個體積占比因素很重要。如果σ很大，表示損耗的虛部存在。為了增加等效電磁本構參數的范圍，考慮在介質微元中引入電容元素，起到諧振效果，就得到開口諧振環柱，如圖11所示。得到

(24)

式中C為開口諧振環柱之間單位面積的電容。

(25)

圖11 開口諧振環柱

根據式(24)，就可得到諧振形式單元的等效磁導率隨頻率變化的曲線，如圖12所示。

圖12 諧振形式單元的等效磁導率隨頻率變化的曲線

其中有兩個關鍵頻率點：諧振頻率ω0與磁等離子頻率ωmp，當工作頻率在這兩個頻率之間時，就能產生負磁導率。但由于以上分析的是無窮長的結構，因此只在軸向產生負磁導率效應，在其他方向上不會有這種效應。設計成有限尺寸的開口諧振環(SRR)結構陣列，如圖9所示。

假設r≥c，r≥d，lπ， 則此時SRR結構中單位長度的兩個金屬條之間的電容為

(26)

軸向等效磁導率為

(27)

將這種SRR結構組成如圖2所示的晶格單元，可以在直角坐標系的各個方向上得到所需的等效磁導率。

此外，如果設計成“瑞士卷”結構(如圖13所示)等效磁導率有類似的形式，即

(28)

式中

(29)

圖13 “瑞士卷”結構

3.2 全波電磁場仿真及S參數反演提取法

采用電磁有限元仿真求解MTM的S參數，并通過公式提取出等效電磁本構參數，能適應復雜的微元結構設計。應用在WPT中的MTM的單元建模、電磁計算和參數提取與經典MTM的仿真一致。MTM一般由周期性結構單元構成。對于這種周期性結構的人工介質，常常采用波導傳輸法和Floquet端口法進行仿真。

1)波導傳輸法

該方法比較適合MTM在電磁波傳輸方向上僅有有限個周期性單元的情況。其仿真模型主要由兩個波導端口(Waveguide Port)、理想磁邊界(PMC)、理想電邊界(PEC)以及有限數量的MTM微元結構組成。波導傳輸法主要通過對兩個波端口分別施加TEM波的激勵來直接計算含有相位和幅度信息的傳輸參數S21和反射參數S11，從而計算MTM等效的電磁本構參數。通過對仿真模型在一定范圍內的掃頻計算，可以得到端口參數S11和S21。這兩個S參數表征了端口的透射功率和反射功率，與折射率n、 波阻抗z的關系為

(30)

(31)

式中：k0為自由空間的波數；d為介質的等效厚度。

2)Floquet端口法

該方法主要基于Floquet-Bloch理論，是目前仿真各項異性MTM更為流行的方法。相比于波導傳輸法，Floquet端口模型通過設置主從邊界(Master/SlaveBoundary)可以模擬二維無限延伸的周期性排列結構，并通過設置入射端口的參數調整電磁波的入射方向，從而實現不同角度斜射下MTM的仿真模擬。類似地，散射參數S11和S21可在Floquet端口處計算得到。

MTM等效參數的提取一般采用S參數反演法，即通過S11和S21推算等效磁導率和等效介電常數。在S參數反演法中，將MTM結構單元視為等效介質。入射平面波波矢平行于等效介質，磁場分量垂直入射介質周期性單元，系統端口的S參數可等效地寫成式(30)和式(31)，或以歐拉形式寫成[51]

(32)

(33)

式中m為分支系數，是由正弦函數的周期性造成的。考慮到MTM是無源的，同時單元結構的尺寸遠小于1/10個波長，可以令m=0簡化計算[42，52]。再由折射率和波阻抗計算出等效介電常數和等效磁導率

(34)

4 結論

將MTM應用于WPT是一個嶄新的研究領域，國內在這方面的研究剛剛起步[35，53-57]。理論上，只要MTM對WPT耦合程度的提升效應大于MTM本身的損耗，MTM技術就可以在任何已有的WPT應用場合[58]中發揮錦上添花的作用。該技術能令較小的發射線圈覆蓋較大的充電范圍，可應用在無線充電桌面、墻面；能令較小的接收線圈接收更大區域內的磁通，可應用在任何接收端裝置中；利用變換光學方法任意改變磁場分布，可應用在需要定向發射的WPT場合；此外，MTM技術不僅適用于磁場，也同樣適用于電場與機械波，這也將極大擴展WPT的應用范圍。

目前該技術存在的主要問題是MTM本身存在損耗，影響能量傳輸的效率，同時，目前能設計制作的MTM通常只能承載較小的功率傳輸。已有學者開始研究采用超導技術制作MTM材料來解決上述問題[59]。MTM的可調節性也是一個問題及未來的研究方向，如果頻率及各項異性等特性可調節，那么MTM將可被應用到更復雜的應用場合[60]。

MTM技術本質上是通過改變一部分介質的參數而改變耦合場的分布，人為的設計使得耦合場能符合應用的需求。從電磁坐標變換理論的分析可以看出，MTM對耦合場分布的改善可以是任意的，比改變線圈結構及添加磁心等方法更具有靈活性。MTM技術可以將WPT技術發展的想象力提升到新的高度。

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Application Methods of Metamaterials in Wireless Power Transfer

YaoChen1MaDianguang1TangHoujun1,2ZhangYingyi1CaiWeikun1

(1.Department of Electrial Engineering Shanghai Jiao Tong University Shanghai 200240 China 2.State Energy Smart Grid R&D Center (Shanghai) Shanghai 200240 China)

The design methods and most related theories of metamaterials applied in wireless power transfer are elaborated.Three important theories，i.e.the negative refraction effect，the coupling model of magnetic dipoles，and the coordinates transformation theory，are introduced to explain the mechanism of improving the performance of wireless power transfer by metamaterials.In addition，two design methods，including the principle model method and the S-parameters retrieval method，are presented to illustrate the realization of specific electromagnetic constitutive parameters.The principle model method is theoretically derived for simple micro-structures，which has some inspiration significance for acquiring the electromagnetic parameters.And S-parameters retrieval method is more suitable for practical designs and complicated metamaterial micro-structures with the help of finite element simulation and retrieval equations.

Metamaterials，wireless power transfer，mutual inductance enhancement，electromagnetic coordinates transformation

國家自然科學基金(51277120)資助項目。

2015-03-25 改稿日期2015-05-28

TM15；TM25

姚 辰 男，1988年生，博士研究生，研究方向無線電能傳輸。(通信作者)

馬殿光 男，1962年生，副教授，研究方向為無線電能傳輸。