圓的方程

王歷權　黨忠良

從近幾年的高考試題來看，求圓的方程、已知圓的方程求圓的圓心坐標及半徑等都是高考熱點，題型既有選擇題，也有填空題、解答題，主要考查圓的標準方程、一般方程；主觀題往往在知識交匯處命題.除上述考查點以外，還考查待定系數法、方程思想等.

重點難點

本部分內容由圓的標準方程、圓的一般方程和圓的參數方程三個部分組成.

重點：（1）掌握確定圓的幾何要素，掌握用待定系數法求圓的標準方程或一般方程，并能解決一些簡單的與圓有關的實際問題. （2）學會把圓的幾何性質與解析法結合起來解決問題.同時不斷培養觀察能力，尋找參數之間的聯系，掌握必要的技巧，找準解題方向，提高解題能力. （3）熟悉并掌握與圓有關的最值問題的求法.

難點：利用圓的幾何性質解決圓的綜合問題.

方法突破

1. 求圓的方程常用待定系數法.若已知條件和圓心、半徑有關，可先用已知條件求出圓心和半徑，再寫出圓的標準方程；若已知條件涉及圓過幾點，往往用圓的一般方程求解；若所求的圓過已知兩圓的交點（或一直線與一圓的交點）一般用圓系方程求解.

2. 確定圓的方程主要是待定系數法，大致步驟為：（1）根據題意選擇方程形式；（2）根據條件列出關于a，b，r或D，E，F的方程組；（3）解出a，b，r或D，E，F，代入標準方程或一般方程.

3. 與圓有關的最值問題，常見的有以下幾種類型：（1）形如u=型的斜率最值問題；（2）形如z=ax+by型的截距最值問題；（3）形如（x-a）2+（y-b）2型的距離最值問題.

4. 求與圓有關的軌跡問題時，根據題設條件的不同常采用以下幾種方法：

（1）直接法：直接根據題目提供的條件列出方程.

（2）定義法：根據直線、圓、圓錐曲線等定義列方程.

（3）幾何法：利用圓與圓的幾何性質列方程.

（4）相關點法：找到要求點與已知點的關系，帶入已知點滿足的關系式.

典例精講 例1 過點A（6，0），B（1，5），且圓心C在直線l：2x-7y+8=0上的圓的方程為________.

思索 可根據已知條件，先求出圓心C的坐標，再求得圓的半徑r（r=AC）；也可用待定系數法，設出圓的標準方程或一般方程，依據已知條件構建關于a，b，r或D，E，F的方程組求解.

破解 解法1：由A（6，0），B（1，5）可得線段AB的中點坐標為，，且kAB=-1，所以線段AB的垂直平分線的方程為y-=x-，即x-y-1=0. 由方程組x-y-1=0，2x-7y+8=0得圓心C的坐標為（3，2），且半徑r=AC=. 綜上可得，所求圓的方程為（x-3）2+（y-2）2=13.

解法2：設所求圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2，由已知得（6-a）2+b2=r2，2a-7b+8=0，（1-a）2+（5-b）2=r2，解得a=3，b=2，r2=13. 綜上可得，所求圓的方程為（x-3）2+（y-2）2=13.

解法3：設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0），由已知得36+6D+F=0，1+25+D+5E+F=0，2×--7×-+8=0，解得D= -6，E=-4，F=0. 綜上可得，所求圓的方程為x2+y2-6x-4y=0，即（x-3）2+（y-2）2=13.

例2 求經過點A（0，5），且與直線x-2y=0和2x+y=0都相切的圓的方程.

思索 欲確定圓的方程，需確定圓心坐標與半徑. 由于所求圓過定點A，故只需確定圓心坐標. 又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上.

破解 因為圓和直線x-2y=0與2x+y=0相切，所以圓心C在這兩條直線的交角平分線上.

又因為圓心到兩直線x-2y=0和2x+y=0的距離相等，所以=. 所以兩直線交角的平分線方程是x+3y=0或3x-y=0.

又因為圓過點A（0，5），所以圓心C只能在直線3x-y=0上. 設圓心C（t，3t），因為C到直線2x+y=0的距離等于AC，所以=. 化簡整理得t2-6t+5=0，解得t=1或t=5. 所以圓心是（1，3），半徑是或圓心是（5，15），半徑是5.

所以可得所求圓的方程為（x-1）2+（y-3）2=5或（x-5）2+（y-15）2=125.

例3 求圓心在直線x-y-4=0上，且經過兩圓x2+y2-4x-3=0和x2+y2-4y-3=0的交點的圓的方程.

思索 由圓系方程先設出所求圓的方程，得出圓的坐標代入已知直線方程，求出參數后即得圓的方程.

破解 設經過兩已知圓的交點的圓的方程為x2+y2-4x-3+λ（x2+y2-4y-3）=0（λ≠-1），則其圓心的坐標為，. 因為所求圓的圓心在直線x-y-4=0上，所以--4=0，解得λ=-. 所以所求圓的方程為x2+y2-6x+2y-3=0.

例4 （1）已知圓O1：（x-3）2+（y-4）2=1，P（x，y）為圓O上的動點，求d=x2+y2的最大值和最小值.

（2）已知圓O2：（x+2）2+y2=1，P（x，y）為圓上任一點，求的最大值和最小值.

思索 （1）（2）兩小題都涉及圓上點的坐標，可考慮用圓的參數方程或用數形結合解決.

破解 （1）解法1：由圓的標準方程（x-3）2+（y-4）2=1，可設圓的參數方程為x=3+cosθ，y=4+sinθ（θ是參數）. 則d=x2+y2=9+6cosθ+cos2θ+16+8sinθ+sin2θ=26+6cosθ+8sinθ=26+10cos（θ-φ）其中tanφ=. 所以可得dmax=26+10=36，dmin=26-10=16.endprint