雙曲線及其幾何性質(zhì)

鄭怡　吳甬翔

圓錐曲線作為數(shù)學(xué)高考的重要考點(diǎn)，是考查同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)算能力的絕佳載體. 新課標(biāo)對(duì)雙曲線部分的要求為“了解其定義、圖形及標(biāo)準(zhǔn)方程；知道它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”，故本部分的復(fù)習(xí)應(yīng)以基礎(chǔ)題、常規(guī)題為主，不宜過(guò)度拔高.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的幾何性質(zhì)（如：離心率、漸近線等）.？搖

難點(diǎn)：雙曲線的漸近線與雙曲線圖形的關(guān)系，直線與雙曲線的位置關(guān)系等相關(guān)的綜合問(wèn)題.

方法突破

1. 求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

（1）定義法：①根據(jù)題設(shè)條件判斷曲線是否滿足雙曲線的定義；②直接求出a，b，c；③寫出方程.

（2）待定系數(shù)法：①確定焦點(diǎn)的位置；②設(shè)出待求方程；③確定相關(guān)系數(shù)；④寫出方程.

常用的方程設(shè)法有：①若不能明確焦點(diǎn)的位置，可設(shè)雙曲線的方程為mx2+ny2=1（mn<0）；②與雙曲線-=1有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為-=λ（λ≠0）；③若已知漸近線的方程為mx+ny=0，則雙曲線方程可設(shè)為m2x2-n2y2=λ（λ≠0）.

2. 雙曲線的幾何性質(zhì)

雙曲線的幾何性質(zhì)實(shí)質(zhì)上是圍繞雙曲線中的“六點(diǎn)”（兩個(gè)焦點(diǎn)、兩個(gè)頂點(diǎn)、兩個(gè)虛軸的端點(diǎn)），“四線”（兩條對(duì)稱軸，兩條漸近線），“兩形”（中心、焦點(diǎn)以及虛軸端點(diǎn)構(gòu)成的三角形，雙曲線上一點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形）研究它們之間的相互關(guān)系.

3. 雙曲線的離心率

（1）求雙曲線離心率的常見(jiàn)方法：一種是依據(jù)條件求出a，b，c，再計(jì)算e=；另一種是建立關(guān)于參數(shù)a，b，c的等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程，最后求出e的值.

（2）求離心率的范圍時(shí)，常結(jié)合條件建立關(guān)于參數(shù)a，b，c的不等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的不等式，最后解不等式得之.

4. 直線與雙曲線的綜合問(wèn)題

（1）直線與雙曲線位置關(guān)系的判定：通常聯(lián)立方程組，消去一個(gè)變量后轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量x（或y）的一元二次方程. 首先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)等于0時(shí)，方程為關(guān)于x（或y）的一元一次方程，有且僅有一個(gè)解，直線與雙曲線相交于一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線平行于雙曲線的一條漸近線. 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，考慮該一元二次方程的判別式Δ，有如下結(jié)論：Δ>0？圳直線與雙曲線相交于兩個(gè)點(diǎn)；Δ=0？圳直線與雙曲線相交于一個(gè)點(diǎn)；Δ<0？圳直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn).

（2）涉及求平行弦中點(diǎn)的軌跡、求過(guò)定點(diǎn)的弦中點(diǎn)的軌跡和求被定點(diǎn)平分的弦所在的直線方程問(wèn)題，常用“點(diǎn)差法”求解，即通過(guò)“設(shè)而不求”，將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái). 例如，若雙曲線的方程為-=1，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點(diǎn)為M（x0，y0），則kAB=·.

典例精講

1. 雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

例1 （1）（2014年高考全國(guó)卷）已知雙曲線C的離心率為2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在C上. 若F1A=2F2A，則cos∠AF2F1等于（ ）

A. B.

C. D.

（2）（2014年高考北京卷）設(shè)雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，2），且與-x2=1具有相同漸近線，則C的方程為________；漸近線方程為________.

思索 （1）涉及雙曲線焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，只要利用定義結(jié)合余弦定理求解即可；（2）利用與已知雙曲線有共同漸近線設(shè)出C的方程，即-x2=λ（λ≠0）來(lái)求解，可避免討論焦點(diǎn)的位置.

破解 （1）因?yàn)殡p曲線C的離心率為2，所以e==2，即c=2a. 又點(diǎn)A在雙曲線上，則F1A-F2A=2a，又F1A=2F2A，所以F1A=4a，F(xiàn)2A=2a，F(xiàn)1F2=2c，則由余弦定理得cos∠AF2F1=====. 故選A.

（2）與-x2=1具有相同漸近線的雙曲線方程為-x2=λ（λ≠0）. 因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)（2，2），所以λ=-22= -3，即雙曲線方程為-x2=-3，化簡(jiǎn)得-=1，漸近線方程為y=±2x.

2. 雙曲線的幾何性質(zhì)

例2 已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一條漸近線與x軸的夾角為α，且<α<，則雙曲線的離心率的取值范圍是__________.

思索 因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以漸近線與x軸的夾角的正切值為tanα=，再利用c2=a2+b2轉(zhuǎn)化為a，c之間的關(guān)系求解.

破解 由題意可得tanα=，故1<<，所以e==∈（，2）.

3. 直線與雙曲線的位置關(guān)系

例3 （2014年高考福建卷）已知雙曲線E：-=1（a>0，b>0）的兩條漸近線分別為l1：y=2x，l2：y=-2x.

（1）求雙曲線E的離心率.

（2）如圖1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點(diǎn)（A，B分別在第一、四象限），且△OAB的面積恒為8. 試探究：是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

思索 （1）由漸近線方程可得到a，b，c的關(guān)系進(jìn)而求出離心率. （2）解法1先嘗試特殊位置，再進(jìn)行一般情況的證明，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想，這也是我們處理不熟悉問(wèn)題的常見(jiàn)思路；解法2巧設(shè)直線方程，避免了對(duì)特殊情況的討論；解法3變換三角形面積的算法，最終殊途同歸，都由韋達(dá)定理得到所設(shè)直線中變量的關(guān)系等式. 值得注意的是，本題中直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況是相切而非與漸近線平行，因此要對(duì)消元后的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)的范圍進(jìn)行限定.

確解 （1）因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為y=2x，y=-2x，所以=2，即=2，故c=a. 從而雙曲線E的離心率e==.endprint

（2）解法1：由（1）知，雙曲線E的方程為-=1. 設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C. 當(dāng)l⊥x軸時(shí)，若直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則OC=a，AB=4a. 又因?yàn)椤鱋AB的面積為8，所以O(shè)C·AB=8. 因此a·4a=8，解得a=2，此時(shí)雙曲線E的方程為-=1.

若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能為-=1. 以下證明：當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，雙曲線E：-=1也滿足條件.

設(shè)直線l的方程為y=kx+m，依題意，得k>2或k<-2，則C-，0. 記A（x1，y1），B（x2，y2）. 由y=kx+m，y=2x得y1=；同理得y2=. 由S△OAB=OC·y1-y2，得-·-=8，即m2=44-k2=4（k2-4）. 由y=kx+m，-=1得（4-k2）x2-2kmx-m2-16=0. 因?yàn)?-k2<0，所以Δ=4k2m2+4（4-k2）（m2+16）= -16（4k2-m2-16）. 又因?yàn)閙2=4（k2-4），所以Δ=0，即l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn). 因此，存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程為-=1.

解法2：由（1）知，雙曲線E的方程為-=1. 設(shè)直線l的方程為x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2）. 依題意得-

解法3：當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）. 依題意可得k>2或k<-2. 由y=kx+m，4x2-y2=0得（4-k2）x2-2kmx-m2=0. 因?yàn)?-k2<0，Δ>0，所以x1x2=. 又因?yàn)椤鱋AB的面積為8，所以O(shè)A·OB·sin∠AOB=8. 又易知sin∠AOB=，所以·=8，化簡(jiǎn)得x1x2=4. 所以=4，即m2=4（k2-4）. 由（1）得雙曲線E的方程為-=1，又由y=kx+m，-=1得（4-k2）x2-2kmx-m2-4a2=0. 因?yàn)?-k2<0，直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)Δ=4k2m2+4（4-k2）（m2+4a2）=0，即（k2-4）（a2-4）=0. 所以a2=4，所以雙曲線E的方程為-=1.

當(dāng)l⊥x軸時(shí)，由△OAB的面積等于8可得l：x=2. 又易知l：x=2與雙曲線E：-=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

綜上所述，存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程為-=1.

變式練習(xí)

1. 設(shè)雙曲線-=1（a>0）的漸近線方程為3x±2y=0，則a的值為（ ）

A. 4？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖 B. 3？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖C. 2？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖D. 1

2. 已知△ABP的頂點(diǎn)A，B分別為雙曲線C：-=1的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)P在雙曲線C上，則的值等于（ ）

A. B.

C. D.

3. 已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1（-，0），F(xiàn)2（，0），M是此雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足·=0，·=2，則該雙曲線的方程是（ ）

A. -y2=1 B. x2-=1？搖？搖？搖？搖？搖

C. -=1 D. -=1

4. 設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：-=1（a>0，b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn). 若PF1+PF2=6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為________.

5. 已知雙曲線-=1（b>a>0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=2，點(diǎn)M（，）在雙曲線上.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且·=0，求+的值.

參考答案

1. C 2. A 3. A

4.

5. （1）因?yàn)閑=2，所以c=2a，b2=c2-a2=3a2，雙曲線的方程為-=1，即3x2-y2=3a2. 因?yàn)辄c(diǎn)M（，）在雙曲線上，所以15-3=3a2. 所以a2=4. 所以所求雙曲線的方程為-=1.

（2）設(shè)直線OP的方程為y=kx（k≠0），聯(lián)立-=1，得x2=，y2=，所以O(shè)P2=x2+y2=. 則OQ的方程為y=-x，有OQ2==，所以+===.