經(jīng)典品讀：探索“源與流”，使圓錐曲線復(fù)習(xí)更高效

蔡振樹

“年年歲歲卷相似，歲歲年年題不同”，幾乎每年的高考試題都會成為大家關(guān)注的焦點. 當然，研究試題也有利于發(fā)現(xiàn)問題考查的本質(zhì)，有利于更好地指引學(xué)習(xí). 留心分析，我們會發(fā)現(xiàn)許多試題是立足于基礎(chǔ)，源于教材，高于教材的. 教材是高考命題的主要載體之一，尤其是一些考查圓錐曲線性質(zhì)的試題來自于教材中的例題、習(xí)題，通過推廣、引申，這些題可得到更一般的性質(zhì)，這也是考試命題的重要切入點.

課本習(xí)題探究，引發(fā)思考

在高中課本《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-1》人教A版介紹了這樣兩個問題：

第2.2節(jié)例3：如圖1，設(shè)A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-，求點M的軌跡方程.

第2.3節(jié)探究：如圖2，設(shè)A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是，試求點M的軌跡方程，并由點M的軌跡方程判斷軌跡的形狀. 與2.2例3比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？

這是一道求解軌跡的問題，但若輕易放棄對問題的進一步探究，就會錯失教材本有的示范功能，自然就領(lǐng)悟不到課本編寫的意圖. 尤其是研究近年高考試題，我們可以發(fā)現(xiàn)試題與課本是有關(guān)聯(lián)的，因而通過有針對性的變式探究、拓展、改造，注重知識間的聯(lián)系，深刻體會其中蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法，會使得學(xué)習(xí)達到事半功倍的效果.

歸納概括，得到一般性質(zhì)

在對上面兩個課本問題的探究中，通過將問題一般化，我們可以得到一系列圓錐曲線相關(guān)的性質(zhì).

性質(zhì)1 設(shè)A，B的坐標分別為（-a，0），（a，0）（或（0，-a），（0，a）），直線AM，BM相交于點M，且他們的斜率之積是-或-，則點M的軌跡是橢圓，其方程為+=1（x≠±a）或+=1（x≠0）.

證明（只證其中一種情況）：設(shè)M（x，y），則kAM=，kBM=，所以kAM·kBM=·==-，即+=1（x≠±a）.

性質(zhì)2 設(shè)A，B的坐標分別為（-a，0），（a，0）（或（0，-a），（0，a）），直線AM，BM相交于點M，且他們的斜率之積是或，則點M的軌跡是雙曲線，其方程為-=1（x≠±a）或-=1（x≠0）.

證明同性質(zhì)1的證明，從略.

這是兩個被稱為“第三定義”的圓錐曲線性質(zhì)，筆者在對近年高考試題有關(guān)圓錐曲線問題的研究中，尋其根源，發(fā)現(xiàn)許多試題屢屢涉及對該性質(zhì)的考查. 習(xí)題是課本的重要組成部分，在教學(xué)中通過深入挖掘和研究課本習(xí)題，將“小題大做”，延伸拓展，歸納概括，揭示本質(zhì)，是對教材最好的運用，是對新課標課程理念最好的實踐，也是研究高考復(fù)習(xí)的重要學(xué)習(xí)方法.

典型案例剖析，追根溯源

例1（2011年高考江西卷）P（x0，y0）（x0≠±a）是雙曲線E：-=1（a>0，b>0）上一點，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點，直線PM，PN的斜率之積為.

（1）求雙曲線的離心率；

（2）過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足=λ+，求λ的值.

解析：（1）由性質(zhì)2可得=，所以=，所以雙曲線的離心率e=.

（2）λ=0或λ=-4（過程略）.

例2 （2013年廈門市質(zhì)檢卷）已知橢圓C1：+y2=1.

（1）我們知道圓具有性質(zhì)：若E為圓O：x2+y2=r2（r>0）的弦AB的中點，則直線AB的斜率kAB與直線OE的斜率kOE的乘積kAB·kOE為定值. 類比圓的這個性質(zhì)，寫出橢圓C1的類似性質(zhì)，并加以證明.

（2）如圖3，點B為C1在第一象限中的任意一點，過B作C1的切線l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于C，D兩點，求三角形OCD面積的最小值.

（3）如圖4，過橢圓C2：+=1上任意一點P作C1的兩條切線PM和PN，切點分別為M，N. 當點P在橢圓C2上運動時，是否存在定圓恒與直線MN相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.

解析：（1）若A，B為橢圓C1：+y2=1上相異的兩點，E（x0，y0）為A，B中點，則直線AB的斜率kAB與直線OE的斜率kOE的乘積kAB·kOE必為定值，且kAB·kOE=-（證略）. 此命題考查的思想蘊涵于性質(zhì)1中，其一般情況就是性質(zhì)1的逆命題.

（2）（3）略.

上述兩例主要考查直線、圓、橢圓、雙曲線等基礎(chǔ)知識，考查類比推理論證能力、運算求解能力，考查從一般到特殊的思想方法、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力. 此類問題的考查是高考的熱點，其源頭來自于教材，這是“源”. 它具有很強的基礎(chǔ)性，入口淺，但內(nèi)涵豐富，是教材習(xí)題的深化和提升.

延伸推廣，得到進一步結(jié)論

實質(zhì)上，我們?nèi)魧⒋祟悊栴}加以延伸，可以得到下列性質(zhì).

性質(zhì)3 設(shè)A，B的坐標分別為（m，n），（-m，-n），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-，則點M的軌跡方程為+=+.

證明：設(shè)M（x，y），則kAM=，kBM=，所以kAM·kBM=·==-，即得+=+（x≠±m(xù)）.

性質(zhì)4 設(shè)A，B的坐標分別為（m，n），（-m，-n），直線AM，BM相交于M，且它們的斜率之積是，則點M的軌跡方程為-=-（x≠±m(xù)）.

證明同性質(zhì)3的證明，從略.

高考命題再現(xiàn)，拓展應(yīng)用

對這兩個推廣性質(zhì)的考查，是對這一類問題的進一步拓展，是問題之“流”，其所運用的思想方法大體一致，這在近年的高考考查中也不時出現(xiàn)，下面舉例說明.

例3 （2011年高考北京卷）在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（-1，1）關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于-.

（1）求動點P的軌跡方程；

（2）設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點M，N，問：是否存在點P，使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

解析：（1）由性質(zhì)3可得m=-1，n=1，a2=3t，b2=t，動點P的軌跡方程為+=+，即x2+3y2=4（x≠±1）.

（2）存在點P，使得△PAB與△PMN的面積相等，且此時點P的坐標為，±（過程略）.

例4 （2009年高考遼寧卷）已知橢圓C經(jīng)過點A1，，兩個焦點為（-1，0），（1，0）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值.

解析：（1）易得橢圓的方程為+=1.

（2）設(shè)直線AE的方程為y=k（x-1）+，代入+=1，得（3+4k2）x2+4k（3-2k）x+4-k-12=0. 設(shè)E（xE，yE），F(xiàn)（xF，yF）. 因為點A1，在橢圓上，所以xE=，yE=kxE+-k. 又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以-k代k，可得xF=，yF=-kxF++k. 所以直線EF的斜率kEF===. 即直線EF的斜率為定值，其值為.

通過對上述例題的探究，我們可以發(fā)現(xiàn)，高考命題很多是源于教材的，不少題目都能在課本上找到“影子”，往往就是對課本原題的變型、改造及綜合. 高考題“源于教材，高于教材”，這是一條不變的真理，所以復(fù)習(xí)時萬萬不能遠離課本，必要時還應(yīng)對一些課本內(nèi)容進行深入探究、合理延伸和拓展.

由此可見，只要我們認真觀察，注意積累，充分挖掘課本資源，系統(tǒng)地掌握每一章節(jié)的概念、性質(zhì)、法則、公式、定理、公理及典型例題，注意通性通法，重視具有普遍意義的方法和相關(guān)的知識的學(xué)習(xí)，突出對主干知識、數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會，一定能發(fā)現(xiàn)更多的、更好的、有價值的數(shù)學(xué)資源，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率錦上添花.endprint