解題技巧：運用運動變化思想優化解析幾何中的運算

刁成章

常聽同學們說解析幾何的解法“好想的不好算，好算的不好想”，很難完整地解對一道題. 究其原因是解析幾何綜合試題的運算量大，過程煩瑣，易出錯. 然而解析幾何綜合題在全國各地的高考試題中都會出現，且是倒數第一、二題，其難度都比較大. 高考數學要想考出好成績，必需邁過解析幾何中運算這道坎.本文嘗試通過具體實例，闡述運動變化思想在解析幾何解題中的應用即通過幾何元素的運動變化，探索已知條件和結論之間的聯系，從而找到解決問題的方法. 經過多年的經驗總結，在幾何元素的運動變化過程中，我們需要特別關注：①運動變化過程中的變量與不變量（或不變關系）；②運動變化過程中相對于條件和結論的特殊位置；③運動變化過程中所求結論的變化規律.

觀察幾何量在運動變化過程中對所求結論的決定作用，選擇恰當的量作為自變量，降低運算難度

例1 如圖1，已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為，以橢圓的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r>0）. 設圓T與橢圓C交于點M，N.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求·的最小值，并求此時圓T的方程.

分析：在第（2）問中，當圓T的半徑r增大時，點M，N在橢圓C上從左至右運動，在此運動變化過程中，（1）M，N關于x軸對稱的關系不變. （2）運動變化過程中特殊位置有：①M，N無限靠近T，②⊥，③M，N到達右頂點. （3）·的變化規律：①點M的位置決定·的值，②點M從左至右運動時，·的值先減小且為負數，當到某一位置時最小，繼而增大，當M，N到達右頂點時最大.

解答：（1）橢圓C的方程為+y2=1（過程略）.

（2）設M（x1，y1），則N（x1，-y1），從而·=（x1+2）2-y21=（x1+2）2-1-=x1+-. 所以當x1= -時·的最小值為-. 此時M-，，r=TM=，圓T的方程為（x+2）2+y2=.

點評：在第（2）問中，因運動變化過程中發現點M的位置決定·的大小，所以選定點M的坐標（橫坐標或縱坐標）作為自變量，比選用圓T半徑r作為自變量更易表示·. 不僅簡化了運算，而且結論中點M的位置符合·的取值變化規律，可以說運動變化思想還驗證了運算的準確性.

觀察運動變化過程中的不變關系，變變量為常量，降低運算復雜性

例2 如圖2，已知以點A（-1，2）為圓心的圓與直線l1：x+2y+7=0相切，過點B（-2，0）的動直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN中點，直線l與l1相交于點P.

（1）求圓A的方程；

（2）·是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請說明理由.

分析：在第（2）問中，直線l繞點B旋轉，（1）運動變化過程中不變關系有：①Q為MN的中點，AQ⊥BP；②A，B點位置不變. （2）運動變化過程中的特殊位置有：①l∥l，這時點P不存在，不符合題意；②l⊥AB；③l⊥x軸，此時的斜率不存在. （3）在整個變化過程中，點B在線段PQ上，可得·<0.

解答：（1）圓A的方程為（x+1）2+（y-2）2=20（過程略）.

（2）因為AQ⊥BP，所以·=0，所以·=（+）·=·+·=·. 當直線l與x軸垂直時，得P-2，-，則=0，-. 又=（1，2），所以·=·=-5. 當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x+2）. 由y=k（x+2），x+2y+7=0解得P，，所以=，. 所以·=·=-=-5. 綜上所述，·是定值，且·=-5.

點評：正是因為在直線l繞點B旋轉過程中發現了AQ⊥BP這個不變關系，將所求結論·中兩個變化的向量，，轉化成·中只有一個變化的向量，減少變量個數，從而使運算得到簡化.

觀察運動變化過程中幾何量的變化規律，變未知為已知

例3 在平面直角坐標系中，點P（x，y）為動點，已知點A（，0），B（-，0），直線PA與PB的斜率之積為-.

（1）求動點P的軌跡E的方程；

（2）過點F（1，0）的直線l交曲線E于M，N兩點，設點N關于x軸對稱的點為Q（M，Q不重合），求證：直線MQ過定點.

分析：在第（2）問中，直線l繞點F旋轉，在此過程中，（1）不變關系有：①l過點F，②Q，N關于x軸對稱. （2）特殊位置有：l不與x軸垂直，也不與x軸重合. （3）由橢圓關于x軸對稱，且點F在x軸上，可觀察出直線MQ所過定點在x軸上.

解答：（1）動點P的軌跡E的方程為+y2=1（y≠0）（過程略）.

（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），則Q（x2，-y2）. 設直線l：y=k（x-1），代入+y2=1（y≠0）得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，從而x1+x2=，x1·x2=. 所以直線MQ的方程為y-y1=·（x-x1） ①.

令y=0，可得x=x1+=x1+==2 ②，所以直線MQ過定點（2，0）.

點評：由于在直線l繞點F旋轉過程中觀察出“直線MQ所過定點在x軸上”，才有在第①式中“令y=0”，左邊從多項式變成單項式，簡化了運算. 又因為定點在x軸上，①式中的x必為定值，才知將①式化為②式并將前面的結論代入得出x的值. 通過運動變化思想不僅將未知數y變成已知數0，還指明了運算方向，使運算變得快速而準確.

觀察運動變化過程中所求量的變化規律，變求值為證明

例4 如圖4，已知過坐標原點且互相垂直的直線l，l與橢圓L：+=1（a>b>0）相交于A，C，B，D四點，求四邊形ABCD面積的最大值.

本題是2013年某地二診文科最后一題，解法一是命題人所給標準答案，解法二是筆者所做答案.

解法一：設直線l1：y=kx，與+=1（a>b>0）聯立解得A，，所以OA=. 同理設直線l2：y=-x，得OB=，所以SABCD=4S△AOB=2OA·OB= ①

=2ab ②

=2ab ③，

顯然當k=0時，SABCD取得最大值2ab.

解法二：

分析：根據橢圓對稱性易得：四邊形ABCD為菱形，讓直線l1，l2繞原點旋轉，其過程可看做點A從橢圓右頂點M沿橢圓第一象限的部分移動到橢圓上頂點N的過程，在此過程中（1）不變關系有：①四邊形ABCD是菱形，②SABCD=4S△AOB=2OA·OB；（2）特殊位置有：①A在橢圓的右頂點M處，②A在第一象限角平分線與橢圓交點P處，③A在橢圓的上頂點N處；（3）△AOB面積的變化規律：點A從M移動到P時，△AOB面積遞減，從P移動到N時，△AOB面積遞增，且點M與N處△AOB面積相等.

解答：當l1，l2是坐標軸時，易得SABCD=2ab ①. 當l1，l2不是坐標軸時，設直線l1：y=kx（k≠0），與+=1（a>b>0）聯立解得A，，所以OA=. 同理設直線l2：y=-x，得OB=. 所以SABCD=4S△AOB=2OA·OB= ②

=2ab· ③

=2ab ④.

因為a4+b4>2a2b2（a>b>0），所以<1 ⑤. 所以SABCD=2ab·<2ab⑥. 綜上，SABCD的最大值為2ab.

點評：解法一是值得商榷的，首先未討論直線l1，l2斜率是否存在，存在時斜率k不能為0，所以③式中2ab只能得到小于2ab；且在運算過程中，從①式到②式，為什么要提出2ab？②式為什么要化成③式？多數同學很難看懂，更難想到. 而解法二中，通過運動變化過程感知點A所在三種特殊位置，自然會想到l1，l2是否為坐標軸時四邊形ABCD面積算法的不同，從而進行分類；發現△AOB面積的變化規律，知道l1，l2不是坐標軸時，SABCD會小于l，l是坐標軸時四邊形ABCD的面積，從而將求②式的最值問題轉化成證明<2ab，使得后面的每一步驟思維自然，運算方向明確，大大降低運算難度.endprint