求解圓錐曲線離心率的四種數(shù)學意識

武增明

縱觀2014年的高考試題，圓錐曲線離心率問題仍然備受關(guān)注，且題型多樣，不斷翻新，內(nèi)涵豐富，立意新穎，顯示出旺盛的生命力.大部分題型都是以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，其中有些題目的難度較大，綜合性強，解法極富靈活性.本文僅就探求2014年高考圓錐曲線離心率的值的典型問題的數(shù)學意識加以認真分析、總結(jié)，以期能對大家的學習有所幫助.

定義意識

這里的定義是指橢圓、雙曲線的第一定義. 波利亞說：“當你不能解決一個問題時，不妨回到定義中去！”定義是解決問題的原生力量. 圓錐曲線的定義，是圓錐曲線最本質(zhì)屬性的反映，是圓錐曲線的靈魂.靈活利用圓錐曲線的定義解題時，要特別關(guān)注圓錐曲線的焦點. 有效借助定義，不但使我們可以找到關(guān)于a，c的等式，而且還可以避免大量的計算，使問題的解決變得容易.

例1 （2014重慶卷·理8）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線-=1（a>0，b>0）的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得PF1+PF2=3b，PF1·PF2=ab，則該雙曲線的離心率為（ ）

A. B. C. D. 3

破解 不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點，根據(jù)雙曲線的定義有PF1-PF2=2a，與PF1+PF2=3b聯(lián)立，平方相減得PF1·PF2=. 又由題設(shè)條件，得=ab，整理得4a=3b16a2=9b216a2=9（c2-a2）e2=e=.

方程意識

我們知道，方程思想在解決數(shù)學問題中起了巨大作用，處理圓錐曲線離心率的值的問題也就是列方程和解方程這兩個過程. 從高考題型來看，有兩種思路，思路1是根據(jù)條件直接列出關(guān)于a，b，c的方程；思路2是先根據(jù)條件設(shè)出與之相關(guān)的曲線方程，再進一步得到關(guān)于a，b，c的方程.

思路1的求解過程可用圖形來表示，如下圖所示.

例2 （2014年高考江蘇卷）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點，頂點B的坐標為（0，b），連結(jié)BF2并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連結(jié)F1C.

（1）若點C的坐標為，，且BF2=，求橢圓的方程；

（2）若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值.

破解 （1）略.

（2）因為B（0，b），F(xiàn)2（c，0）在直線AB上，所以直線AB的方程為+=1. 解方程組+=1，+=1，得x1=，y1=，x2=0，y2=b.所以點A的坐標為，. 又AC垂直于x軸，由橢圓的對稱性，可得點C的坐標為，. 因為直線F1C的斜率為=，直線AB的斜率為-，且F1C⊥AB，所以·-=-1. 又b2=a2-c2，整理得a2=5c2，故e2=. 因此e=.

評注 求離心率一般是建立離心率e的方程求解.

第（2）問的求解過程可用圖形來表示，如下圖所示.

例3 （2014年高考浙江卷）設(shè)直線x-3y+m=0（m≠0）與雙曲線-=1（a>0，b>0）的兩條漸近線分別交于點A，B. 若點P（m，0）滿足PA=PB，則該雙曲線的離心率是________.

破解 取AB的中點E，連結(jié)PE.因為PA=PB，所以PE⊥AB，又kAB=，于是kPE=-3. y=xx-3y+m=0A，；同理可得B，. 從而E，，故kPE==，所以= -3b2=-2a2+9b2a2=4b2e=.

平幾意識

解析幾何是用數(shù)量關(guān)系來研究幾何形狀的，在用代數(shù)方法研究曲線間的關(guān)系的同時，要善于挖掘并充分利用好圖形本身所具有的平面幾何性質(zhì)，這樣做往往可以簡約思維，簡化運算，優(yōu)化過程，且能給人耳目一新之感.

例4 （2014年高考江西卷）設(shè)橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與C相交于A，B兩點，F(xiàn)1B與y軸相交于點D. 若AD⊥F1B，則橢圓C的離心率等于__________.

破解 不妨設(shè)點A在x軸上方，則依題意得Ac，，Bc，-. 因為O是F1F2的中點，又OD∥F2B，所以D是F1B的中點，從而得D0，-，于是=-c，-，=2c，-. 由AD⊥F1B，可得·=0-2c2+=0b2=2ace=-（舍去）或e=e=.

評注 此解答利用平面幾何知識得到點D的坐標，簡化了運算. 在這里，我們也可以先求出直線F1B的方程，再求點D的坐標. 由前可得直線F1B的方程為y-0=（x+c），令x=0，得D0，-，后同答案.

點差意識

在研究直線被圓錐曲線截得中點弦問題時，設(shè)出弦端點坐標，并代入圓錐曲線方程得兩式，將其兩式相減分解因式可整理出弦所在直線的斜率與該弦端點坐標和中點坐標的關(guān)系式. 這種解題方法不妨叫設(shè)點求差法，簡稱點差法. 其解題的主要步驟是：第一步，設(shè)出弦的端點坐標；第二步，代入方程并兩式相減；第三步，建立端點與中點的坐標關(guān)系；第四步，找出弦所在直線斜率與該弦端點坐標和中點坐標的關(guān)系式.

例5 （2014年高考江西卷）過點M（1，1）作斜率為-的直線與橢圓C：+=1（a>b>0）相交于A，B兩點. 若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于________.

破解 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則+=1，+=1，兩式作差，得 （x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0. 因為x1+x2=2，y1+y2=2，k==-，所以a2=2b2，故a2=2c2，從而e=.

評注 雖然先將直線AB的方程y-1=-（x-1）與橢圓C：+=1聯(lián)立，消去x或y，得到關(guān)于x或y的一元二次方程，然后用韋達定理也可以解決本題，但是沒有用點差法來得既快速又簡捷.endprint