初中生代數(shù)證明水平的發(fā)展研究

陳進

摘要：數(shù)學(xué)證明具有重要的教育價值，在目前教育體制下，初中生具有怎樣的數(shù)學(xué)證明水平值得大家關(guān)注。通過“日歷問題”為例，對初中生的代數(shù)證明水平進行調(diào)查，了解初中生數(shù)學(xué)證明水平的一些現(xiàn)狀，并思考出現(xiàn)這些狀況的深層原因。

關(guān)鍵詞：代數(shù)證明；日歷問題；課程標準；性別差異；城鄉(xiāng)差別

1.問題提出

《數(shù)學(xué)課程標準》在7～9年級的課程目標中提出“認識通過觀察、實驗、歸納、類比、推斷可以獲得數(shù)學(xué)猜想，體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索性和創(chuàng)造性，感受證明的必要性、證明過程的嚴謹性以及結(jié)論的確定性”；在課程實施建議中提出“應(yīng)關(guān)注證明的必要性、基本過程和基本方法”。由此看出，新課標更加重視發(fā)展學(xué)生的數(shù)感和符號感，重視口算、估算，提倡算法多樣化，更注重引導(dǎo)學(xué)生體會證明的必要性，理解證明的基本過程，加強培養(yǎng)學(xué)生“說理有據(jù)”的意識；同時，降低對論證過程形式化和證明技巧的要求，旨在讓學(xué)生掌握基本的證明方法，對課程內(nèi)容中有關(guān)術(shù)語在文字表達上的要求也有所降低，試圖做到“淡化形式”，對于這種改變，數(shù)學(xué)界有不同的聲音，孰是孰非？不敢妄下結(jié)論。在西歐和北美的一些國家，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)證明在教學(xué)中的地位也在逐漸弱化。7～9年級學(xué)生的證明水平現(xiàn)狀究竟怎么樣，勢必會引起許多人的關(guān)注。在八年級數(shù)學(xué)教科書下（蘇科版）“說理”一節(jié)教學(xué)中的一個問題引起了我們的思考。

探索：1.當(dāng)χ=-5、- 、0、2、3時，計算代數(shù)式χ2—2χ+2的值，

與同學(xué)交流。

2.換幾個說再試試，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能說明理由嗎.

在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解答本題時存在兩個困難：一是代數(shù)式的值大于等于1不會歸納。二是對恒等變換證明這種形式很陌生。因此，能正確回答這個問題的學(xué)生很少。事實上，在初中階段，幾何是發(fā)展學(xué)生證明推理的主要載體。在學(xué)生的心目中，證明題就等同于幾何題。眾所周知，證明不僅僅局限于幾何，在代數(shù)中也存在推理證明。本文以“日歷問題”為例，研究7～9年級學(xué)生的代數(shù)證明發(fā)展水平。

2.研究方法

2.1 問題的設(shè)計

在數(shù)學(xué)課程標準以及在七年級數(shù)學(xué)上冊（蘇科版）第一章第二節(jié)中，都出現(xiàn)了探索月歷中數(shù)量關(guān)系的問題，鑒于此問題對初中生來說都比較熟悉，便以操作，筆者略作改編，作為此次問卷調(diào)查的題目。

觀察月歷

問題1 觀察月歷中帶有陰影方框中的4個數(shù)：

（1）方框中左上與右下數(shù)字之積為

（2）方框中左下與右上數(shù)字之積為

計算：第（1）個積與第（2）個積之差為

問題2 觀察月歷中另一方框中的4個數(shù)：

（1）方框中左上與右下數(shù)字之積為

（2）方框中左下與右上數(shù)字之積為

計算：第（1）個積與第（2）個積之差為

問題3 在這張月歷中，將方框上下或左右平移后，方框中的4個數(shù)之間還存在如上的結(jié)論嗎？說明你的理由（無論成立與否都要說明理由）。

3·調(diào)查對象

在2010～2011學(xué)年第二學(xué)期3月份在蘇州常熟X校（市區(qū)公立學(xué)校、每個年級有10個班、轄區(qū)招生）每個年級隨機選擇了兩個班級（七年級87名學(xué)生，八年級77名學(xué)生，九年級78名學(xué)生）進行了問卷測試。同時我們又在常熟M校某個（公立農(nóng)村中學(xué)、每個年級有6個班、生源主要來自本鎮(zhèn)）每個年級隨機選擇了兩個班級（七年級、八年級、……）進行了相同的測試。

4.研究的結(jié)果

4.1 代數(shù)證明水平的劃分

根據(jù)學(xué)生的回答，我們把學(xué)生的證明水平分成兩類：經(jīng)驗的證明和邏輯的證明。經(jīng)驗的證明，可以劃分出兩個水平。

水平1通過具體的例子解釋結(jié)論的真實性。

問題3在這張月歷中，將方框上下或左右平移后，方框中的4個數(shù)字之間還存在如上的結(jié)論嗎？請說明你的理由（無論成立與否都要說明理由）。

學(xué)生答：成立。

因為左上角的數(shù)比左下角的數(shù)小7，而且右上角的數(shù)比左上角的數(shù)大1，又因為右上角的數(shù)比左下角的數(shù)小6，左上角的數(shù)比右下角的數(shù)小8，所以應(yīng)該積小7。

第二類是演繹的證明，利用代數(shù)式的恒等變換獲得一般結(jié)論。此時，學(xué)生的水平存在以下三個水平。

水平3用字母來表示數(shù)，但未達到水平4。

問題3在這張月歷中，將方框上下或左右平移后，方框中的4個數(shù)字之間還存在如上的結(jié)論嗎？請說明你的理由（無論成立與否都要說明理由）。

學(xué)生答：存在。

上下兩個數(shù)之差為7

問題3在這張月歷中，將方框上下或左右平移后，方框中的4個數(shù)字之間還存在如上的結(jié)論嗎？請說明你的理由（無論成立與否都要說明理由）。

學(xué)生答：成立。

設(shè)左上角的數(shù)為χ，右上角的數(shù)為χ+1，左下角的數(shù)為χ+7，右下角的數(shù)為χ+8，

則：χ（χ+8）-（χ+1）（χ+7）=χ2+8χ-（χ2+8χ+7）。

問題3在這張月歷中，將方框上下或左右平移后，方框中的4個數(shù)字之間還存在如上的結(jié)論嗎？請說明你的理由（無論成立與否都要說明理由）。

學(xué)生答：成立。

設(shè)左上角的數(shù)為n，右上角的數(shù)為n+1，左下角的數(shù)為n+7，右下角的數(shù)為n+8，

則：左上與右下之積為n2+8n，

右上與左下之積為n2+8n+7，

差為7。

所以成立。

4.2 數(shù)據(jù)分析

第一，數(shù)據(jù)表明（如下頁表1、表2）能用字母表示數(shù)來解決問題（也就是達到水平3以上）的人數(shù)偏少，X中學(xué)學(xué)生七年級占26.44%，八年級占35.06%，九年級占61.04%；M中學(xué)學(xué)生七年級占9.47%，八年級占15.85%，九年級占49.38%。

第二，學(xué)生的代數(shù)證明水平七、八兩個年級之間無顯著差異，九年級顯著高于其他兩個年級。X中學(xué)三個年級之間存在顯著性的差異（χ2（10）=33.530， p=0.000）；七年級、八年級無顯著差異（χ2（5）=8.364， p=0.137）；八年級、九年級有顯著差異（χ2（5）=16.097， p=0.007）；七年級、九年級有顯著差異（χ2（5）=21.624， p=0.001）。X中學(xué)三個年級之間存在顯著性的差異（χ2（10）=64.775， p=0.000）；七年級、八年級無顯著差異（χ2（5）=10.464， p=0.063）；八年級、九年級有顯著差異（χ2（5）=28.202， p=0.000）；七年級、九年級有顯著差異（χ2（5）=47.569， p=0.000）。

第三，學(xué)生的代數(shù)證明水平存在城鄉(xiāng)差別。七年級（χ2（5）=24.141，p=0.000）；八年級（χ2（5）=18.799，p=0.002）；九年級（χ2（5）=14.416，p=0.013）。

第四，每個年級的性別之間無顯著差異，整個參與調(diào)查的對象的性別之間無顯著差異。X中學(xué)三個年級的男女生之間均無顯著差異，七年級χ2（5）=7.626，p=0.178；八年級χ2（4）=4.253，p=0.373；九年級χ2（5）=9.673，p=0.085，M中學(xué)三個年級的男女生之間均無顯著差異；七年級χ2（5）=10.315，p=0.067；八年級χ2（5）=1.757，p=0.882；九年級χ2（4）=6.607，p=0.158。

5.討論

5.1 學(xué)生代數(shù)證明水平的發(fā)展受到了課程教材的影響

初三學(xué)生能從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理解問題，并能綜合運用所學(xué)的知識和技能解決問題，發(fā)展應(yīng)用意識；形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力與創(chuàng)新精神。同時教材對“空間與圖形”的主要關(guān)注點—推理與證明，進行了整體性設(shè)計，這些設(shè)計主要基于以下兩點考慮：一是合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式，不是隔立的，更不是對立的，應(yīng)當(dāng)把它們有機地結(jié)合起來。二是數(shù)學(xué)教學(xué)需要形式化訓(xùn)練，但過早地形式化可能會使學(xué)生遠離數(shù)學(xué)的本質(zhì)。推理的本質(zhì)是“有條理的思考和表達”，而不是：“∵……∴……（……）”的形式化證明。我們的調(diào)查時間是在第一學(xué)期，而教材把證明放在八（下）和九（上），從這個角度來看也表明課程有效地促進了學(xué)生邏輯性證明的發(fā)展。

5.2 數(shù)學(xué)代數(shù)證明水平與學(xué)生的性別差異有關(guān)系

1993年，國際數(shù)學(xué)教育委員會（ICMI）在瑞典專門召開過“性別與教育”國際研討會，幾名美國學(xué)者通過對部分小學(xué)老師的深入調(diào)查分析，認為在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上確實存在著性別差異，而且這種差異隨年級的升高逐漸增大，越是高認知水平的學(xué)習(xí)，男生的優(yōu)秀就越明顯。我國學(xué)者在這方面的研究結(jié)論大致有兩類：一類認為，男、女兩性的數(shù)學(xué)思維發(fā)展在總體上是平衡的，但在邏輯推理、掌握邏輯法則、辯證思維及空間想象等方面的表現(xiàn)，又是各具特色的；另一類則認為，男、女兩性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平在總體上有顯著差異（個別差異不顯著除外），男性要高于女性。通過這次調(diào)查，發(fā)現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)證明水平方面男女學(xué)生幾乎沒有差異，原因可能是在經(jīng)濟相對發(fā)達的蘇南地區(qū)，家庭、社會和學(xué)校對性別基本已無偏見，對男女生的期望值是一樣的；在對數(shù)學(xué)成績的要求上，家長和教師對男女生是相同對待；平時在學(xué)校教學(xué)中，教師對男女生要求是相同的，環(huán)境因素的影響已經(jīng)很小了。

5.3 數(shù)學(xué)代數(shù)證明水平與家庭教育有關(guān)

家長也對“教育孩子”給予了很大的關(guān)注，對孩子的健康成長起到了越來越大的積極作用。但由于長期以來的城鄉(xiāng)二元結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致城鄉(xiāng)之間經(jīng)濟、文化發(fā)展不平衡，表現(xiàn)在教育上城鄉(xiāng)還存在著一定的差距。從這次調(diào)查結(jié)果來看也符合了這一點，本次調(diào)查的兩所學(xué)校從硬件設(shè)施和師資及教學(xué)內(nèi)容上來看基本不存在差異，可能主要在于家庭教育上的差異：一是經(jīng)濟狀況影響，為了給孩子提供更好的學(xué)習(xí)和生活環(huán)境，大部分的農(nóng)村家長將更多精力用在工作上，很少有時間關(guān)心學(xué)生的課余生活。二是資料表明，農(nóng)村人口比城鎮(zhèn)人口受文化教育年限平均少2～3年，城鎮(zhèn)居民再學(xué)習(xí)提高的時間和機會多。農(nóng)村家長接受的教育較少，文化程度普遍偏低，相對缺乏自我約束力和調(diào)節(jié)力，從而給子女造成一定的影響。