Walsh 變換與數(shù)學形態(tài)學的特征提取對比研究

經(jīng) 哲 郭 利

(軍械工程學院導彈工程系，河北 石家莊 050003)

0 引言

液壓泵是液壓系統(tǒng)的“心臟”，其性能好壞直接決定著整個液壓系統(tǒng)能否正常運行。液壓泵的振動信號因包含豐富的狀態(tài)信息，且易于獲取，是分析液壓泵故障診斷重要的特征信號之一。對于軸向柱塞式液壓泵而言，其振動信號常含有較多的沖擊成分，因此，對液壓泵振動信號中沖擊成分的頻率特征進行提取，是實現(xiàn)液壓泵故障診斷的基礎。

Walsh 變換與數(shù)學形態(tài)學近年來常被用于信號的特征提取［1-6］。Walsh 變換與Fourier 變換相似，也是信號的處理方法之一，與建立在復數(shù)乘法之上的Fourier 變換相比，Walsh 變換中只有簡單的加減法，所以Walsh 變換的計算速度極快，其相應的功率譜較Fourier 功率譜而言，敏感性和抗噪能力更強［6］。數(shù)學形態(tài)學［7］通過結(jié)構(gòu)元素探針在信號中的移動可以提取信號的沖擊特征，和時域、頻域的其他數(shù)學方法不同，其抑制脈沖干擾能力較強［8］。

針對液壓泵振動信號常含有沖擊成分的問題，本文將Walsh 變換和數(shù)學形態(tài)學引入到信號特征提取中來，通過仿真和實驗分析，數(shù)學形態(tài)學在提取信號沖擊特征頻率方面優(yōu)于Walsh 變換。

1 Walsh 變換

Walsh 函數(shù)系是一組完備的正交函數(shù)系，由+1 和-1 兩個元素構(gòu)成。在實際工程應用中，常利用離散Walsh 變換處理有限長序列離散信號。離散Hadamard變換和離散Walsh 變換本質(zhì)上相同，只是排列次序略有差異。Hadamard 變換具有簡單的遞推關系，對于高階矩陣的計算其更加簡單直接，因此，常利用Hadamard 變換進行高階矩陣的計算。

離散Hadamard 變換的代數(shù)式可定義為:

式中:{B(K)}為Hadamard 變換后的系數(shù)序列;K =0，1，2，…，N-1;n=0，1，2，…，N-1。

根據(jù)矩陣形式的定義，可得Hadamard 變換的矩陣定義式:

式中:HN為N 階Hadamard 矩陣。

常見的Walsh 變換有三種排序方式，分別為Walsh序、Paley 序和Hadamard 序。三種序列之間可以互相轉(zhuǎn)換，關系如下:

在計算功率譜時，常選用Walsh 序的變換系數(shù):C(0)，C(1)，…，C(N-1)，則Walsh 變換的功率譜為［9］:

2 數(shù)學形態(tài)學

2.1 數(shù)學形態(tài)學基本運算

數(shù)學形態(tài)學的基本運算包含腐蝕和膨脹兩種算子［10］。設一維多值信號x(n)的定義域為X = {0，1，2，…，N-1}，一維結(jié)構(gòu)元素序列y(n)的定義域為Y={0，1，2，…，M-1}，其中N 和M 都是整數(shù)，且N ＞M，則x(n)關于y(n)的膨脹和腐蝕分別定義為:

數(shù)學形態(tài)學中的腐蝕運算有抑制正向沖擊和平滑負向沖擊的作用，而膨脹運算則相反，在平滑正向沖擊的同時抑制了負向沖擊。

利用腐蝕和膨脹的概念，可將x(n)關于y(n)的開、閉運算分別定義為:

數(shù)學形態(tài)學中的開運算常用來去除信號邊緣的毛刺，同時可以濾除信號上方的峰值噪聲;閉運算常用于平滑或抑制信號下方的波谷噪聲，起到填補信號漏洞和裂紋的作用。

2.2 形態(tài)學濾波器

利用形態(tài)學的開、閉運算可以構(gòu)建兩種常用的濾波器:平均濾波器(AVG)和差值濾波器(DIF)。二者分別表示如下:

AVG 可以在消除信號正、負沖擊的同時平滑信號，而DIF 可以提取信號中的正、負沖擊。

2.3 形態(tài)學結(jié)構(gòu)元素

結(jié)構(gòu)元素形狀和大小的選擇對濾波效果有重要的影響，是形態(tài)學的基本算子之一。常用的形狀有三角、半圓、菱形等。結(jié)構(gòu)元素越復雜，計算量越大，提取信號的效果也越好。考慮到提取效果和計算量等綜合因素，處理信號時常選用扁平的圓盤形作為結(jié)構(gòu)元素［11］。

3 仿真信號分析

在對比研究中，采用如下形式的仿真信號模擬液壓泵出現(xiàn)故障時的振動信號:

在信號s(t)中，沖擊分量包含兩部分［12］:x1(t)模擬液壓泵振動信號中的固有沖擊成分，x2(t)模擬液壓泵出現(xiàn)故障時故障引起的沖擊成分。n(t)代表白噪聲成分，加噪后信號的信噪比為-5 dB。仿真信號的采樣頻率為2 048 Hz，采樣點數(shù)4 096。圖1 為s(t)的時域圖和頻譜圖。

圖1 仿真信號的時頻圖Fig.1 The time-frequency diagram of simulation signal

由仿真信號易得，信號沖擊成分的能量主要集中在270 Hz。現(xiàn)分別利用Fourier 功率譜、Walsh 功率譜和形態(tài)學差值濾波器對信號進行特征提取，結(jié)果如圖2 所示。由仿真圖可以看出，F(xiàn)ourier 功率譜在提取10 Hz和30 Hz 的沖擊頻率特征的同時，能夠提取10 Hz的2 倍頻，但是15 Hz 和26 Hz 混淆了頻率特征的提取。Walsh 功率譜提取的9.75 Hz 與29.75 Hz 與沖擊成分頻率十分接近，但是其提取出46.75 Hz 與87 Hz 亦對頻率特征的提取造成一定的影響。由形態(tài)學差值濾波器對頻率特征進行提取，能準確地提取10 Hz的1、2、3、4 倍頻和30 Hz 的1、2 倍頻，10 Hz 的3 倍頻和30 Hz 相重合，所以30 Hz 處的頻譜幅值較大。綜上所述，形態(tài)學差值濾波器的特征提取效果最好。

圖2 特征提取曲線Fig.2 Feature extraction curves

4 液壓泵實測信號分析

在液壓泵的常見故障模式中，斜盤磨損和滑靴松動是最容易發(fā)生的兩種故障。滑靴與斜盤之間的摩擦副是斜盤式軸向柱塞泵多對摩擦副中最復雜的一對［13］，對液壓泵的性能影響較大。在液壓泵工作過程中，出現(xiàn)斜盤磨損故障或出現(xiàn)松靴故障時，都會影響其正常工作，降低液壓泵壽命，甚至發(fā)生重大事故。

本文采用的試驗器件名稱及型號如表1 所示。

表1 試驗器件名稱及型號Tab.1 The name and model number of experimental devices

其中，驅(qū)動電機的額定轉(zhuǎn)速為1 480 r/min;液壓泵的柱塞數(shù)為7，理論排量為10 ml/r，額定轉(zhuǎn)速為1 500 r/min，液壓泵主溢流閥壓力為10 MPa，采樣頻率為20 kHz，采樣點數(shù)為10 000。由于泵軸的轉(zhuǎn)速為1 500 r/min，單個柱塞附加沖擊的基頻為f = n/60(n 為電機的轉(zhuǎn)速)，則本試驗的液壓泵的沖擊振動基頻為1 480/60 ×7 =172.667 Hz。

采集到的松靴和斜盤磨損的信號的時頻圖分別如圖3、圖4 所示。

圖3 松靴狀態(tài)下的時頻圖Fig.3 The time-frequency diagram of loose slipper state

圖4 斜盤磨損狀態(tài)下的時頻圖Fig.4 The time-frequency diagram of swash-plate wear state

從采集信號的頻譜圖中只能看出液壓泵振動信號的能量主要集中在幾個頻率上，并不能提取信號基頻等頻率特征。下面分別對振動信號求取Fourier 功率譜、Walsh 功率譜以及通過形態(tài)學差值濾波器提取信號的特征頻率，結(jié)果如圖5 所示。

圖5 斜盤磨損信號特征提取曲線Fig.5 Featur e extraction curves of swash-plate wear te signal

圖5 中，A 代表振幅。由圖5 對比分析可得，F(xiàn)ourier 功率譜提取出的170.9 Hz、354 Hz 和517.6 Hz與理論分析的基頻172.667 Hz、2 倍頻345.334 Hz 和3 倍頻518.001 Hz 較為接近，但頻譜幅值較低，效果一般。Walsh 功率譜提取出的接近基頻的170.9 Hz 幅值較高，頻率特征較明顯，但358.9 Hz 與859.4 Hz 與2 倍頻345.334 Hz、5 倍頻863.335 Hz 相差較多，且提取出的頻率有干擾成分。由形態(tài)學差值濾波器提取的172 Hz、344 Hz、516 Hz 與688 Hz 與理論分析的基頻及其2、3、4 倍頻較為接近，效果最好。松靴信號特征提取曲線如圖6 所示。

圖6 松靴信號特征提取曲線Fig.6 Feature extraction curves of loose slipper state signal

由圖6 對比分析可得，F(xiàn)ourier 功率譜提取的344.2 Hz與振動信號基頻的2 倍頻較為接近;而Walsh功率譜提取的168.5 Hz 與178.2 Hz 在基頻附近，但是基頻已被湮沒，48.83 Hz 等頻率對特征頻率的分析噪聲一定的影響。形態(tài)學差值濾波器提取的172 Hz、344 Hz與振動信號的基頻及其2 倍頻較為接近，雖然50 Hz 等頻率也有一定的影響，但基頻幅值較高，可以提取信號的特征頻率。

5 結(jié)束語

傳統(tǒng)的Fourier 功率譜與Walsh 功率譜、形態(tài)學差值濾波器均能提取液壓泵振動信號的特征頻率，為故障預測和診斷打下良好基礎。通過仿真試驗和液壓泵模擬故障實驗，結(jié)果表明，形態(tài)學差值濾波器在提取頻率特征方面優(yōu)于Fourier 功率譜和Walsh 功率譜。

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