從“收斂”到“極限為零”

丁志帥，張志猛

摘要：本文通過對兩類問題“從級數的收斂性與數列的單調性得到數列極限”、“從反常積分的收斂性與函數的單調性得到函數在無窮遠處的性態”進行詳細分析，將其推廣成更有一般意義的問題，并給出證明。

關鍵詞：級數;反常積分;單調性

中圖分類號：O174???? 文獻標志碼：A???? 文章編號：1674-9324（2014）41-0275-03

1 引言

在考研輔導書及數學分析的習題集上我們經常會碰見有如下特點的一類問題，這類問題的主要條件是具有某種形式的級數或反常積分是收斂的，結論是具有另一類形式的數列或函數極限等于零。下面是從數學分析的教輔或題解上遇到的問題（具體解答參看參考文獻）。

1.1[1]已知正項級數■a■收斂，a■單調遞減趨于零，則■na■=0.

1.2[2]已知級數■a■收斂，a■單調，則■na■=0.

1.3[3]已知級數■a■收斂，na■單調，則■a■nlnn=0.

還有相應的無窮積分的結論，可以做一下對比。

1.4[4]已知無窮積分■f（x）dx收斂，f（x）單調遞減，則■f（x）=0.

1.5[2]已知無窮積分■f（x）dx收斂，f（x）單調，則f（x）=o（■）.

1.6[2]已知無窮積分■f（x）dx收斂，xf（x）單調，則■f（x）xlnx=0.

本文通過對這類問題的詳細分析，發現均為“從級數的收斂性與數列的單調性得到數列極限”、“從反常積分的收斂性與函數的單調性得到函數在無窮遠處的性態”，我們將其推廣為更一般的形式。首先給出本文將用到的引理。

引理：（微分中值不等式）若f（x）在R上可導，則？坌x■∈R，都有

f（x■）-f（x■-1）≤f'（x■）≤f（x■+1）-f（x■）？搖（其中f'（x）單調遞增）

f（x■+1）-f（x■）≤f'（x■）≤f（x■）-f（x■-1）（其中f'（x）單調遞減）

證明：由Lagrange中值定理知，存在ξ∈[x■-1，

x■]，使得■=f'（ξ）

所以inf{f'（x）：x■-1≤x≤x■}≤f（x■）-f（x■-1）≤sup{f'（x）：x■-1≤x≤x■}

若f'（x）單調遞增，則f'（x■-1）≤f（x■）-f（x■-1）≤f'（x■）;

若f'（x）單調遞減，則f'（x■）≤f（x■）-f（x■-1）≤f'（x■-1）.

2 主要結果

為方便書寫，定義ln[-1]■x=ln（-1）x=1，ln■[0]x=ln（0）x=x，ln（k）x=lnln（k-1）■x，ln[k]■=ln（k）xln（k-1）■x（其中k∈N）

命題1：已知無窮積分■f（x）dx收斂，f（x）ln[k-1]■x是單調函數，則■f（x）ln[k]■x=0.

命題2：已知級數■a■收斂，a■ln[k-1]■n單調，則■a■ln[k]■n=0.

要想解決這兩個難題，只參考書上的辦法很難行通，雖然用同樣的思路是可以解決的，但中間的過程程異常麻煩，甚至無法表達清楚。本文就試圖用統一的辦法解決這個問題.

定理1：已知無窮積分■f（x）dx收斂，可微函數G（x）單調遞增趨于正無窮，G'（x）恒不為零，■單調，則■■=0（條件中所有式子在[a，+∞]間均有意義）.

證明：不妨設■單調遞增，我們首先證明■≤0.

反證：若？堝x■使得■≥c>0，則？坌x≥x■，■≥c>0，于是f（x）≥cG'（x），所以■f（x）dx≥

c■G'（x）dx=+∞，矛盾。故有■≤0（？坌x≥a）.

∵G（x）單調遞增趨于正無窮，故■G（x）單調遞增，因此G（x）有反函數，令y（x）=G■（■G（x））.則G（y（x））=■G（x），y（x）≤x（x≥a）.再由柯西收斂準則知，？坌ε>0，？堝M>0，使得？坌x■>y（x■）>M（當x充分大時，G（x）>0，故y（x）

ε>■f（x）dx=■■■■dx≥■■G'（x■）dx=■（G（x■）-G（y（x■））=■

故■■=0.同理，對于■單調遞減的情況，類似證明.

定理2：已知級數■a■收斂，b■=■，c■=G（n），anbn單調，則■a■b■c■=0。其中的G（n）滿足定理1中的條件，并且G'（n）單調。

證明：不妨設G'（x）單調遞減，anbn單調遞減.先證明anbn≥0.

反證：若？堝n■和c使得a■b■≤c<0，則？坌n≥n■，都有anbn≤c<0，則a■≤cG'（n），所以■a■

c■（G（n）-G（n-1））=c■G（n）-G（n■-1）=-∞？搖？搖（1）矛盾。所以，anbn≥0.其中（1）式是由于G'（x）單調遞減，滿足引理條件，故G（i）-G（i-1）>G'（i）>G（i+1）-G（i）.由定理1的證明過程可知G（n）存在反函數，令y（n）=G■（■），其中a=max{nn≤a}被稱為地板取整函數.于是G（n+1）-G（y（n））≥■+■-G（y（n））≥■

則由柯西收斂準則知，？坌ε>0，？堝M>0，使得？坌n■>y（n■）>M，都有

ε>■a■=■■>■G'（i）■

>■（G（i+1）-（G（i））■

=G（n■+1）-G（y（n■））？搖■≥■

所以：■anbncn=■■=0.

還有三種情況：（1）G'（x）單調遞增，a■b■單調遞減;（2）G'（x）單調遞減，a■b■單調遞增;（3）G'（x）單調遞增，a■b■單調遞增。同理，都可類似證明。

綜上所述，■anbncn=■■=0

最后給出開始的兩個命題的證明：取G（x）=ln■x單調遞增趨于正無窮，G'（x）=■恒不為零，滿足定理1的條件，所以命題1成立。又G'（n）=■單調遞減（n充分大時），滿足定理2的條件，所以命題2成立。

參考文獻：

[1]歐陽光中，朱學炎，金福臨，陳傳璋.數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]吳良森，毛羽輝.數學分析習題精解[M].科學出版社，2003.

[3]戈衍三.一些經典數學問題的另類解算[M].北京理工大學出版社，2007.

[4]舒陽春.高等數學中的若干問題解析[M].科學出版社，2005