簡支條件下三疊片復合彎振換能器振動特性研究*

凌小娜，張寧寧，項鈺茹，周 武

(渭南師范學院物理與電氣工程學院，陜西渭南 714000)

0 引言

目前對彎曲振動用于空氣中的發射器的研究中夾心縱彎模式換能器的研究已較成熟［1-6］，對于疊片式彎曲振動系統的研究相對傳統換能器來說較少。理論分析表明，空氣中彎曲雙疊片換能器采用邊界簡支和固支較為理想，對于水中聲吶換能器，采用邊緣簡支較為理想，但這種換能器抗壓、抗沖擊強度都不大，為了克服這一弱點，改善換能器的性能和機械耦合，及結構安裝的方便，普遍采用三疊片式彎曲壓電換能器。文獻［7］利用ANSYS數值仿真軟件，在自由和鉗定邊界條件下，模擬了三疊片型換能器在空氣中的振動模態，并進行了諧響應分析，同時對三疊片型換能器的阻抗特性進行了測試，并與數值計算結果進行了對比分析，結果基本一致。因此，數值模擬計算可以為換能器的優化設計提供技術數據和理論依據。文獻［8］采用瑞利法對固定邊界條件下兩疊片壓電振子進行了理論研究，通過數值計算可得壓電振子的諧振頻率和有效機電耦合系數，進而可以優選壓電振子的結構參數。

彎曲換能器一般從彈性理論出發，得到板的振動微分方程，考慮到壓電陶瓷的壓電性，對某些參量進行適當修正。對于圓盤需把它在直角坐標系中的振動方程轉化到圓柱坐標系中，振動方程的解為貝塞爾函數的組合，根據解和邊界條件進一步得到頻率方程、位移方程和振速分布、中心位移以及有效機電耦合系數等。實踐證明采用直接解振動微分方程的方法比較麻煩，得出的結果不能滿足工程實踐的應用需要。為了解決這一問題，筆者采用瑞利法對三疊片彎曲振動圓盤換能器的工作特性進行研究，得到最佳三疊片式彎曲壓電換能器尺寸。

1 彎振換能器位移分布函數

三疊片型換能器的基本結構如圖1所示，換能器由一個金屬基片和兩個尺寸相同的壓電陶瓷片組成，壓電陶瓷片粘金屬基片兩側。金屬圓盤的高度為m，1/2金屬圓盤高度加上壓電圓盤高度一共為h/2。金屬圓盤和壓電圓盤半徑均為a。根據瑞利原理，利用換能器最大動能和最大位能的關系，結合不同的邊界條件，推導出彎曲圓盤換能器的位移分布函數各項系數位移分布曲線w(r)。可在極坐標中表示換能器在彎曲振動情況中振動位移分布曲線。

式中:w(r)為彎曲圓盤中心面上的法向位移;ξ為隨時間變化的振幅;r為徑向坐標，a1，a2，a3，a4為位移分布函數各項系數。在r=0處，可得 a1=0。因此，

圖1 圓盤換能器基本結構示意圖

2 彎振圓盤換能器的諧振頻率

2.1 彎振圓盤換能器的動能

設金屬圓盤的密度為ρm，壓電圓盤密度為ρD，由文獻［8］的計算方法可得金屬圓盤的動能為:

壓電圓盤動能為:

圓盤換能器總動能為:

2.2 彎振圓盤換能器的勢能

(1)金屬圓盤位能

(2)壓電圓盤位能Up

對于壓電圓盤單位體積的位能為［9］:

令D3=0，對壓電圓盤整體積分，可求得壓電圓盤恒D的位能為:

結合式(6)和式(8)得，恒電位移時壓電換能器的總位能為:

2.3 彎振圓盤換能器的位移分布函數系數確定及頻率方程

利用邊界條件和瑞利法確定位移函數中的系數。邊緣簡支的邊界條件是當r=a時，圓盤換能器的法向位移和彎矩都為零，即w(r)|r=a=0，M|r=a=0，0，分別為金屬圓盤的徑向應力和壓電圓盤徑向應力)將其代入可得:

令a0=0，可以得到:a2+a3+a4=-1。根據瑞利能量原理Tmax=Umax，可得:由瑞利近似理論可知，a2應滿足=0，可解出a2，再根據a2與a3，a4的關系，解出各個系數，同時可以計算換能器無負載諧振頻率。

3 彎振圓盤換能器的有效機電耦合系數

3.1 恒壓位能U V

恒壓狀態時電位移D3的分布情況，電場強度E3為:

恒壓狀態V=0，解出D3代入式(12)，可求出恒壓條件下單位體積位能，對整個體積積分可得壓電

整個換能器恒壓位能為:

3.2 恒流位能U I

將式(14)代入式(12)，求出恒流條件下的 D3，即:

將式(14)代入式(15)求得恒流條件下單位體積的位能，并積分可得壓電圓盤恒流下的位能:

整個換能器恒流條件下的位能為即:

3.3 有效機電耦合系數

當選定材料后，共振頻率與有效機電耦合系數與換能器尺寸有關。因為共振頻率與有效機電耦合系數方程是比較復雜，很難得到解析解，因此采用數值分析。壓電材料PZT-4及45號鋼，主要材料參數有:

ρD=7 500 kg/m3，ρm=7 850 kg/m3，σm= σD=0.28，E=2.16 ×1011N/m2，kp=0.58，g31=-11.1 ×10-3C/N=1.09 ×10-11m2/N=-5.42 ×10-12m2/N。

4 簡支邊界條件下換能器共振頻率與有效機

電耦合系數與換能器尺寸的關系分析

4.1 簡支邊界條件下換能器共振頻率與有效機電耦合系數隨金屬片厚度變化

在簡支邊界條件下，取三疊片換能器尺寸為:a=30 mm，h=5 mm，由式(10)和式(18)可得共振頻率與有效機電耦合系數隨金屬片厚度變化規律如圖2，3所示。

圖2 諧振頻率隨金屬片厚度變化

圖3 有效機電耦合系數隨金 屬片厚度的變化

由圖2可看出，固定邊界條件下諧振頻率隨a的增大而增大，在m很小時增長很快，在m約等于1.25 mm以后諧振頻率幾乎隨a的增大而線性增長，而圖3中有效機電藕合系數隨著m增加迅速，然后又隨m的增大而降低，在m=2.5附近有效機電耦合系數達到最大值約0.44。

4.2 簡支邊界條件下換能器共振頻率與有效機電耦合系數隨壓電圓盤厚度變化

在簡支邊界條件下，取三疊片換能器尺寸為:a=30 mm，m=2 mm，由式(10)和式(18)可得共振頻率與有效機電耦合系數隨壓電圓盤厚度變化規律如圖4、5 所示。

圖4 諧振頻率隨壓電片厚度的變化

圖5 有效機電耦合系數隨壓 力片厚度的變化

由圖4、5可看出諧振頻率隨著壓電片厚度的增大而增大，增長速度越來越快;有效機電耦合系數也隨著壓電片厚度的增大而增大，在壓電片厚度較小時增長比較緩慢，到達1.0 mm之后增長加快，在h=2.7 mm附近有效機電藕合系數達到最大，接近0.48。

4.3 簡支邊界條件下換能器共振頻率與有效機電耦合系數隨壓電圓盤半徑的變化

在簡支邊界條件下，取三疊片換能器尺寸為:a=30 mm，h=5 mm，m=2.0 mm，由式(10)和式(18)可得共振頻率與有效機電耦合系數隨壓電圓盤半徑的變化規律如圖5、6。

圖6 諧振頻率隨壓電片半徑變化

圖7 有效機電耦合系數隨壓力片半徑的變化

由圖6和圖7可看出，簡支邊界條件下諧振頻率隨著壓電圓盤的半徑的增加而增加，有效機電耦合系數標隨著半徑的增大先增大然后迅速減小，在壓電陶瓷片的半徑a=24 mm附近時有效機電藕合系數達到最大值約為0.47，此時該例中的換能器達到機電轉換的最佳效果。

4.4 有限元與理論值的比較

為了驗證本文理論的正確性，采用有限元軟件ANSYS進行模態分析［9］。取兩組換能器其尺寸參數分別為:a=30 mm，h=3.0 mm，m=2.0 mm 和 a=24 mm，h=5.0，m=2.0 mm，所得結果如表 1，其中 f1為理論計算值，f2為模擬值。

表1 圓盤換能器有限元與理論頻率的比較 /Hz

由表1有限元模擬諧振頻率值與頻率方程求解的頻率值相比可看出，二者差別都小于5%，誤差相對較小，所以可得本文的理論基礎是正確的。

5 結語

采用瑞利法對簡支邊界條件下三疊片彎振換能器進行理論研究，推導了諧振頻率和有效機電耦合系數隨金屬基片厚度、壓電陶瓷片厚度和壓電陶瓷片半徑的變化，由變化規律可看出，有效機電耦合系數在其它尺寸給定的情況下隨著金屬片厚度，陶瓷片厚度和陶瓷片半徑變化時，都出現一個最大值，因此在設計三疊片彎曲振動換能器時為達到機電轉換的最佳效果提供了參考，也為三疊片彎曲振動換能器的進一步廣泛應用提供理論支持。

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