花開也有聲
——數列的單調性問題

●胡東芳(浦江中學浙江浦江322200)

花開也有聲
——數列的單調性問題

●胡東芳(浦江中學浙江浦江322200)

數列是高中數學的重要內容，又是學習高等數學的基礎，是高考的重點內容之一.數列與其他知識結合，包括數列與函數、方程、不等式、幾何等的結合，是高考中的難點也是熱點.尤其是數列的單調性問題，在高考中頻頻亮相.

數列是一類特殊的函數，其定義域只能取正整數集或其有限子集，因此在處理數列的單調性問題時，可以考查數列前后2項的關系，也可以通過構造函數來處理.

類型1直接判斷單調性問題

例1已知函數f(x)=log2x－logx2(其中0＜x＜1)，數列{an}滿足f(2an)=2n(其中n∈N*).

1)求數列{an}的通項公式;

2)判斷數列{an}的單調性.

評注數列單調性問題的刻畫方式:1)考查前后2項的大小關系，例1用的是作商比較;2)構造函數，利用函數的單調性.

例2已知數列{an}的通項公式是an=n2+ kn+2，且數列{an}為遞增數列，求實數k的取值范圍.

分析本題學生容易產生的錯解是構造函數f(x)=x2+kx+2，由數列{an}為遞增數列得函數f(x)在［1，+∞)上遞增，得出，解得k≥－2.

事實上，由數列{an}為遞增數列得an+1－an＞0，即

得k＞－3.

評注本題考查前后2項的大小關系，例1用的是作商比較，而例2用的是作差比較.例2若用函數單調性求解，則應注意需與比較，而不是與1比較.

例3已知數列{an}的各項均為正數，其前n項和記為Sn，且數列{an}滿足

1)求數列{an}的通項公式;

分析1本題第2)小題考查數列的單調性問題.若構造函數，則要考查的是復合函數，當然也可以直接考查bn+1＞bn.

1)由a1+a2+a3+…+an=Sn和已知條件得

因為數列{an}的各項均為正數，所以

分析求正整數k，使得對任意n∈N*均有Sk≥Sn，其實質上是求{Sn}的最值問題.最值問題的求解可通過刻畫數列{Sn}的單調性完成，而刻畫{Sn}的單調性問題即考查{cn}各項的正負.

所以當n≥5時，cn＜0.

綜上可得，對任意n∈N*均有S4≥Sn，故k=4.

例6已知首項為的等比數列{an}不是遞減數列，其前n項和為Sn(其中n∈N*)，且S3+ a3，S5+a5，S4+a4成等差數列.

1)求數列{an}的通項公式;

(2013年天津市數學高考理科試題第19題)

分析{Tn}可以看成關于Sn單調遞增的函數，故只要求Sn的最大項和最小項.

1)設等比數列{an}的公比為q，因為S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差數列，所以

評注數列與函數有密切聯系，求數列中的最大項與最小項，可以利用函數圖像或者數列的單調性求解，同時注意數列的單調性與函數單調性的區別.

類型3數列中的恒成立問題

例7已知an=n，是否存在正數M，使不等式對一切n∈N*成立?若存在，求出M的取值范圍;若不存在，請說明理由.

分析本題看起來很復雜，恒成立問題可以使用分離參數的方法轉化為最值問題.

假設存在滿足條件的M，即

評注本題轉化為g(n)的單調性，且g(n)的式子是連乘積因式，用作商比較來判斷.

評注本題是非常典型的應用函數的單調性得出數列的和，繼而進行比較大小的綜合應用問題，對考生的考查是全方位的.

2014年浙江省數學高考理科卷的最后一題考查的正是數列的綜合應用，花開也有聲，讓我們共同期待新課程改革背景下2015年高考數列問題的走勢.