圓錐曲線大題的另類考法

高 歡 武 斌 范 欣

（陜西省西安中學）

圓錐曲線部分是高考中的重點，常常以解答題的形式出現(xiàn)在高考試題的最后兩道大題中，圓錐曲線中最常見的作為壓軸題的考查點是：直線與圓錐曲線的相交弦問題，往往涉及中點弦、弦長或其他綜合性問題，可利用聯(lián)立方程組消元后所得一元二次方程中根與系數(shù)關(guān)系（韋達定理）對相交弦問題設而不求、整體處理。

下面我就以我校2014 級高三模擬考試和復習過程中遇到的幾道試題為例來說明圓錐曲線壓軸題的另類考法。

例1.（西安中學高2015 級第三次模擬考試）橢圓C1以雙曲線的實軸為短軸、虛軸為長軸，且與拋物線C3∶y2=12x

（1）求橢圓C1的方程及線段AB的長；

（2）在C1與C3圖象的公共區(qū)域內(nèi)，是否存在一點P（x0，y0），使得C1的弦EF與C3的弦MN相互垂直平分于點P？若存在，求點P坐標，若不存在，說明理由.

（2）假設存在，由題意將E，F(xiàn)坐標帶入C1做差得將M，N坐標帶入故滿足條件的P點在拋物線C3外，所以不存在這樣的點P.

點評：上題的解答過程用到了點差法，在解答平面解析幾何中的某些問題時，如果能適時運用點差法，可以達到“設而不求”的目的，同時，還可以降低解題的運算量，優(yōu)化解題過程.這類問題通常與直線斜率和弦的中點有關(guān)。

例2.（西安中學高2015 級第七次模擬考試）如下圖所示，橢圓

（1）若點P的坐標為，求m的值；

（2）若橢圓C上存在點M，使得OP⊥OM，求m的取值范圍．

試題解析：（1）依題意，M是線段AP的中點，所以點M的坐標為．由點M在橢圓C上，所以

（2）設M（x0，y0），則，且-1＜x0＜1．①因為M是線段AP的中點，所以P（2x0+1，2y0）．因為OP⊥OM，所以x0（2x0+1）+2y02=0．②

由①，②消去y0，整理得，所以，當且僅當時，上式等號成立．

所以，m的取值范圍是

總之，在處理直線與圓錐曲線的相關(guān)問題過程中，要加強對基礎知識的綜合運用, 同時也要根據(jù)題目的特點靈活地選擇方法和解決問題的角度，并不是每一道圓錐曲線的大題都需要聯(lián)立方程組，也可以選擇從點的坐標入手進行代換和變形。